Geriden Kestirme Hesabı Kaestner Yöntemine Göre Çözüm N1, N2 ve N3 sabit noktalarının koordinatları veriliyor. N noktasında α ve β açıları ölçülmektedir. N yeni noktasının koordinatı aranıyor.

1. Kaestner Yöntemine Göre Çözüm bulunur. Bir kez de  ve  açılarının farkının yarısı hesaplanabilirse bu değerler birbirleri ile bir kez toplanıp, bir kez de çıkarılarak aranan açılar bulunabilir. (-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine göre,

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm (-)/2 değerini bulabilmek için N2N=s kenarının hesabından yararlanılır. N1N2N ve N2N3N üçgenlerinden sinüs teoremine göre,

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm  ve  açılarının bulunması ile problem önden kestirme şekline dönüşür. Önce sabit noktalardan yeni noktaya olan açıklık açıları ve kenarlar hesaplanır.

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm Uygulama 7.04: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22 numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

Kaestner Yöntemine Göre Çözüm

Collins Yöntemine Göre Çözüm Sabit noktalar N1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta N’de α ve β açıları ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor. Collins yöntemine göre geriden kestirme hesabında, sabit noktalardan ikisi ile yeni nokta N’den geçen daireden yararlanılır.

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Collins Yöntemine Göre Çözüm Hesaplanan bu değerlerden N noktasının koordinatları önden kestirme yöntemi ile belirlenir.

Collins Yöntemine Göre Çözüm Uygulama 7.05: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı noktanın konumunu bu kez Collins yöntemi ile hesaplayalım.

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Collins Yöntemine Göre Çözüm

Cassini Yöntemine Göre Çözüm N1, N2 ve N3 ’ün koordinatları veriliyor. Yeni nokta N’de α ve β açıları ölçülüyor. N noktasının koordinatı aranıyor. Cassini, problemin çözümü için N1N2N ve N2N3N noktalarından geçen iki daireden yararlanmıştır.

Cassini Yöntemine Göre Çözüm

Cassini Yöntemine Göre Çözüm

Cassini Yöntemine Göre Çözüm

Cassini Yöntemine Göre Çözüm Uygulama 7.06: Uygulama 7.04’deki verileri kullanarak aynı noktanın konumunu bir kez de Cassini yöntemi ile belirleyelim.

Cassini Yöntemine Göre Çözüm

Cassini Yöntemine Göre Çözüm

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm N1, N2 ve N3 noktaları verilmekte N noktasının koordinatını belirlemek için r1, r2 ve r3 doğrultuları ölçülmektedir. Aranan ise ölçülen doğrultuların yönlendirilerek N noktasının koordinatının belirlenmesidir. N

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm Problemin çözümü için üç doğrunun kesim noktasının belirlenmesi yöntemi uygulanabilir. Buna göre eşitlikleri yazılabilir. Çözümü basitleştirmek için doğrultular ve koordinatlar N3 noktasına göre tanımlanır. Yukarıdaki bağıntı yerine yerel sisteme göre aşağıdaki bağıntı yazılabilir.

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm Bu bağıntının ikinci tarafındaki eşitliklerin birbirine eşitlenmesi ile xı için aşağıdaki bağıntı elde edilir.

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm bağıntıları elde edilir. Bu bağıntılarda geçen t3N açıklık açısı bilinmemektedir. Bu açıklık açısı, son iki bağıntının birbirine eşitlenmesi ile aşağıdaki şekilde elde edilir. Sonuç olarak yeni nokta N’nın koordinatları hesaplanır.

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm Uygulama 7.07: 8, 7 ve 115 sabit noktalarının koordinatları ile 22 numaralı yeni noktadan sabit noktalara yapılan doğrultu ölçüleri verilmiştir. Yeni noktanın koordinatlarını hesaplayalım.

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm

Doğrultuların Kesişimi Yöntemine Göre Çözüm

Geriden Kestirmenin Doğruluğu Bir doğru parçasını aynı açı altında gören noktaların geometrik yeri çemberdir. Geriden kestirmede s12 kenarını α, s23 kenarını da β açısı altında gören iki çember vardır. Geriden kestirme ile konumlandırılan yeni nokta, bu iki çemberin kesim noktasıdır. Özel hal olarak N1, N2 ve N3 sabit noktaları ile N yeni noktanın aynı çember üzerinde olduğunu varsayalım. Bu durumda s12 kenarını α, s23 kenarını da β açısı altında gören noktaların geometrik yerleri iki çember yerine bir çember olur. N noktası çember üzerinde nereye hareket ederse etsin s12 ve s23 kenarlarını gören α ve β açıları değişmez. Bu durumda problemin sonsuz çözümü vardır. Bu nedenle bu çembere tehlikeli çember ya da alışılmış söylemiyle tehlikeli daire denir.

Geriden Kestirmenin Doğruluğu  N N1 N2 N3    

Geriden Kestirmenin Doğruluğu N noktasının tehlikeli çember üzerine düşmemesi için çember üzerinden içeri ya da dışarı doğru kaydırılması gerekmektedir. N noktası için en uygun yer, sabit noktaların ortalarında bir yerdir.

