MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ PARÇACIK DENGESİ Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Parçacık Denge Koşulu Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir. Ancak ‘‘denge’’ veya ‘‘statik denge’’ ifadesi, çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır. Denge durumunu korumak için, Newton’un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir. Bu kanuna göre, bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir. Denge için hem gerekli, hem de yeterli olan bu durum matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir: 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

- Yaylar - İpler ve Makaralar Serbest Cisim Diyagramı Denge denkleminin doğru uygulanabilmesi için, parçacık üzerine etkiyen bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvetler hesaba katılmalıdır. Bunu yapmanın en iyi yolu, parçacığa ait serbest cisim diyagramının çizilmesidir. Bu diyagram, parçacığı çevresinden soyutlanmış veya ‘serbest’ olarak gösteren bir şemadır. Bu şemada, parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri göstermek gereklidir. Bu diyagram çizildikten sonra denge denklemini uygulamak kolaylaşır. Serbest cisim diyagramına geçmeden önce parçacık denge probleminde sıkça karşılaşılan iki bağlantı tipi ele alınacaktır: - Yaylar - İpler ve Makaralar - Yaylar Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı olarak değişir. Yayların elastikliğini tanımlayan bir özellik k yay sabiti ve yüksüz konumdan s mesafesi kadar deforme edilmiş (uzatılmış veya sıkıştırılmış) lineer elastik bir yayda oluşan kuvvetin büyüklüğü 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

formülü ile hesaplanır. s, yayın deforme edilmiş l uzunluğu ile deforme edilmemiş l0 uzunluğu arasındaki farktan belirlenir, yani s = l – l0’dır. Buna göre, s pozitif ise, F yayı ‘‘çeker’’; s negatif ise, F yayı ‘‘iter’’. Örneğin, şekildeki yayın, deforme edilmemiş uzunluğu l0 = 0.4 m ve katsayısı k = 500 N/m’dir. Yayı l = 0.6 m olacak şekilde uzatmak için, F = ks = (500 N/m)(0.6 m – 0.4 m) = 100 N’luk bir kuvvet gereklidir. Benzer şekilde, yayı l = 0.2 m’ye sıkıştırmak için, F = ks = (500 N/m)(0.2 m – 0.4 m) = - 100 N’luk bir kuvvet gerekir. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Serbest Cisim Diyagramının Çizilmesi - İpler ve Makaralar İplerin ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip olduğu ve uzayamaz olduğu varsayılmaktadır. İpler sadece gerilme veya çekme kuvvetini taşıyabilir ve bu kuvvet daima ip doğrultusundadır. Makaralar ise sürtünmesiz olarak kabul edilmektedir. Sürtünmesiz bir makara üzerinden geçen sürekli bir ipin dengede kalabilmesi için, ipte oluşan gerilme kuvvetinin büyüklüğünün sabit olması gerekmektedir. Buna göre, şekildeki herhangi bir θ açısı için, ip, uzunluğu boyunca sabit T gerilmesine maruz kalmaktadır. Serbest Cisim Diyagramının Çizilmesi Parçacığa etkiyen tüm kuvvetleri hesaba katmamız gerektiğinden, problemin çözümü için denge denklemini uygulamadan önce, bir serbest cisim diyagramı çizilmelidir. Bunun için üç adım izlenmelidir: 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

