Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN MUTLAK DEĞER Öğr. Gör. Mehmet Ali ZENGİN

KONU BAŞLIKLARI MUTLAK DEĞERİN TANIMI 2. MUTLAK DEĞERE AİT BAZI ÖZELLİKLER 3. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER/ EŞİTSİZLİKLER

1. Mutlak Değerin Tanımı Bir sayının sayı doğrusu üzerinde başlangıç noktasına olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. x sayısının mutlak değeri |x| sembolüyle gösterilir. x > 0 ise |x| = x x = 0 ise |x| = |0| = 0 x < 0 ise |x| = –x olup 𝑥 = −&𝑥, 𝑥<0 &𝑥, 𝑥≥0 Şeklinde tanımlanır.

1. Mutlak Değerin Tanımı Örnek Soru 1: x < 0 ve y > 0 için, |x| + |y| – |y – x| ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 B) 2x C) 2y D) x E) –y

1. Mutlak Değerin Tanımı Örnek Soru Çözüm 1: x < 0  |x| = —x y > 0  |y| = y x < 0 ve y > 0 için y - x > 0 ve |y - x| = y - x tir. Bu doğrultuda; |x| + |y| - |y - x| = -x + y - (y - x) = -x + y - y + x = 0 bulunur.

1. Mutlak Değerin Tanımı Örnek Soru 2: a < b < 0 olmak üzere, |a| + |a + b| – |a – b| ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –a B) a C) 2b – a D) –3a E) –(a + 2b)

1. Mutlak Değerin Tanımı Örnek Soru Çözüm 2: a < 0 için |a| = –a a + b < 0 olduğu için |a + b| = –a – b a – b < 0 olduğu için |a – b| = –a + b dir. Buna göre, |a| + |a + b| – |a – b| = –a – a – b + a – b = – a – 2b = –(a + 2b) dir.

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Her a, b reel sayısı için, 1. |a| ≥ 0 2. |a| = |–a| veya |a – b| = |b – a| 3. |a.b| = |a| . |b| 4. b ≠ 0 için 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 5. | |a| – |b| | ≤ |a + b| ≤ |a| + |b| ... (Üçgen eşitsizliği) 6. n ∈ 𝑍 + , | 𝑎 𝑛 | = 𝑎 𝑛

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru 3: 5 – 4x ≠ 0 olmak üzere, 15−12𝑥 8𝑥−10 ifadesinin değerini bulunuz.

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 3: 15−12𝑥 8𝑥−10 = 3(5−4𝑥) 2(4𝑥−5) = 3 5−4𝑥 2 4𝑥−5 5−4𝑥 = 4𝑥−5 olduğu için = 3 2

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Uyarı : m ile n birer sabit reel sayı olmak üzere, |x + m| + |x + n| ifadesinin en küçük değeri x+m=0 eşitliğini sağlayan (|x + n| = 0 eşitliğini sağlayan ) x = –m değeri (x = –n değeri) için bulunabilir. Örnek Soru 4: |2x – 6| + |3y + 15| ifadesinin en küçük değeri için x – y farkı kaçtır? A) 8 B) 5 C) 3 D) 2 E) –2

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 4: |2x – 6| + |3y + 15| toplamının en küçük değeri 0 dır. |2x – 6| + |3y + 15| = 0 ise |2x – 6| = 0 ve |3y + 15| = 0 olmalıdır. |2x – 6| = 0 ⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3 ve |3y + 15| = 0 ⇒ 3y + 15 = 0 ⇒ y = –5 bulunur. x – y = 3 – (–5) = 8 dir.

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru 5: A = 12 𝑥+3 +|3𝑥−6| olduğuna göre, A nın en büyük değeri kaçtır? A) –3 B) 4 5 C) 2 D) 12 5 E) 3

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 5: x+3 = 0 ⇒ x=−3 ⇒ A = 12 −3+3 +|−9−6| = 12 15 = 4 5 3x-6 = 0 ⇒ x=2 ⇒ A = 12 2+3 +|6−6| = 𝟏𝟐 𝟓 İki değer karşılaştırıldığında 𝟏𝟐 𝟓 daha büyüktür.

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Uyarı : |x–a| + |y+b|= 0 ise || || 0 0 x–a = 0 ⇒ x = a ve y+b = 0 ⇒ y = –b olmalıdır. Örnek Soru 6: | 2x + y + 5 | + | 3x – 2y – 3 | = 0 olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır? A) 3 B) 1 C) –1 D) –3 E) –6

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 6: | 2x + y + 5 | + | 3x – 2y – 3 | = 0 || || 0 0 2x + y + 5 = 0 ⇒ 2x+ y = -5 ... (1) 3x - 2y - 3 = 0 ⇒ 3x-2y = 3 ... (2) (1) ile (2) birlikte çözülürse; 2 / 2x + y = -5 4x + 2y = -10 3x - 2y = 3 + 3x - 2y = 3 7x = -7 ⇒ x = -1 x=-1 ve 2x+y = -5 ise 2(-1)+y = -5 y= -3 bulunur. x. y=(-1).(-3)= 3 tür.

