Banach Sabit Nokta Teoremi (Büzülme Teoremi) Banach's fixed point theorem has important applications to iteration methods for solving systems of linear algebraic equations and yields sufficient conditions for convergence and error bounds. To understand the situation, we first remember that for solving such a system there are various direct methods (methods that would yield the exact solution after finitely many arithmetical operations if the precision-the word length of our computer-were unlimited); a familiar example is Gauss' elimination method (roughly, a systematic version of the elimination taught in school). However, an iteration, or indirect method, may be more efficient if the system is special, for instance, if it is sparse, that is, if it consists of many equations but has only a small number of nonzero coefficients. (Vibrational problems, networks and difference approximations of partial differential equations often lead to sparse systems.) Moreover, the usual direct methods require about n3/3 arithmetical operations (n = number of equations = number of unknowns), and for large n, rounding errors may become quite large, whereas in an iteration, errors due to roundoff (or even blunders) may be damped out eventually. In fact, iteration methods are frequently used to improve "solutions" obtained by direct methods.

Banach Sabit Nokta Teoremi (Büzülme Teoremi) dönüşümünün bir sabit noktasıdır. Büzülme ‘de bir büzülmedir Teorem BST1 Banach Sabit Nokta Teoremi ‘de bir büzülmedir tam ‘nin tek bir sabit noktası vardır. Tanıt Herhangi bir belirleyip “ardışıl dizi” oluşturalım

dizisinin Cauchy olduğunu göstermek için: üçgen eşitsizliği Hatırlatma: Geometrik dizi ilk n terimin toplamı: geometrik dizinin toplamı

büzülme Nasıl? bir sabit m yeterince büyük ve n>m alınarak bu ifade istenildiği kadar küçük kılınabilir. Bunu nasıl söyledik? Cauchy Tam Böylece T’den yararlanarak oluşturulan dizinin yakınsak olduğunu gösterdik. x’in T’nin sabit noktası olduğu göstermek için: üçgen eşitsizliği büzülme yakınsaklığın tanımından ‘nin sabit noktasıdır metrik tanımından Sabit nokta tanımından

Sabit noktanın tekliğini göstermek için: ve iki farklı sabit nokta olsun Büzülme Teorem BST2 İterasyon, Hata Sınırları ‘de bir büzülmedir tam Herhangi bir belirleyip “ardışıl dizi” ‘nin tek sabit noktası ‘e yakınsar “Hata Kestirimleri” Öncül Kestirim: Son Kestirim:

yerine yerine alıp yeniden yazılırsa Tanıt BST1 yerine yerine alıp yeniden yazılırsa Bunlar bir kısıtlama getir mi? alınırsa 6

“ardışıl dizi” ‘e yakınsar Yuvar ve Küre Açık Yuvar Kapalı Yuvar Küre Hatırlatma Teorem BST3 Bir yuvarda büzülme Tam ‘de bir büzülme ve “ardışıl dizi” ‘e yakınsar ‘nin bir sabit noktasıdır ‘nin ‘de tek sabit noktasıdır 7

Gösterilmesi gereken ‘ler ve ‘in, ‘de olduğu Tanıt BST1 Gösterilmesi gereken ‘ler ve ‘in, ‘de olduğu yerine konursa Hipotezden ‘lerin hepsi ‘nin içinde + kapalı BST1 Tanıt tamamlandı Teorem BST4 Süreklilik ‘de büzülmedir süreklidir 8

reel sayılardan oluşmuş n-lilerin oluşturduğu küme Lineer Denklem takımı reel sayılardan oluşmuş n-lilerin oluşturduğu küme tam mı? Bir Cauchy dizisi oluştur. tamdır ‘deki her Cauch dizisi yakınsaktır tam MU5, MU6, MU7 teoremlerinden Cauchy dizisinin yakınsadığı noktasının ‘de olduğunu göster 9

bir büzülme dönüşümü mü? Yanıt: bir büzülme dönüşümü mü? 10

ile verilen denklem sistem ( verilmiş) Teorem LDT Lineer Denklem Takımı koşulunu sağlıyorsa ile verilen denklem sistem ( verilmiş) çözüm, “ardışıl dizi” ‘nin limiti olarak keyfi bir için elde edilir. Bu çözüme ilişkin hata sınırları: Burada elde edilen sınırlar metriğe göre değişir, metriğe göre değişen başka ne var? 11

Genel olarak karşılaştığımız lineer denklem takımları nasıldır? n bilinmiyenli, n lineer cebrik denklemden oluşan sistemler Jakobi İterasyonu Bu iterasyon ile çözümü bulmak istersek ilk neye dikkat etmeliyiz? 12

bağıntısından yararlanarak bağıntısını elde etmek için veya 13

Gauss-Seidel İterasyonu 00000000 xxxxxxxxxx j. satır m+1’deki değerler var yok Diferansiyel denklemler eksik 14