Düzenli Dillerin Kapalılık Özellikleri Birleşme, Kesişim, Fark, Bitiştirme, Kleene Kapatması, Ters Çevirme, Homomorfizm, Ters Homomorfizm

Kapalılık Özellikleri Hatırlayalım: Kapalılık özelliği, diller üzerine yapılan bir işlemin ayni dil sınıfından bir netice vermesidir. Düzenli dillerin kapalılık özelliğini ispalatmak için herhangi bir temsil şekillerini kullanabiliriz.

Birleşim Altında Kapalılık L ve M düzenli dil iseler, o zaman L  M de düzenli dildir. İspat: L ve M, sırasıyla R ve S düzenli deyimlerinin dilleri olsun. O zaman R+S, dili L  M olan bir düzeli deyimdir.

Bitiştirme ve Kleene Kapatması Altında Kapalılık Ayni fikir: RS, dili LM olan bir düzenli deyimdir. R*, dili L* olan bir düzenli deyimdir.

Kesişim Altında Kapalılık L ve M düzenli dil iseler, o zaman L  M de düzenlidir. İspat: A ve B, dilleri sırasıyla L ve M olan DSÖ’ler olsun. A ve B DSÖ’lerinin çarpımı olan C DSÖ’sünü oluştur. C’nin final durumlarını, A ve B’nin final durmları oaln çiftlerden yap.

Örnek: Kesişim İçin Çarpım DSÖ 1 [A,C] [A,D] A B 1 0, 1 1 1 1 [B,C] [B,D] 1 C D 1

Fark Altında Kapalılık L ve M düzenli dil iseler, o zaman L – M (= L’de olup M’de olamayan diziler) de düzenlidir. İspat: A ve B, diller sırası ile L ve m olan DSÖ’ler olsunlar. A ve B’nin çarpımı olan C özdevinirini oluştur. C’nin final durumlarını şöyle oluştur: Çiftin A-durumu final olsun, B-durumu final olmasın.

Örnek: Fark için Çarpım DSÖ’sü 1 [A,C] [A,D] A B 1 0, 1 1 1 1 [B,C] [B,D] 1 C D Dikkat: fark, boş dildir 1

Tamlayan Altında Kapalılık Bir L dilinin tamlayanı (Σ alfabesine göre, şöyle ki L  Σ* içinde) Σ* – L kümesidir. Σ* is düzenli olduğuna göre, iki düzenli dilin farkı da düzenli olduğuna göre, düzenli bir dilin tamlayanı her zaman düzenli olur.

Tersine Çevirme Altında Kapalılık Bir dil L için, Lr tersi L içinde olan dizilerin kümesidir. Örnek: L = {0, 01, 100}; LR = {0, 10, 001}. İspat: E, L için bir düzenli deyim olsum. LR dilini tanımlayan bir düzenli deyim olan ER ’yi E’den nasıl elde edebileceğimizi göstereceğiz.

Bir Düzenli Deyimin Tersi Temel: E a, ε, or veya ∅sembollerinden biri ise, o zaman then ER = E. Tümevarım: E F+G ise, o zaman ER = FR + GR. FG ise, o zaman ER = GRFR F* ise, o zaman ER = (FR)*.

Örnek: Bir DD’nin Tersinin Elde Edilmesi E = 01* + 10* olsun ER = (01* + 10*)R = (01*)R + (10*)R = (1*)R0R + (0*)R1R = (1R)*0 + (0R)*1 = 1*0 + 0*1.

Homomorfizm’lar Bir alfabe üzerine olan homomorfizm alfabedeki her sembolü bir dizi eşleyen bir fonksiyondur. Örnek: h(0) = ab; h(1) = ε. Dizilere şöyle genişletebiliriz: h(a1…an) = h(a1)…h(an). Örnek: h(01010) = ababab.

Homomorfizm Altında Kapalılık L bir düzenli dil ise, ve h onun alfabesi üzerine bir homomorfizm ise, o zaman h(L) = {h(w) | w  L } de bir düzenli dildir. İspat: Let E, L için bir düzenli deyim olsun. h’yi E içindeki her sembole uygula. Elde ettiğimiz DD’nin dili h(L) dir.

Örnek: Homomorfizm Altında Kapalılık h(0) = ab; h(1) = ε olsun. L, 01* + 10* düzenli deyiminin dili olsun. O zaman h(L) abε* + ε(ab)* düzenli deyiminin dilidir. Dikkat: düzgün gruplama için parantez kullanıyoruz.

Örnek – Devam abε* + ε(ab)* sadeleştirilebilir. ε* = ε, böylece abε* = abε. ε bitiştirme için etkisiz elemandır. Yani, herhangi bir DD E için εE = Eε = E. Böylece, abε* + ε(ab)* = abε + ε(ab)* = ab + (ab)*. Son olarak, L(ab)  L((ab)*), dolayısı ile h(L) için bir DD (ab)* ’dir.

Ters Homomorfizm h bir homomorfizm olsun ve L’nin alfabesi ile h’nin ‘çıktı’ alfabesi ayni olsun. h-1(L) = {w | h(w)  L}.

Örnek: Ters Homomorfizm h(0) = ab; h(1) = ε olsun. L = {abab, baba} olsun. h-1(L) = iki 0 ve istediğiniz sayıda 1’den oluşan diziler = L(1*01*01*). Dikkat: baba’ya eşleşen dizi yoktur. Tam olarak iki tane 0 içieren diziler abab dizisine eşleşir.

Ters Homomorfizm Kapalılığı için İspat L için DSÖ A ile başla. h-1(L) için DSÖ B oluştur, şöyle ki: Durumlar ayni. Ayni başlangıç durumu. Ayni final durumları. Girdi alfabesi= h homomorfizminin uygulandığı semboller.

İspat – (2) B’nin geçişleri h’nin bir sembol a’ ya uygulanıp A’nın h(a)’yı gördüğünde nereye gideceği bulunarak hesaplanır. Formel olarak, δB(q, a) = δA(q, h(a)).

Örnek: Ters Homomorfizm 1 Çünkü h(1) = ε a B C B A , 0 Çünkü h(0) = ab a A b b b C a h(0) = ab h(1) = ε

İspat – (3) |w| üzerine tümevarım gösterir ki δB(q0, w) = δA(q0, h(w)). Temel: w = ε. δB(q0, ε) = q0, and δA(q0, h(ε)) = δA(q0, ε) = q0.

Proof – (4) Tümevarım: w = xa olsun; x için tümevarım hipotezini varsayalım. δB(q0, w) = δB(δB(q0, x), a). = δB(δA(q0, h(x)), a) tümevarım hipotezinden ötürü. = δA(δA(q0, h(x)), h(a)) DSÖ B tanımından ötürü. = δA(q0, h(x)h(a)) genişletilmiş deltanın tanımından ötürü. = δA(q0, h(w)) homomorfizm tanımından ötürü.