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru 7: 5 < x < 9 olmak üzere, f(x) = |5 – x| – |9 – x| + 2x + 5 fonksiyonunun en sade hali aşağıdakilerden hangisidir? A) 4x – 9 B)2x – 9 C)4x + 4 D) 2x + 4 E) 4x + 9

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 7: 5 < x < 9 olmak üzere, f(x) = |5 – x| – |9 – x| + 2x + 5 |5 – x| = -5 + x |9 – x| = 9 - x f(x) = -5 + x - (9 - x) + 2x + 5 f(x) = 4x – 9

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru 8: a < |a| ve b < a olmak üzere, 𝑎−𝑏 + 𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) –2 B) −2 (b−a) a+b C) 2 D) 2(b−a) a+b E) 0

2. Mutlak Değere Ait Bazı Özellikler Örnek Soru Çözüm 8: a < |a| olduğuna göre a < 0 olmalıdır b < a olduğuna göre b, a dan daha küçük bir negatif sayı olmalıdır. Bu doğrultuda ; |a-b| = a-b |b-a| = -b+a |a+b| =-a-b olmalıdır. Denklemde yerine koyduğumuzda ; 𝑎−𝑏 + 𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 = (a−b)+(−𝑏+𝑎) (−𝑏−𝑎) = (a−b)+(−𝑏+𝑎) (−𝑏−𝑎) = 𝟐(𝐛−𝐚) (𝒂+𝒃 olarak bulunur.

3. Mutlak Değerli Denklemler a ∈ 𝑅 + ∪ {0} olmak uzere, |f(x)| = a denkleminin çözüm kümesi f(x) = a veya f(x) = –a denklemlerinin çözüm kümelerinin birleşimine eşittir. Örnek Soru 9: |2x – 7| = 17 eşitsizliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 7 C) 9 D)12 E) 17

3. Mutlak Değerli Denklemler Örnek Soru Çözüm 9: |2x–7| = 17 ise 2x – 7 = 17 veya 2x – 7 = –17 dir. 2x = 24 2x = –10 x = 12 x = –5 C1= {12} C2= {–5} ⇒ C = C1∪C2 = {–5,12} dir. Denklemi sağlayan x değerlerinin toplamı 12–5= 7 dir.

3. Mutlak Değerli Denklemler Örnek Soru 10: |3 + |4x – 13|| = 5 denklemini sağlayan x reel sayılarının toplamı kaçtır? A) 5 B) 13 2 C) 9 D) 11 E)13

3. Mutlak Değerli Denklemler Örnek Soru Çözüm 10: |3 + |4x – 13|| = 5 3 + |4x – 13| = 5 veya 3 + |4x – 13| = –5 ⇓ ⇓ |4x – 13| = 2 |4x – 13| = –8 ⇒ C1 = ∅ ⇓ 4x – 13 = 2 veya 4x – 13 = –2 ⇓ ⇓ 4x = 15 4x = 11 x= 𝟏𝟓 𝟒 x= 𝟏𝟏 𝟒 x reel sayılarının toplamı 𝟏𝟓 𝟒 + 𝟏𝟏 𝟒 = 𝟐𝟔 𝟒 = 𝟏𝟑 𝟐 bulunur.

3. Mutlak Değerli Denklemler Örnek Soru 11: |x – 2| = |x + 5| denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {− 2 3 } B) {− 3 2 } C) {–1} D) {–7} E) {− 1 7 }

3. Mutlak Değerli Denklemler Örnek Soru Çözüm 11: Uyarı : Bu tip denklemlerde eşitliğin her iki tarafının karesini alarak çözüm yapmak kolaylık sağlayacaktır. |x – 2| = |x + 5| ⇒ 𝑥 2 – 4x + 4 = 𝑥 2 + 10x + 25 10x + 4x = 4 – 25 x = − 21 14 x = − 𝟑 𝟐

3. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Mutlak değerli ifade içeren eşitsizlikler çözülürken aşağıdaki özellikler kullanılacaktır. a>0 ve b>0 olmak üzere, |f(x)| < a ⇒ -a < f(x) < a dır. |f(x)| > a ⇒ f(x) > a ve f(x) < -a dır. a < |f(x)|< b ⇒ a < f(x) < b veya a <-f(x)< b dir.

3. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Örnek Soru 12: |x + 2| < 4 eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır? A) 13 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

3. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Örnek Soru Çözüm 12: |x + 2| ≤ 4 ⇒ |f(x)| < a ⇒ -a < f(x) < a eşitsizliğine uymaktadır. Bu doğrultuda ; |x + 2| ≤ 4 ⇒ –4 ≤ x + 2 ≤ 4 –6 ≤ x ≤ 2 x ∈ {–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2} dir. x tam sayı değerleri 9 tanedir.

3. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Örnek Soru 13: 2 < |3 – 5x| < 7 eşitsizliğini sağlayan x doğal sayıları kaç tanedir? A) 0 B)1 C)2 D)3 E) 4

3. Mutlak Değerli Eşitsizlikler Örnek Soru Çözüm 12: 2 < |3 – 5x| < 7 ⇒ a < |f(x)|< b ⇒ a < f(x) < b veya a <-f(x)< b eşitsizliğine uymaktadır. Bu doğrultuda ; 2 < 3 – 5x < 7 ⇒ –1 < –5x < 4 1 5 > x > − 4 5 Bu aralıktaki doğal sayı sıfırdır. 2 < –3 + 5x < 7 ⇒ 5 < 5x < 10 1 < x < 2 Bu aralıkta doğal sayı yoktur. Bu doğrultuda eşitsizliği sağlayan 1 adet doğal sayı vardır.

4. KAYNAKLAR 1. " Sosyal Bilimler MYO için Temel Matematik" , Prof. Dr. Mustafa SEVÜKTEKİN, Dora Basım Yayın Dağıtım, 2015 2. " YGS Temel Matematik", Aydın Basın Yayın Matbaa Sanayi ve Ticaret Ltd. Şti., 2012 3. " ÖSS Matematik ", Mustafa YAĞCI, 2009 4. " Temel Matematik", Prof.Dr. Mahmut KARTAL, Nobel Yayın Dağıtım, 2009 5. " Temel Matematik ", Doç.Dr. İrfan ERTUĞRUL, Ekin Basım Yayın Dağıtım, 2012