X-IŞINLARI KRİSTALOGRAFİSİ “ÖRGÜ” Prof. Dr. Ayhan ELMALI

Kristal sistemlerin ardından kristal nokta gruplarını ve uzay gruplarını anlatmadan önce örgü ve örgünün özelliklerini ve tiplerini tanımamız, kavramları anlamamızı kolaylaştırır.

Her baz, ‘birim hücre’ dediğimiz, bir prizma içindedir Her baz, ‘birim hücre’ dediğimiz, bir prizma içindedir. Prizmalar üst üste ve yan yana konarak büyük bir prizma elde edilir. Bu prizmanın içinde herhangi bir köşede sekiz adet prizmanın birer köşesi birleşmiştir. Her bir küçük prizmada bir molekül veya atom grubu varsa, büyük prizma kristali temsil eder.

Bir an için kristali gerçekte var olan bazlarından soyutlarsak şekildeki kristalin örgüsü olarak adlandırılan örgü noktalarını elde ederiz. Bir noktaya sonsuz kere a, b ve c ötelemeleri uygulanarak uzaysal noktalar dizisi elde edilir. Buna tanım olarak örgü denir.

Örgü Noktası Örgünün bütün noktaları idantiktir. Herhangi bir tanesini başlangıç olarak seçelim. Diğer örgü noktaları T = ua + vb + wc vektörünün son ucudur. ( u, v, w tam sayılardır.) herhangi bir örgü noktası u, v, w üçlüsü ile gösterilir.

Bir örgünün c’ye paralel izdüşümü üzerindeki rasyonel doğrultular ( c vektörü kağıt düzlemine diktir.) [110] A 220 120 A 000 b [010] a 100 120 B 220 [120] [100]

Rasyonel Doğrultu Herhangi iki örgü noktasından geçen doğruya rasyonel doğru denir. Bu iki noktadan geçen rasyonel doğru daha pek çok örgü noktasından da geçer. Örneğin, A doğrusu120; 000; 120; 240…noktalarından geçer. B ise 220; 110; 000; 110…dan geçer. Bütün noktalar idantik olduğundan örgünün herhangi bir noktası başlangıç olarak seçilebilir. Bir doğrultuyu isimlendirmek için başlangıç olarak seçilen noktadan bu doğrultuya paralel doğrunun geçtiği ilk örgü noktasının koordinatları kullanılır. Bu koordinatlar köşeli parantez içinde yazılır. A doğrusu [120], B doğrusu [110]. x-ekseni doğrultusu [100], y-ekseni doğrultusu [010]. Genel olarak bir doğrultu [u v w] ile belirlenir ve u, v, w’lara doğrultu indisleri denir.

Rasyonel Düzlem 1- Örgünün herhangi üç noktasından geçen düzleme rasyonel düzlem denir. C 00p 2- İki rasyonel doğrultunun belirlediği düzleme C’ 0n0 rasyonel düzlem denir. B’ B 3- Birim hücre kenarlarını A’ rasyonel kesirlerle A kesen bütün düzlemler m00 rasyonel düzlemdir.

ABC ve A’B’C’ düzlemlerinin Miller indisleri (263) ve (132) dir. Rasyonel düzlemlerin Miller indisleri üç adımda bulunur. 1- Düzlemin ekseni kestiği noktalar saptanır. 2- Bunların tersleri alınır. 3- Bu üç kesrin paydalarının en küçük ortak katı ile hepsi çarpılır.

Koordinatlar Tersleri Miller indisleri Düzlem m, n, p 1 , 1 , 1 m n p Ekokx(1 , 1 ,1 ) m n p (hkl) ABC 3 1 2 1 1 1 6( 1 1 1 ) 3 1 2 (263) A’B’C’ 3 2 1 3 2 1( 1 3 2 ) (132)

A, B, C,…M düzlemleri aynı düzlemlerdir. İndisleri (210) veya (210) dır. E D C B A F Q G x H y

