İSTANBUL GELİŞİM ÜNİVERSİTESİ * 07/16/96 İSTANBUL GELİŞİM ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK VE MİMARLIK FAKÜLTESİ ELEKTRİK VE ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ (EEMB) KONTROL SİSTEMLERİ EEM 306 DOÇ. Dr. İndrİt Myderrİzİ III *

ÖZET Transfer Fonksiyonu ve Blok Diyagramları Transfer Fonksiyonu Blok Diyagramı İndirgeme Kuralları Çok Girişli Tek Çıkışlı Kontrol Sistemleri Çok Girişli Çok Çıkışlı Kontrol Sistemleri

Transfer Fonksiyonu Frekans domeni yaklaşımında, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir ve sistem giriş ile çıkışı arasında bir “Transfer Fonksiyonu” tanımlanır. Transfer Fonksiyonu: lineer bir sistemde, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilmek şartıyla, sistem girişi ile sistem çıkışı arasındaki matematiksel ilişkinin Laplace dönüşümüdür. Yani frekans domeninde sistem çıkışının sistem girişine oranıdır. Kutuplar ve Sıfırlar: Bir sistemin transfer fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlere o sistemin “kutupları”, payını sıfır yapan değerlere ise o sistemin “sıfırları” denir. Kutupların ve sıfırların s-düzlemindeki yerleri, o sistemin performansını tayin eder. Örnek: Aşağıdaki transfer fonksiyonu ile verilen sistemin sıfır ve kutuplarını bulun. Bu sistemin sıfırları: z1=-2 z2=-5 Bu sistemin kutupları: p1=3 p2=-4 p3=-9

Transfer Fonksiyonu Örnek: Transfer fonksiyonu aşağıda verilen sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz.

BLOK DİYAGRAMLARI RL devresinin transfer fonksiyonu: Elde edilen bu transfer fonksiyonu, blok diyagram formunda şu şekilde gösterilebilir: Giriş Transfer Fonksiyonu Çıkış

BLOK DİYAGRAMLARI Bir kontrol sistemi bir çok elemanlardan oluşabilir. Kontrol sisteminde her bir eleman tarafından oluşturulan fonksiyonları göstermek için blok diyagramı olarak isimlendirilen bir diyagram kullanılır. Bir sistemin blok diyagramı, sistemin her bir eleman ya da eleman grubunun fonksiyonel veya işaret akışının grafiksel gösterimidir. Blok Diyagramı Elemanları: giriş(ler), çıkış(lar), bloklar (elemanlar veya sistem), oklar (işaretler), toplama noktaları ve ayrılma noktaları.

BLOK DİYAGRAMLARI giriş çıkış eleman veya sistem işaretler toplama noktası ayrılma noktası

BLOK DİYAGRAMLARI Y(s) = G2(s)Z(s) Z(s) = G1(s)X(s) Blok diyagramlardaki temel bağlantı şekilleri: seri (ardarda) bağlantı, paralel bağlantı, geribeslemeli bağlantı. Seri bağlantı (açık çevrim) Z(s) = G1(s)X(s) Y(s) = G2(s)Z(s) Y(s) = G2(s)Z(s) = G2(s)G1(s)X(s) = {G1(s)G2(s)}X(s)

BLOK DİYAGRAMLARI Y(s) = Y1(s) + Y2(s) Paralel bağlantı Y(s) = Y1(s) + Y2(s) Y1(s) = G1(s)X(s) ve Y2(s) = G2(s)X(s) Y(s) = G1(s)X(s) + G2(s)X(s) = {G1(s) + G2(s)}X(s)

BLOK DİYAGRAMLARI E(s) = X(s) – H(s)Y(s) Y(s) = G(s)E(s) Geribesleme bağlantısı E(s) = X(s) – H(s)Y(s) Y(s) = G(s)E(s) Y(s) = {X(s) – H(s)Y(s)}G(s)   Y(s){1 + H(s)G(s)} = X(s)G(s)

BLOK DİYAGRAMLARI Blok Diyagramı İndirgeme Kuralları 1) Seri blokların indirgenmesi X2=G1G2X1 2) Paralel blokların indirgenmesi X3=G1X1 X2=X3 X4 X2=(G1 G2)X1 X4=G2X1