Geriden Kestirmenin Doğruluğu Geriden kestirmenin doğruluğu için ölçüt olarak konum standart sapması kullanılır. Geriden kestirmede doğruluk ölçütü için yardımcı üçgen s2 s1 s3 1 3 2 1 3

Geriden Kestirmenin Doğruluğu si : Yeni noktadan sabit noktalara olan kenar uzunlukları i = 1/si : Küçük üçgenin kenar uzunlukları : Küçük üçgenin alanı r : Doğrultuların standart sapması  : Açıların standart sapması N : N noktasının konum standart sapması = 200/π Açılara göre Bu eşitlik incelendiğinde konum hatasının minimum olması için yardımcı üçgen alanının büyük olması gerektiği görülür. Bu ise üçgen kenarlarının yani ters uzunlukların büyük, yeni nokta ile sabit noktalar arasındaki kenarların küçük olması gerektiğini gösterir.

Geriden Kestirmenin Doğruluğu ve  açıları doğrultu ölçüleri ile de ifade edilebilir. Bu durumda doğrultu ölçülerinin standart sapmasına göre geriden kestirme yöntemi ile belirlenen noktanın konum standart sapması eşitliği ile ifade edilir.

Geriden Kestirmenin Doğruluğu

Geriden Kestirmenin Doğruluğu

Karışık Kestirme β   N1 N N2 Karışık kestirmede hem koordinatı bilinen noktalara hem de kestirme noktasına alet kurularak , β ve  açıları ölçülmektedir. Bir üçgende üç açı birden ölçüldüğü zaman; bu üç açının toplamının 200 gon olup olmadığı, jeodezik çalışmalarda daima kontrol edilir. Bunun için üçgen kapanmaları, bağıntısı ile hesaplanır ve kapanma hatası üç açıya da eşit olarak son hane biriminde ters işaretli dağıtılır.

Karışık Kestirme Kapanma hatası kalansız olarak dağıtılamıyorsa, açılardan birine veya ikisine 1 birim daha fazla düzeltme getirilir. Düzeltilmiş açıların toplamı mutlaka 200 gon olmak zorundadır. Karışık kestirme hesabı, düzeltilmiş açılarla önden kestirmede olduğu gibi yapılır.

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

Üç Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

İki Noktaya Dayalı Çift Nokta Geriden Kestirme (Hansen Problemi)

Kenar Ölçüleri İle Kestirme Hesabı Kenar ölçüleri ile nokta konumlamada N yeni noktanın belirlenmesinde yeni nokta ile bir çok Ni sabit nokta arasında si kenarları ölçülür. N noktası merkezleri N1 ve N2, yarıçapları s1 ve s2 olan iki daire yayının kesişimi ile geometrik olarak belirlenir. Eğer en az iki kenar ölçülmüş ise bu problem çözülebilir. Yalnız iki kenarın ölçülmesi durumunda ölçülen kenarların ölçeğinin sabit nokta alanından farklı olup olmadığı kontrol edilemez. Yeni noktanın koordinatları ve λ ölçek faktörü sabit noktalar arasında en az bir kenar ölçülmüş ya da yeni nokta ve sabit noktalar arasındaki diğer kenarlar hesaplanabiliyorsa belirlenebilir.

Kenar Ölçüleri İle Kestirme Hesabı İki sabit noktadan yapılan kenar ölçüleri ile basit daire yaylarının kesişimi şeklinde nokta konumlama, doğrultu ölçüleri ile yapılan önden ve geriden kestirmede olduğu gibi sınırlı olarak uygulanır. Uygun geometrik yapı olmaması durumunda bu şekilde konum belirlemede gerekli nokta konum doğruluğuna ulaşılamaz.

Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama N1 ve N2 gibi iki sabit noktanın koordinatları ile s1 ve s2 projeksiyon düzlemine indirgenmiş kenarlar verilmiş olsun. Yeni nokta N’nin koordinatları N1 merkezli s1 yarıçaplı ve N2 merkezli s2 yarıçaplı iki daire yayının kesim noktası olarak aşağıdaki bağıntılar ile hesaplanabilir. Önce kenarı ve açıklık açısı hesaplanır.

Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama N noktası N1-N2 doğrultusunun diğer tarafında ise  ve  açılarının işareti değişir. Eğer s12 kenarı da ölçülmüş ise ölçek faktörü λ’da işlemlere katılmalıdır. Ölçek faktörünün de göz önüne alınması ile yeni noktanın koordinatları aşağıdaki şekilde hesaplanır. alınarak  ve  açıları hesaplandıktan sonra yeni nokta koordinatları belirlenmelidir.  ve  açıları ya yukarıdaki şekilde hesaplanır ya da yalnızca ölçülen kenarlar kullanılarak hesaplanır. Üçgen kenarlarının ölçek faktörüyle çarpılması sonucunda, kenarlarının aynı oranda büyümesi veya küçülmesi, üçgen açılarını değiştirmez.

Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama Uygulama 7.13 : 7 ve 8 numaralı noktaların ülke koordinat değerleri ve bu noktalardan 22 noktasına olan kenar ölçülerinin projeksiyon düzlemine indirgenmiş değerleri aşağıda verilmiştir. 22 noktasının koordinat değerlerini hesaplayalım.

Basit Yay Kesişimi İle Nokta Konumlama

Basit Yay Kesişiminin Doğruluğu Yay kesişiminin doğruluğu, ölçülen kenarların s standart sapmasına ve N1N2N üçgeninin geometrisine bağlıdır. Kenarların kesişme açısı  olmak üzere ve kenarların standart sapması s uzunluğa bağımlı değilse N noktasının konum standart sapması, eşitliği ile ifade edilir.