A 2 4  ( 2 1 0) B 3/2 3  (2 1 0) C 1 2  D 1/2 1  E F 1 1  düzlem m n p 1 1 1 m n p ( h k l ) A 2 4  1 1 1 2 4  ( 2 1 0) B 3/2 3  2 1 1 3 3  (2 1 0) C 1 2  1 1 1 1 2  D 1/2 1  1 1  E F 1 1  2 1 1 1 1  ( 2 1 0) G 1 2  1 1 1 1 2  H 3/2 3  2 1 1 3 3  Q 2 3  1 1 1 2 3  ( 2 1 0)

A, B C, D, E, F, G ve H düzlemleri eşit aralıklı ve z-eksenine paraleldir. z-eksenini sonsuzda keserler. Bu düzlemlerin aynı rasyonel düzlem olduğu başlangıç noktası kaydırılınca görülebilir. Pratikte birim hücre başlangıcına en yakın olan düzlemin (burada D veya F) çizimi yeterlidir. Rasyonel düzlemlerin küçük parantezlerle gösterilmesi uluslar arası bir kuraldır. E doğrusu başlangıçtan geçtiği için hesap yapılamamıştır.

Bazı rasyonel düzlemler z z (200) c c (120) b y b y a (100) a X x c/0=  olduğundan (100), (200) ve (120) düzlemleri z-eksenine paraleldir

z z c c (111) b x b y (211) a a x x

Zon Ekseni Aynı doğrultuya paralel olan düzlemler topluluğuna aynı zona ait düzlemler (h1k1l1) denir. İki düzlemin ara kesit doğrusu zon ekseninin doğrultusunu verir. (h2k2l2) İki düzlemin ara kesit doğrusu bunların [u v w] zon eksenidir.

Örgü Dönüşümleri Bir a, b, c vektör takımı verildiğinde bunlarla ancak bir tane örgü tanımlanır. Tersine bir örgü verildiğinde bu örgüyü tanımlamak için bir çok vektör takımı kullanılabilir.

Aynı düzlemsel örgü a, b; A1, B1; A2, B2 ve daha birçok vektör takımı ile tanımlanabilir. A1 = a + b B1 = b ; A2 = a B2 = a + 2b b B1 a A1 A2 B2

Genel olarak üç boyutlu bir örgüde bir A, B, C vektör takımı a, b, c cinsinden; A = u1a + v1b + w1c B = u2a + v2b + w2c C = u3a + v3b + w3c ui ,vi , wi nin üç rasyonel doğrultuyu tanımladığı açıktır. Bu üç doğrultu belirlenince yeni birim hücre de belirlenmiş olur.

∆ = u1 v1 w1 matrisine dönüşüm u2 v2 w2 matrisi denir. u3 v3 w3 Örgünün birim hücresi değişince rasyonel düzlemlerin Miller indisleri de değişir. Miller indisleri de yukarıda verilen dönüşüm matrisine göre değişir. H = u1h + v1k + w1l K = u2 h + v2k + w2l L = u3h + v3k + w3l

Örnek: Bir kristalde örgü dönüşümü sonucunda D1, D2 ve D3 düzlemlerinin Miller indisleri aşağıdaki şekilde dönüşmüştür. Dönüşüm matrisini bulunuz. h k l H K L D1 ( 1 1 0 ) ( 2 3 0 ) D2 ( 2 1 0 ) ( 3 4 0 ) D3 ( 0 0 1 ) ( 0 0 1 )

2 = u1 .1 + v1 . 1 + w1 . 0 u1 + v1 = 2 u1 = 1 3 = u1 . 2 + v1 . 1 + w1 . 0 2u1 + v1 = 3 v1 = 1 0 = u1 . 0 + v1 . 0 + w1 . 1 w1 = 0 w1 = 0 3 = u2 . 1 + v2 . 1 + w2 . 0 u2 + v2 = 2 u2 = 1 4 = u2 .2 + v2 . 1 + w2 . 0 2 u2 + v2 = 4 v2 = 2 0 = u2 .0 + v2 . 0 + w2 . 1 w2 = 0 w2 = 0 0 = u3 . 1 + v3 . 1 + w3 . 0 u3 + v3 = 0 u3 = 0 0 = u3 . 2 + v3 . 1 + w3. 0 2u3 + v3 = 4 v3 = 0 1 = u3 . 0 + v3 . 0 + w3 . 0 w3=1 w3= 1