Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm 3 Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Dağılımlarına Giriş Rassal Değişken Rastgele bir deneyden olan muhtemel bir sayısal değeri temsil etmektedir Rassal Değişkenler Bölüm. 3 Kesikli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişkenler Bölüm. 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Kesikli Rassal Değişkenler Sadece sayılabilen sayı değerlerini alabilirler Örnekler: Bir zar atma X zarın 4 gelmesi sayısı olsun (o halde X 0, 1, veya 2 defadır) 5 defa yazı-tura atma. X tura gelme sayısı (o halde X = 0, 1, 2, 3, 4, veya 5’dir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Kesikli Olasılık Dağılımı Deney: 2 Para ile Yazı-tura atmak. X = Tura sayısı olsun P(x)’i gösteriniz , yani tüm x değerleri için P(X = x) : 4 muhtemel sonuç Olasılık Dağılımı Y Y x Değeri Olasılık 0 1/4 = 0,25 1 2/4 = 0,50 2 1/4 = 0,25 Y T T Y 0,50 0,25 Olasılık T T 0 1 2 x Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Dağılımı Gerekli Özellikler P(x)  0 her hangi bir x değeri için Bireysel olasılıklar 1’e tamamlanır; (Notasyon tüm muhtemel x değerleri boyunca toplamı göstermektedir) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu F(x0) olarak gösterilen Birikimli (Kümülatif) Olasılık Fonksiyonu , X’in x0’dan daha küçük veya eşit olduğunu göstermektedir Başka bir deyişle, Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Beklenen Değer Bir Kesikli dağılımın Beklenen Değeri (veya ortalama) (Tartılı Ortalama) Örnek: 2 yazı tura atma, x = tura sayısı, x’in beklenen değerini hesaplayınız: E(x) = (0×0,25) +(1×0,50)+(2×0,25) = 1,0 x P(x) 0 0,25 1 0,50 2 0,25 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Varyans ve Standart Sapma Bir X kesikli Rassal değişkeninin Varyansı Bir X kesikli Rassal değişkeninin Standart Sapması Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Standart Sapma (Örnek) Örnek: 2 kez yazı-tura atılmaktadır, X tura sayısıdır, standart sapmayı hesaplayınız (E(x) = 1 olduğunu hatırlayınız) Muhtemel tura sayısı = 0, 1, or 2 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Rassal Değişkenlerin Fonksiyonları Eğer P(x) X kesikli Rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu ve g(x) X’in herhangi bir fonksiyonu ise, g fonksiyonunun beklenen değeri aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları a ve b herhangi sabitler olmak üzere, a) yani, eğer bir Rassal değişken daima a değerini alıyorsa, a ortama değeri ve o standart sapmaya sahip olacaktır b) yani, b.X’in beklenen değeri b·E(x)’dir. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Rassal Değişkenlerin Doğrusal Fonksiyonları (devam) Rassal X değişkeni µx ortalama ve σ2x varyans değerine sahip olmak üzere a ve b her hangi sabit değerler olmak üzere Y = a + bX olmak üzere O halde Y’nin ortalama ve varyansı aşağıdaki gibidir O halde Y’nin standart sapması aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Bölüm. 3 Kesikli Olasılık Dağılımları Sürekli Olasılık Dağılımları Bölüm. 4 Binom Tekdüze (Uniform) Hipergeometrik Normal Poisson Üstel Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Dağılımı Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bernoulli Dağılımı Sadece “başarı” veya “başarısızlık” şeklinde iki sonucu ele alınız P başarı olasılığını göstersin 1 – P başarısızlık olasılığını göstersin Rassal X değişkeni tanımlanmış olsun: eğer başarılı ise x = 1, eğer başarısızsa x = 0 O halde Bernoulli olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bernoulli Dağılımı Ortalama ve Varyans Ortalama µ = P ‘dir Varyans σ2 = P(1 – P) ‘dir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

n Denemede x Başarısı Dizileri n bağımsız denemedeki X başarısı olan dizilerin sayısı: burada n! = n·(n – 1)·(n – 2)· . . . ·1 ve 0! = 1 Bu diziler karşılıklı dışlamalıdır, çünkü her ikisi de aynı anda meydana gelemez Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Olasılık Dağılımı n adet sabit bir sayıdaki gözlem örneğin, 15 defa yazı tura atılması; bir depodan alınan on ampul İki karşılıklı dışlamalı ve toplu ayrıntılı kategori örneğin, paranın her atılışında yazı ve tura; arızalı veya arızalı olmayan ampul Genellikle “başarı” ve “başarısızlık” şeklindedir. Başarı olasılığı P, başarısızlık olasılığı 1 – P Her bir gözlem için sabit olasılık örneğin, her para atılışında yazı gelme olasılığı aynıdır Gözlemler bağımsızdır Bir gözlemin sonucu diğerinin sonucunu etkilememektedir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Muhtemel Binom Dağılımı Düzenleri Bir imalathane ürünleri hatalı veya kabul edilebilir olarak etiketlemektedir Sözleşme için teklif veren bir firma bir sözleşme imzalar veya imzalamaz Bir pazarlama araştırması yapan firma anket yanıtı olarak “evet satın alacağım” veya “hayır satın almayacağım” sonucunu almaktadır Yeni iş başvurusunda bulunanlar sunulan teklifi kabul ederler veya reddederler. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Dağılımı Formülü ! X n - X P(x) = P (1- P) x ! ( n - x ) ! P(x) = her bir denemede P başarı olasılığı ile n denemede x başarının olasılığı x = örnekteki ‘başarı’ sayısı, (x = 0, 1, 2, ..., n) n = örnek büyüklüğü (deneme veya gözlem sayısı) P = “başarı” olasılığı Örnek: Bir para dört kez atılması sonucu x=tura sayısı olsun: n = 4 P = 0.5 1 - P = (1 - 0.5) = 0.5 x = 0, 1, 2, 3, 4 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Örnek: Bir Binom Olasılığının Hesaplanması Eğer başarı olasılığı 0,1 ise beş gözlemde bir başarının olasılığı nedir? x = 1, n = 5, ve P = 0,1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Dağılımı Mean n = 5 P = 0,1 n = 5 P = 0,5 Binom dağılımının şekli P ve n’nin değerlerine bağlıdır Mean n = 5 P = 0,1 P(x) 0,6 Burada, n = 5 ve P = 0,1’dir 0,4 0,2 x 1 2 3 4 5 n = 5 P = 0,5 P(x) Burada, n = 5 ve P =0,5’dir 0,6 0,4 0,2 x 1 2 3 4 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Dağılımı Ortalama ve Varyans Varyans ve Standart Sapma Burada n = örnek büyüklüğü P = başarı olasılığı (1 – P) = başarısızlık olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Özellikleri n = 5 P = 0,1 Mean n = 5 P = 0,5 Örnekler P(x) 0,6 0,4 0,2 x 1 2 3 4 5 n = 5 P = 0,5 P(x) 0,6 0,4 0,2 x 1 2 3 4 5 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Binom Tablolarının Kullanılması x … p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0.0000 0.0563 0.1877 0.2816 0.2503 0.1460 0.0584 0.0162 0.0031 0.0004 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014 0.0135 0.0725 0.1757 0.2522 0.2377 0.1536 0.0689 0.0212 0.0043 0.0005 0.0060 0.0403 0.1209 0.2150 0.2508 0.2007 0.1115 0.0425 0.0106 0.0016 0.0025 0.0207 0.0763 0.1665 0.2384 0.2340 0.1596 0.0746 0.0229 0.0042 0.0003 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 Örnekler: n = 10, x = 3, P = 0,35: P(x = 3|n =10, p = 0,35) = 0,2522 n = 10, x = 8, P = 0,45: P(x = 8|n =10, p = 0,45) = 0,0229 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Hipergeometrik Dağılım Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Hipergeometrik Dağılım N boyutundaki sonlu bir popülasyondan (ana kütleden alınmış olan bir örnekteki “n” Yerine koymaksızın alınan örnek Denemelerin sonuçları bağımlıdır Popülasyonda“S” başarının mevcut olduğu örnekteki “X” başarının olasılığının bulunması ile ilgilidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Hipergeometrik Dağılım Formülü Burada N = popülasyon büyüklüğü S = popülasyondaki başarı sayısı N – S = popülasyondaki başarısızlık sayısın n = örnek büyüklüğü x = örnekteki başarı sayısı n – x = örnekteki başarısızlık sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Hipergeometrik Dağılımın Kullanımı Örnek: Bir bölümdeki 10 bilgisayar arasından 3 farklı bilgisayar kontrol ediliyor. Bu 10 bilgisayardan 4’ü yasa dışı yazılım yüklenmiş. Seçilmiş olan bu 3 bilgisayardan 2’sinin yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı nedir? N = 10 n = 3 S = 4 x = 2 Seçilen 3 bilgisayar arasından 2’sinde yasa dışı yazılım yüklenmiş olma olasılığı 