BLOK DİYAGRAMLARI 3) Toplama noktasını bir bloğun önüne kaydırmak X4=GX1 X3=GX1+X2 X3=X4+X2 X5=X1+X2/G X3=GX1+X2

BLOK DİYAGRAMLARI 4) Toplama noktasını bir bloğun arkasına kaydırmak X4=X1-X2 X3=G(X1-X2) X3=GX1-GX2=G(X1-X2) X3=GX4

BLOK DİYAGRAMLARI 5) Ayrılma noktasını bir bloğun önüne kaydırmak X2=GX1 X2=GX1 6) Ayrılma noktasını bir bloğun arkasına kaydırmak X2=GX1 X2=GX1

BLOK DİYAGRAMLARI

BLOK DİYAGRAMLARI Pozitif Geribesleme Negatif Geribesleme   Negatif Geribesleme   T: pozitif/negatif geribeslemeli sistemin transfer fonksiyonu.  G: sistemin açık çevrim kazancı. H: geribesleme yolun kazancı.

BLOK DİYAGRAMLARI Örnek: Aşağıdaki blok diyagramı indirgeyin. İlk olarak bütün geribesleme işaretleri bir toplama noktasında toplanabilir.

BLOK DİYAGRAMLARI H1(s), H2(s) ve H3(s) blokların girişleri aynı çıkışları toplanmaktadır. Ayrıca G2(s) ve G3(s) blokları ardardadır. Bu durumda: Geri besleme bağlantısı da dikkate alındığında sonuç olarak tek giriş ve çıkışlı indirgenmiş blok diyagramı aşağıdaki gibi olur:

BLOK DİYAGRAMLARI

BLOK DİYAGRAMLARI

BLOK DİYAGRAMLARI Ayrıca blok diyagramın indirgenmesinde aşağıdaki kurallara dikkat edilmeli: İleribesleme yolu üzerinde transfer fonksiyonların çarpımı aynı kalmalı Geribesleme döngüsü etrafındaki transfer fonksiyonların çarpımı aynı kalmalı

BLOK DİYAGRAMLARI Çok Girişli Tek Çıkışlı Kontrol Sistemleri Lineer sistem koşulu altında bir giriş haricinde tüm diğer girişler sıfır kabul edilir. Aktif olan giriş için transfer fonksiyonunu bulunur. Her bir giriş için transfer için aynı işlemi tekrarlanır. Eşdeğer transfer fonksiyonu hepsinin toplamına eşittir. Örnek: Şekildeki lineer devrenin eşdeğer transfer fonksiyonunu bulun. c U1,U2 girişleri sıfır kabul edilerek R girişi için transfer fonksiyonu:   U2=R=0 kabul edilerek U1 için transfer fonksiyonu:  

BLOK DİYAGRAMLARI U1=R=0 kabul edilerek U2 için transfer fonksiyonu:   Eşdeğer transfer fonksiyonu hepsinin toplamına eşittir.     Çok Girişli Çok Çıkışlı Kontrol Sistemleri Bu tip sistemlerin blok diyagramların eşdeğer transfer fonksiyonunu bulmak için, her bir adımda bir giriş ve bir çıkış haricinde tüm giriş ve çıkışlar sıfır kabul edilerek her girişin her bir çıkışa göre transfer fonksiyonu bulunur. Her çıkışa göre eşdeğer transfer fonksiyonu olacak.

BLOK DİYAGRAMLARI Örnek: İki girişli iki çıkışlı kontrol sisteminin eşdeğer transfer fonksiyonunu bulun. R2=0 kabul edilerek ,R1‘in C1 çıkışına göre transfer fonksiyonu bulunr; devreyi R2 ve C2 göz ardı ederek aşağıdaki gibi indirgemek mümkün:

BLOK DİYAGRAMLARI C1 çıkışı R2 girişe göre aşağıdaki gibi bulunur:   C2 çıkışına göre transfer fonksiyonu: R2=0 kabul edilerek ,R1‘in C2 çıkışına göre transfer fonksiyonu bulunr; devreyi R2 ve C1 göz ardı ederek aşağıdaki gibi indirgemek mümkün:

BLOK DİYAGRAMLARI C2 çıkışı R2 girişe göre aşağıdaki gibi bulunur: