Düğüm-Eyer Dallanması Düğüm-Eyer Dallanması: denge noktasının parametre değerinde bir düğüm –eyer dallanma noktası olması için sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerdir: denge noktası Hiperbolik değil Dallanma noktasında kuadratik terimler içermekte Çaprazlık koşulu Düğüm-Eyer Dallanması için önörnek: 2 2

Bir örnek Düğüm-Eyer Dallanması Hatırlatma Kararlı odak Eyer S. Sastry, “Nonlinear Systems”, Springer, 1999. Düğüm-Eyer Dallanması 3 3

Düğüm-Eyer dallanması için ele alınan ön-örneğe yüksek mertebeden terimler eklense davranışı yapısal olarak değişir mi? Bu soru neden önemli Lemma sistemi sistemine orijin civarında topolojik olarak eşdeğerdir. Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Hatırlatma Tanıt iki aşamalı (1) Denge noktalarının analizi yapılıyor Kapalı fonksiyon (Implicit Function) teoreminden yararlanılarak denge noktalarını içeren manifoldun yerel olarak dallanma parametresini durum değişkenine bağlı olacak şekilde ifade edilebildiği gösterilip, her iki sistem için denge noktalarının birbirlerine yakın olduğu gösterilir. 4 4

U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki: Teorem: (İmplicit function ) ’de bir noktayı ile belirtelim matrisi tersinir ise a ‘yı içeren bir açık küme U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki: Hatırlatma (2) Homeomorfizm oluşturuluyor Nasıl belirlenecek? 5 5

Düğüm-Eyer dallanması için ele alınan ön-örneğe yüksek mertebeden terimler eklense de topolojik eşdeğerliğin korunduğu görüldü. sisteminin parametre değeri için ‘da denge noktası olsun ve bu denge noktası civarında olsun. Bu koşul neye karşı geliyor? Nasıl yazıldı? Nasıl ? denge noktası Hiperbolik değil Dallanma noktasında kuadratik terimler içermekte Çaprazlık koşulu 6 6

* Sistemini dönüştüren tersinir Teorem Kuznetsov’04 (84) * * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. Tanıt * Sisteminin verilen koşullar altında dönüşümler ile sistemine dönüştüğünü gösterilecek. Neden yararlanabiliriz? Hatırlatma 8 tersinir koordinat donusumleri ve parametre donusumleri ile sistemin donustugu gosterilecek. denge noktası Hiperbolik değil 7 7

Koordinat-ötelemesi: Bu terimin yok olması için koşul yazılabilir. Hipotezden 8 8

U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki: Teorem: (İmplicit function ) ’de bir noktayı ile belirtelim matrisi tersinir ise a ‘yı içeren bir açık küme U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere vardır, öyle ki: Hatırlatma Delta(alpha) F(alpha, delta)’nin sifira esit olması ve Taylor serisinden elde edilir. Hipotezden Hipotezden Kapalı fonksiyon teoreminden yerel olarak fonksiyonu var ve tektir, ve Nasıl? 9 9

Yeni bir parametre tanımlama: Hipotezden Ters fonksiyon teoreminden Ölçekleme: 10 10

sistemi sistemine orijin civarında topolojik olarak eşdeğerdir. Lemma sistemi sistemine orijin civarında topolojik olarak eşdeğerdir. Teorem * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. * * Sistemi orijin civarında sistemine topolojik olarak eşdeğerdir. 11 11

Bir parametreye bağlı yerel dallanmalar için basit koşullar Hatırlatma Bir parametreye bağlı yerel dallanmalar için basit koşullar Dallanmanın eşboyutu=1 Düğüm-Eyer Katlanma Limit nokta Hopf Andronov-Hopf Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. 12 12

Hopf Dallanması Y.A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. 13

yeterince küçük tüm ‘lar için ‘da Hopf Dallanması yeterince küçük tüm ‘lar için ‘da özdeğerleri olan denge noktası olsun. birinci Lyapunov katsayısı * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat, parametre ve zamanı ölçekleyen dönüşümler vardır. * * * Teorem sistemi orijin civarında (**) sistemine topolojik olarak eşdeğerdir. Lemma http://www.scholarpedia.org/article/Andronov-Hopf_bifurcation 14