1. Adım Parçacığın, çevresinden soyutlandığını veya ‘‘serbest’’ kaldığı kabul edilmeli ve cismin genel hatları çizilmelidir. 2. Adım Bu çizim üzerinde parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetler belirtilmelidir. Bu kuvvetler, bağlı ipler, ağırlık veya manyetik ve elektrostatik etkileşim nedeniyle ortaya çıkan ve parçacığı hareket ettiren aktif kuvvetler olabilir. Ayrıca, hareketi önleme eğilimi olan ve kısıtlamalar veya mesnetlerin neden olduğu tepki kuvvetleri de vardır. Bu kuvvetlerin hepsini hesaba katmak konusunda, parçacığın sınırlarını çizerek, üzerine etkiyen her bir kuvveti işaretlemek yardımcı olacaktır. 3. Adım Bilinen kuvvetler, uygun büyüklük ve doğrultularla işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin büyüklük ve doğrultularını göstermek için harfler kullanılır. Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor, fakat büyüklüğü bilinmiyorsa, kuvvetin yönünü tanımlayan ‘‘ok ucu’’ varsayıma göre seçilebilir. Tanım gereği, büyüklük daima pozitiftir, çözüm negatif bir skaler verirse, eksi işareti, kuvvetin ucunun veya yönünün başta varsayılanın tersine olduğunu gösterir. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki küre 6 kg kütlelidir ve gösterildiği şekilde tutulmaktadır. Kürenin ve C’deki düğümün serbest cisim diyagramını çiziniz. Küre üzerine etkiyen iki kuvvet vardır: Kürenin ağırlığı ve CE ipinin P kuvveti. Kürenin ağırlığı (6 kg)(9.81 m/s2) = 58.9’dur. Çevresinden soyutlandığında C’deki düğüme üç kuvvetin etkidiği anlaşılmaktadır. Bunlara CBA ve CE ipleri ve CD yayı neden olur. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Çoğu parçacık denge problemi, şekildeki gibi bir düzlemsel kuvvet sistemi içerir. Kuvvetler, x-y düzleminde bulunuyorsa, i ve j bileşenlerine ayrılır ve aşağıdaki denklemle ifade edilir. Bu vektörel denklemin sağlanması için x ve y bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Soru Çözümlerinde İzlenecek Yol Aşağıdaki prosedür parçacık dengesini içeren düzlemsel kuvvet problemlerinin çözümü için bir yöntem oluşturur. Serbest Cisim Diyagramı Parçacığın serbest cisim diyagramı çizilir. Bilinen ve bilinmeyen tüm kuvvet büyüklükleri ve açıları diyagram üzerine yerleştirilir. Bilinmeyen büyüklüğe sahip bir kuvvetin yönü keyfi seçilebilir. Denge Denklemleri x ve y eksenleri herhangi uygun doğrultuda seçilir ve denge denklemleri uygulanır. Uygulamada, bileşenler, pozitif eksenler yönünde ise pozitif, negatif eksenler yönünde ise negatif alınır. Eğer ikiden fazla bilinmeyen varsa ve problem bir yay içeriyorsa, yay kuvvetini yayın deformasyonuna bağlamak için F = ks uygulanır. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekilde gösterilen 250 kg’lık motorun dengede olması için AB ve AD iplerindeki çekme kuvvetleri ne olmalıdır? Problemi çözmek için A noktası için denge denklemi uygulanmalıdır. Çünkü parçacık AB ve AD iplerinin uyguladığı kuvvetlere maruzdur. Motorun ağırlığı (250 kg)(9.81 m/s2) = 2.452 kN’dur. Dolayısıyla AC ipindeki kuvvette 2.452 kN’dur. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki 8 kg’lık lambanın gösterilen konumda asılabilmesi için, AC ipinin uzunluğu ne olmalıdır? (AB yayının deforme olmamış uzunluğu l'AB = 0.4 m ve yay katsayısı kAB = 300 N/m’dir.) AB yayındaki kuvvet bilinirse, yayın uzaması bulunabilir (F = ks). Böylece, geometriden AC ipinin uzunluğu belirlenebilir. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını göstermektedir. Bunları kullanarak, genellikle, serbest cisim diyagramında gösterilen açılar ve kuvvetlerin büyüklükleri olan en fazla üç bilinmeyeni çözebiliriz. 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

ÖRNEK SORU Şekildeki O parçacığının dengesi için gerekli olan F kuvvetinin büyüklüğünü ve doğrultu açılarını belirleyiniz. Serbest Cisim Diyagramı 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

? Şekilde gösterilen 100 kg’lık kutu, birine yay bağlanmış üç iple tutulmaktadır. Her bir ipteki çekme kuvvetini ve yayın gerilme miktarını belirleyiniz. Her bir ipteki kuvvet, A noktasının dengesi incelenerek belirlenebilir. Kutunun ağırlığı W = 100(9.81) = 981 N’dur. Serbest Cisim Diyagramı 28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ

28.12.2018 Statik, Yrd. Doç. Dr. Ahmet ÇİFCİ