MAT – 101 Temel Matematik Mustafa Sezer PEHLİVAN * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

DENKLEMLER 1. DERECEDEN 1 BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER 𝑎,𝑏∈𝑅 𝑣𝑒 𝑎≠0 olmak üzere, 𝑎𝑥+𝑏=0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü, denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm kümesi, denklemin köklerini bulmak için yapılan işleme denklem çözme denir. Çözüm kümesi Ç={…} ile gösterilir.

ax+b = 0 Denkleminin Çözüm Kümesinin Bulunması Eşitliğinin özellikleri kullanılarak denklemin çözüm kümesi bulunur. ax+b = 0 ax+b+(-b) = 0+(-b) ax+0 = -b ax = -b ax/a = (-b)/a x = -b/a Ç = {-b/a }

ÖRNEK=6x–3(x+1) = 2x denkleminin çözüm kümesini bulunuz ÖRNEK=6x–3(x+1) = 2x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 6x–3(x+1)=2x 6x – 3x – 3=2x 3x – 2x = 3 x = 3 Ç = {3}

ÖRNEK: 𝒙 𝒙+𝒎 + 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 = 𝟐 𝒙−𝟐 +𝟑 denkleminin bir kökü 3’ tür ÖRNEK: 𝒙 𝒙+𝒎 + 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 = 𝟐 𝒙−𝟐 +𝟑 denkleminin bir kökü 3’ tür. Buna göre m kaçtır? x yerine 3 yazılır ve soru çözümlenir 𝟑 𝟑+𝒎 + 𝟑+𝟏 𝟑−𝟏 = 𝟐 𝟑−𝟐 +𝟑 𝟑 𝟑+𝒎 +𝟐=𝟐+𝟑 𝟑 𝟑+𝒎 =𝟑 𝟑=𝟑.(𝟑+𝒎) 𝟑=𝟗+𝟑𝒎 𝒎=−𝟐 hesaplanır. Ç={-2}

Kural: 𝑎.𝑏=0 ise a=0 veya b=0’dır. 𝑎 𝑏 =0 ise a=0 ve b≠0’dır. Uyarı ax+b = 0 denkleminde; a≠0 ise 𝑥= −𝒃 𝒂 Ç= −𝒃 𝒂 a=0 ve b=0 ise 0=0 olur ve çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. a=0 ve b≠0 ise b=0 eşitliği sözkonusu olur ve çözüm kümesi boş kümedir. Ç={ } olarak tanımlanır.

Örnek: x+12=3(x–1)–2x denkleminin denkleminin çözüm kümesini bulunuz. x+12=3.(x–1)–2x x+12=3x–3–2x x+12=x–3 x-x=-3–12 0≠-15 olduğuna göre Ç={ } dir.

Örnek: 2x–5=1–2(3-x) reel Sayılardaki çözüm kümesini bulunuz. 2x–5=1–2(3-x) 2x–5=1–6+2x 2x–5=2x–5 2x–2x=-5+5 0=0 olduğuna göre verilen denklemi bütün sayılar sağlar dolayısıyla çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Örnek: 5 3− 2 4− 1 𝑥−1 =1 ise x kaçtır ?

RASYONEL DENKLEMLER P(x)ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠0 olmak üzere 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) =0 bir rasyonel denklemdir. Bu denklemin kökleri ; P(x)=0 ve Q(x) ≠0 bağlantılarını doğrulayan x değerleridir. Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulunuz

Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulunuz? Payın kökü 4x-8=0’dan x=2 Paydanın kökü x=-2 ve x=2 olarak hesaplanır. Dolayısıyla denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Örnek: denkleminin çözüm kümesini bulunuz?

I. DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMLERİ a,b,c,d,e,f R olmak üzere, şeklindeki denkleme I. dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bu sistemdeki her bir denkleme x ve y bilinmeyenlerinin katsayılarından en az biri sıfırdan farklı olmalıdır.

ax+by+c = 0 ile dx+ey+f = 0 birer doğrusal fonksiyondur ax+by+c = 0 ile dx+ey+f = 0 birer doğrusal fonksiyondur. Denklem sisteminin çözümü, her iki denklemi sağlayan (x,y) noktasını bulmak demektir. Geometrik olarak sistemin çözümü doğruların kesim noktasıdır. O halde sistemin çözüm kümesi bulunurken doğruların birbirine göre durumunu incelemek gerekir.

doğruları için; 1. ise doğrular paraleldir doğruları için; 1. ise doğrular paraleldir. Sistemin çözüm kümesi boş kümedir. 2. ise doğrular çakışıktır. Sistemin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır. 3. ise doğrular kesişirler. Çözüm kümesi bir elemanlıdır. .

Denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m kaçtır?

DENKLEM SİSTEMİNİN ÇÖZÜM METODLARI Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesinin bulunmasına dair pek çok yöntem vardır. Biz burada, sırasıyla en çok kullanılan üçü üzerinde duracağız. Yok etme yöntemi Yerine koyma yöntemi Karşılaştırma yöntemi

Yok Etme Metodu Verilen denklemlerin katsayıları; Değişkenlerden birinin yok edilmesini netice verecek biçimde düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama yada çıkarma yapılarak sonuca gidilir. Örnek: denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.

+

Örnek: denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz Örnek: denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz? x=6 için 6-y=5 y=1 Ç{(x,y)}=Ç{(6,1)} bulunur.

YERİNE KOYMA METODU Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir. Örnek: 4x+3y=17 3x-y=3 denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?

3x - y=3 ise 3x - 3=y değerini 4x + 3y=17 denkleminde yerine yazalım 3x - y=3 ise 3x - 3=y değerini 4x + 3y=17 denkleminde yerine yazalım. 4x + 3.(3x - 3)=17 y=3.x -3 4x + 9x - 9=17 y=3.2 -3 13x = 26 y = 3 x = 2 bulunur. Ç={2,3}

KARŞILAŞTIRMA METODU Verilen denklemin her ikisinden de aynı değişkenler çekilir. Denklemlerin diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir. Örnek: denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz?

a + 2b – 3 = 0  a= -2b + 3 …….(1) a -3b + 7 = 0  a= 3b-7 …...……(2) -2b + 3 = 3b – 7  3+7 = 3b + 2b 10 = 5b b=2 a = -2b + 3 eşitliğinden a = -2.2 + 3 a = -1 Buradan (a,b) ikilisi (-1,2) ve Ç= {(-1,2)} dir.  

*: Ders notları, ilk hafta verilen kaynaklar üzerinden öğrencilerin yararlanması amacıyla hazırlanmıştır. Mustafa Sezer PEHLİVAN Mustafa Sezer PEHLİVAN