MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Çekme testi ve gerilme-birim uzama diyagramı Sünek bir malzeme için çekme testi diyagramı P P Lo P © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Poisson Oranı Şekildeki çubuk P yüküne maruz kalırsa birim uzama:  x  x  ,  y   z  0 E X doğrultusundaki eksenel P yükü y ve z dorultularında gerilme oluşturmaz ancak bu doğrultularda daralmaya sebep olur. Bu sebeple;  y   z  0 Poisson oranı   y anal birim uzama    y   z eksenel birim uzama  x  x •Dikkat: bu formül tek eksenli yükleme durumunda geçerlidir. P nin yanısıra Y veya Z doğrultularında da kuvvetler olsaydı bu formül kullanılamazdı. •Poisson oranı bir yükün diğer doğrultulardaki etkisini verir. •Poisson oranı bir malzeme özelliğidir ve sınırları: 0 ile 0.5 arasında değişir. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Genel eksenel yüklemede hooke kanunları  y   z  0  x  x   z  0  x   y  0  x   x  ( y   z ) 1     .   . y    .   .  z E 1  x  E x y E x z E  y   y  ( x   z )    x   y    .   .  z E 1    .  y x y E y z E E  z   z  ( x   y )     .   . y E  x  z E  z   . x   E  z  E z y © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 3

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Kayma durumunda Hooke kanunları:  xy  G xy G: kayma modülü  xy  G  xy    E   G   G  21   Kaymada Hooke Bağıntıları yz yz   zx  G  zx  Böylece bir noktadaki genel gerilme durumu 6 gerilme elemanı (bileşen) ile temsil edilebilir.  z M  0   Aa   Aa 2-Boyutlu bir gerilme elemanında z-eksenine göre moment alınırsa : xy yx benzer şekilde; yz  zy ; yz  zy    xy yx © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Dikdörtgen prizması şeklindeki bir blok (G = 630 MPa) iki rijit plakaya yapıştırılmıştır. Alt plaka sabit iken, üst plakaya bir P kuvveti uygulanmıştır. P’nin etkisi ile üst plaka 1 mm hareket ettiğine göre; malzemedeki ortalama kayma şekil değiştirmesini ve uygulanan P kuvvetini bulunuz.  1 mm   tan    0.02 rad xy xy 50 mm. xy   G  630MPa0.02 rad  12.6 MPa xy xy P   A  12.6 MPa2008 mm62 mm xy  156.2 103 N © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek En genel durumda hooke bağıntıları Sıcaklık etkisi:   1    )  (  .T x E x y z   1    )  .T  ( y E y x z   1    )  .T  ( z E z x y  xy  yz  G  xy  G  yz  zx  G  zx •Normal gerilmelerin kayma şekil değiştirmelerine; kayma gerilmelerinin normal birim uzamalara etkisi yoktur. •Sıcaklığın kayma gerilmeleri ve kayma şekil değiştirmelerine etkisi yoktur. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Hacimsel Modül (Dilatation: Bulk Modulus- k) Gerilmesiz duruma göre hacimsel değişim: e  1  1   1   1    1  1        x y z x y z   x   y   z  1  2     y z E x e   p 31  2    p E k E 31  2  Uniform hidrostatik basınca maruz bir eleman için; k   hacimsel modül (bulk modulus) Hidrostatik basınç durumunda hacimsel değişim negatif olmalıdır. Bundan dolayı; 0    1 2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: Şekildeki plakanın üzerine d =225 mm çapında bir çember çizilmiştir. 18 mm kalınlığındaki plakada düzlemsel kuvvetlerin etkisiyle x = 84 MPa ve z = 140 MPa’lık gerilmeler meydana gelmiştir. E = 70 GPa ve  = 1/3, olduğuna göre: a) AB çapındaki, b) CD çapındaki, c) plakanın kalınlığındaki ve d) plakanın hacmindeki değişimi bulunuz. Genel Hooke bağıntılarından Normal birim şekil değiştirmeler; Deformasyonlar ; B A   xd   0.53310 225 mm  0.12 mm   1   (   ) 3 x x y z E    d   1.600 10  1  1  3   0.36 mm  225 mm  84  0  140  C D z 70 10 MPa  3 3     t   1.067 10  3  0.0192 mm 18 mm  0.533 103 mm/mm t y Hacimsel değişim:   1   (   ) y y x z E e        1.067 103 x y z V  eV  1.067 103 380  380 18  1.067 103 mm/mm   1   (   ) z z E x y V  2733 mm3  1.600 103 mm/mm © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek •Örnek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek •Örnek © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1- 10

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Genel Hooke Bağıntıları: Özet Örnek : Şekilde verilen 50 x 50 x 10 mm boyutlarındaki Alüminyum blok bir kanalın içine yerleştirilmiş ve z- doğrultusunda 10kN’luk çeki kuvvetine, y-doğrultusunda ise P bası kuvvetine maruz bırakılmıştır. x-doğrultusunda gerilme oluşmaması için; P yükünün maksimum değeri ne olmalıdır? Bu durumda bloğun y-doğrultusundaki kenar uzunluğu ne kadar değişir? © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Örnek: 50 x 30 x 12 mm boyutlarındaki alüminyum bir plaka ( E=75 GPa, υ=0.3) şekildeki gibi yüklenmiştir. Plakaya yapıştırılmış bulunan uzama tellerinden okunan değerler εx =350x10-6 ve εy = -125x10-6 olduğuna göre; D C x P ve F kuvvetlerini bulunuz. AC diyagonalindeki değişimi ve hacimsel değişimi hesaplayınız. P y A B F Örnek: P=300 kN P ΔT=40°C Bir kenar uzunluğu 10 mm olan çelik bir küp şekildeki gibi bir oyuğa yerleştirilmiştir. Küpün x- ve y-yönündeki şekil değiştirmeleri engellenmiştir. Verilen yükleme durumu için küpte hacimsel bir değişim olmaması için P ne olmalıdır. (∆V=0) bulunuz. (E=200 GPa, ν=0.3, =17.3 x 10-6 /°C). z y y x ön görünüş üst görünüş © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

MECHANICS OF MATERIALS Edition Fifth MECHANICS OF MATERIALS Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Gerilme Yığılmaları (Stress Concentration) Örnek : t=10 mm, d= 40 , D=60 mm, r = 8 mm. Ve izin verilebilir normal gerilme 165 MPa ise P=? (a) Flat bars with holes D 60mm r 8 mm K   max   1.50 d 40mm   0.20 d 40mm  ave K  1.82 İzin verilebilir ortalama normal gerilme:    max  165MPa  90.7 MPa ave K 1.82 P  A ave  40mm10mm90.7 MPa (b) Flat bars with fillets  36.3103 N P  36.3kN © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.