0,30 veya %30’dur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Dağılımı Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Binom 4.6 Poisson Dağılımı Olasılık Dağılımı Kesikli Olasılık Dağılımı Binom Hipergeometrik Poisson Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Dağılımı Aşağıdaki hallerde Poisson Dağılımı uygulanır: Verilen sürekli bir aralıkta bir olayın meydana gelme sayısını saymak isteyebilirsiniz Bir alt aralıkta bir olayın meydana gelme olasılığı çok küçüktür ve tüm alt aralıklar için aynıdır Bir alt aralıkta meydana gelen olayların sayısı diğer alt aralıklarda meydana gelen olayların sayısından bağımsızdır Her bir alt aralıkta birden çok meydana gelme olmayabilir Birim başına olayların beklenen sayısı  (lambda)’dır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Dağılımı Formülü burada: x = birim başına başarı sayısı  = birim başına beklenen başarı sayısı e = doğal logaritma sisteminin tabanı (2,71828...) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Dağılımının Özellikleri Ortalama Varyans ve Standart Sapma burada  = birim başına beklenen başarı sayısı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Tablolarının Kullanımı X  0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1 2 3 4 5 6 7 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 Örnek: Eğer  = 0,50 ise P(X = 2)’yi bulunuz Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Olasılıklarının Grafiği Grafik olarak:  = 0,50 X  = 0,50 1 2 3 4 5 6 7 0,6065 0,3033 0,0758 0,0126 0,0016 0,0002 0,0000 P(X = 2) = 0,0758 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Poisson Dağılımının Şekli Poisson Dağılımının şekli  parametresine bağlıdır :  = 0,50  = 3,00 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu Ortak (Bileşik) Olasılık Fonksiyonu X’in x spesifik değerini ve eş zamanlı olarak Y’nin y değerini aldığı ifade etmek üzere kullanılmaktadır Tekne (Marjinal) olasılıklar aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Olasılık Fonksiyonları Rassal Y değişkeninin koşullu olasılık fonksiyonu X için x değerinin belirlendiğinde Y’nin y değerini aldığı olasılığı ifade etmektedir. Benzer şekilde, X’in koşullu olasılık fonksiyonu, Y = y olarak verildiğinde, aşağıdaki gibidir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Bağımsızlık Bileşik olarak dağıtılmış olan X ve Y Rassal değişkenleri, sadece ve sadece bileşik olasılık fonksiyonları marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımı ise bağımsız olarak anılmaktadırlar: muhtemel tüm x ve y değer çiftleri için Bir k adet değişkenler kümesi yalnız ve yalnız aşağıdaki durum söz konusu ise bağımsızdır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Koşullu Ortalama ve varyans Koşullu olasılık Koşullu varyans Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Ortak Varyans (Kovaryans) X ve Y, μX ve μY ortalamaları ile X ve Y kesikli Rassal değişkenler olsun (X - μX)(Y - μY) beklenen değerleri X ve Y arasındaki ortak varyans (kovaryans) olarak anılmaktadır Kesikli Rassal değişkenler için Eşdeğer bir ifade aşağıdaki gibidir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER 1Cov (x,y) türkçe kaynaklarda Orv (x,y) olarak da geçmektedir

Ortak Varyans (Kovaryans) ve Bağımsızlık Kovaryans iki değişken arasındaki doğrusal ilişkinin gücünü ölçmektedir Eğer iki Rassal değişken istatistiksel olarak bağımsız ise, bu değişkenler arasındaki kovaryans 0’dır. Aksi mutlaka doğru değildir Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

Korelasyon X ve Y arasındaki korelasyon aşağıdaki gibidir: ρ = 0  X ve Y arasında hiçbir doğrusal ilişki mevcut değildir ρ > 0  X ve Y arasında pozitif doğrusal ilişki X yüksek (düşük) olduğu zaman Y de muhtemelen yüksek (düşük) olacaktır ρ = +1  mükemmel pozitif doğrusal bağımlılık ρ < 0  X ve Y arasında negatif doğrusal ilişki X yüksek (düşük) olduğu zaman Y muhtemelen düşük (yüksek) olacaktır ρ = -1  mükemmel negatif doğrusal bağımlılık Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER