MECHANICS OF MATERIALS Eğilme Fifth Edition CHAPTER Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Eğilme Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Basit Eğilme Prizmatik çubuğun incelenen e- bölgesinde, kesitlerde sadece eğilme momenti varsa ortaya çıkar. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek EĞİLME Eksantrik yükleme Basit Eğilme Düşey yükleme Statik Denge M= P. x P = P’ M= P.a (eğilme momenti, N.m) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Simetrik parçaların basit eğilmesi = τxy = τxz=0 Fx   x dA  0 M y   z x dA  0 M z    y x dA  M Basit eğilmeye maruz bir kirişte, herhangi bir kesitteki iç kuvvetler bir kuvvet çifti oluşturur. Bu kuvvet çifti eğilme momenti M’e eşittir. C kesitinde kesme kuvvetleri olmadığından IJxy ve IJxz gerilmeleri de “sıfır” dır. Kesit y-eksenine göre simetrik iç kuvvetlerin y-eksenine göre momentlerinin toplamı “sıfır” dır. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Simetrik parçaların basit eğilmesi Bir simetri eksenine sahip eğilmeye maruz bir kirişte, eğilme sonrası: Kesit simetrik kalır ve deforme olmuş kiriş dairesel bir yay oluşturur.. Kesitler doğrultuları C eğrilik merkezinden geçecek şekilde eğilirler ve düzlem kalırlar. Üst kısmın uzunluğu azalırken alt kısmın uzunluğu artar. Boyu değişmeyen eksene paralel bir nötr (tarafsız) düzlem vardır. Kesit üzerinde bu düzlemin geçtiği hat tarafsız eksen olarak tanımlanır. Bu düzlemin üstünde kalan noktalarda gerilme ve şekil değiştirmeler negatif, altındaki noktalarda ise pozitiftir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Eğilmeden kaynaklanan şekil değiştirme ve gerilme L uzunluğunda bir kiriş göz önüne alınırsa; deformasyon sonrası tarafsız düzlemin (DE) boyu değişmez. Diğer kesitlerde ise uzamalar ve kısalmalar meydana gelir. Örneğin; JK düzlemindeki değişimi incelersek; Lineer elastik bir malzeme için, L    y   L  L    y     y      y   y (strain varies linearly) x L   c    y   y   c   or ρ  x  c m m  m y y  x  E x   Em  x    m c c dA   y  y    M   y    dA z x  c m  dA   y  F  0     dA M   m  y2 dA   m I z x x c m z c c  ydA   Mz y   0   m  y dA y   0 M c y x I c  dA   z ve  x    m c z m I z © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

  Mz y  I   M z yA   M z yB MECHANICS OF MATERIALS   I I x z Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Eğilmeden kaynaklanan şekil değiştirme ve gerilme   Mz y  x I z   M z yA  x A I z   M z yB  x B I z Lineer elastik malzemelerde; şekil değiştirme (εx) ve gerilme (ıx) tarafsız eksenden uzaklıkla (y) lineer değişir. Tarafsız eksenin eğrilik yarıçapı ile moment arasındaki bağıntı: 1  M  EI 1  m   m  1 Mc  c Ec Ec I © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

  M z y   M z (30)  250  I z 20 x60 12  M z  3000000Nmm Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek Şekildeki kiriş için akmayı başlatacak eğilme momentini bulunuz.  ak  250MPa   M z y   M z (30)  250  x 20 x60 12  M z  3000000Nmm 3 I z M z  3kNm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek 3 kN-m lik eğilme momentine şekildeki dökme demir bir parçada meydana gelen maksimum bası ve çeki gerilmelerini ve eğrilik yarıçapını bulunuz. E = 165 GPa M= 3 kN.m  yA I  I  Ad  Y   A z  2 Area, mm2 y, mm yA, mm3 1 2 20 90  1800 40 30  1200 50 20 90103 24 103  A  3000  yA  114103 Y   yA  11410  38 mm 3  A 3000 I  Ad 2   bh  Ad  I  z  z  1 3 2 12   90  20 1800 12   30  40 1200 18  1 3 2 1 3 2 12 12 I  868103 mm4 z © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 3- 10

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek A noktasında maksimum çeki, B noktasında maksimum bası gerilmeleri meydana gelir. = 22 mm = 38 mm Mz yA  max   IZ       3 106  22  A  76.0 MPa A max 868103 M y  3 106 (38)      z B   B min I 868103 z Eğrilik merkezi;  B  131.3 MPa   47.7 m 1 M 3 106    EI 165 103 868  103  © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Eksantrik eksenel yükleme  P  My A I        x x centric x bending © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekideki emniyetli mukavemet değeri 30 MPa, basıdaki mukavemet değeri ise 120 MPa olduğuna göre; elemana uygulanabilecek en büyük P kuvvetini bulunuz. A  3103 mm2 I  868 103 mm4 Y  38 mm P kuvveti C noktasına eşdeğer kuvvet ve moment olarak taşınırsa: d  38  10  28 mm P  centric load M  Pd  28 P  bending moment Süperpozisyonla gerilmeler; P( kN ) 103 28 P  103 22 P Mc     A I     A     0.377 P A 3 103 868 103 P Mc P 103 28 P  103 38 A     1.559 P B 3 103 868 103 Emniyetli kuvvet değeri için:  A  0.377 P  30 MPa  B  1.559 P  120 MPa P  79.6 kN P  77.0 kN P  77.0 kN İzin verilebilir emniyetli kuvvet: © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.