1. Bernoulli Dağılımı Bernoulli dağılımı rassal bir deneyin sadece iyi- kötü, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, kusurlu-kusursuz gibi sadece iki sonucu varsa kullanılan bir dağılımdır. Bir deneyin sadece iki sonucu varsa bu deneye Bernoulli deneyi adı verilir. Bernoulli deneyinde iki sonuç vardır. Deneyin sonuçlarından biri uygun durum olup başarı olarak ifade edilir ve x=1 olarak gösterilir. Diğer hal uygun olmayan durum olup başarısızlık olarak adlandırılır ve x=0 ile gösterilir. Deneyin başarılı sonuçlanma olasılığı p ile gösterildiğinde Bernoulli dağılımı şöyle formüle edilir. Bernoulli dağılımının tek bir parametresi p başarı olasılığıdır.

Bernoulli Dağılımının beklenen değer ve varyansı Bernoulli dağılımının beklenen değeri (aritmetik ortalaması) Bernoulli dağılımının varyansı

1. Bernoulli Dağılımı Örnek: Bir sporcunun yaptığı müsabakada kazanma olasılığı 0,8 kaybetme olasılığı ise 0,2 olarak verilmiştir. Bu sporcu için Olasılık fonksiyonunu yazınız, Sporcunun beklenen (ortalama) kazanma olasılığı ve varyansını bulunuz. Çözüm a) b)

2. Binom Dağılımı Olasılık dağılımları içersinde en yaygın kullanılan dağılımlardan biridir. Bernoulli deneylerin tekrarlanabilirliğine dayanmaktadır. Bir deney n kez tekrarlandığında belli bir olay x defa meydana geliyorsa bu olayın olasılığı BİNOM dağılımı yardımı ile bulunur. Binom dağılımı aşağıdaki varsayımlara dayanmaktadır. 1) Her deney birbirlerinin karşılıklı olarak engelleyen iki mümkün halden sadece birinde meydana gelmektedir. Mümkün hallerden biri uygun hal (x) diğeri uygun olmayan hal (n-x) olarak ifade edilir. 2) Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı (q=1-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli) 3) Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana gelsin bu durum diğer deneydeki uygun bir halin olasılığına etki etmez.

2. Binom Dağılımı Binom dağılımının olasılık fonksiyonu N deneyde uygun halin x defa meydana gelme olasılığı Binom dağılımı n (deney sayısı) ve p (uygun hal olasılığı) olmak üzere iki parametreye dayanmaktadır. Örnek: a) Bir para ile yapılan 5 atışta 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur? b) En az 2 yazı gelmesi olasılığı ne olur?

2. Binom Dağılımı Örnek: Herhangi bir öğrencinin bir dersten geçme olasılığı 0,7 dir. Rasgele seçilen 10 öğrenciden a) 4 ünün dersini geçmesi olasılığı b) En az 3 ünün dersi geçmesi olasılığı c) En fazla 8’inin dersten geçmesi olasılığı ne olur? d) X: Başarılı öğrenci sayısı olmak üzere X in olasılıklarını P(X=x)=f(x) bularak olasılık fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm

2. Binom Dağılımı d) Başarılı öğrenci say Olasılık 5,9E-06 1 0,000138 2 0,001447 3 0,009002 4 0,036757 5 0,102919 6 0,200121 7 0,266828 8 0,233474 9 0,121061 10 0,028248

4. Poisson Dağılımı 3. Poisson Dağılımı olduğu zaman binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p ; 1’e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir. Poisson dağılımı nadir meydana gelen olayların dağılımı olarak ta bilinir. Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en az 50 (n>50) ve np<5 oluyorsa böyle olaylar nadir olaylar olarak düşünülebilir. Poisson olasılık fonksiyonu şöyle yazılır: Dağılımın tek parametresi λ olup ortalamasıdır.

3. Poisson Dağılımı Poisson dağılımında X rassal değişkeni 0,1,2,...... gibi negatif olmayan tam sayı değerler alır, Değişkenin aldığı değerlerin olasılıkları toplamı olasılık fonksiyonu olması sebebiyle 1’e eşittir.

3. Poisson Dağılımı λ=np olup dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri E(X)=λ) ve dağılımın tek parametresidir. Poisson dağılımının vayansı da λ ya eşittir. Var(x)= λ Poisson dağılımı da Binom dağılımı gibi bağımsız olaylarda kullanılır. Ancak kütle sınırsız olduğu zaman olayların bağımsızlığına bakmaksızın bu dağılımı kullanmak mümkündür. Poisson dağılımı mamul muayenesinde, sigortacılıkta, matbaacılıkta,iş kazalarında, telefon santrallerinde, az rastlanır hastalıkların olasılıklarının tahmininde kullanılır.

Poisson dağılımın beklenen değeri Poisson dağılımının beklenen değeri: olasılık dağılımının toplamı olduğundan 1’eşittir.

Poisson dağılımının varyansı Bunun için önce E(X2) hesaplanır. Varyans

3. Poisson Dağılımı Örnek: Bir fabrikada iş kazalarının dağılımının Poisson’a uygunluğu tespit edilmiştir. Yıllık kişi başına düşen ortalama iş kazası 0,5 olarak bulunmuştur. Tesadüfen seçilen bir kişinin; Hiç Kaza geçirmemesi, Bir kaza geçirmesi, En az bir kaza geçirmesi olasılıklarını bulunuz? Çözüm:

Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur Örnek: Bir fabrikada üretilen malların 0,03’ü kusurludur.Muayene için 25 birimlik bir örnek çekildiğinde; 4 kusurlu mal çıkması 3 veya daha fazla kusurlu mal çıkması, En fazla 2 kusurlu mal çıkması olasılığı ne olur? Bu örnek için poisson olasılıklarını bulup grafikte gösteriniz. Çözüm:

3. Poisson Dağılımı Kusurlu sayısı Olasılık f(x) 0,4723666 1 0,3542749 0,4723666 1 0,3542749 2 0,1328531 3 0,0332133 4 0,0062275 5 0,0009341 6 0,0001168 7 1,251E-05 8 1,173E-06 9 9,774E-08 10 7,33E-09 11 4,998E-10 12 3,124E-11 13 1,802E-12 14 9,654E-14 15 4,827E-15

Poisson Dağılımı Örnek Örnek: Bir üretim hattında 100 parça seçilip test edilmesi halinde en az 1 kusurlu mamulle karşılaşma olasılığı %70 olduğu biliniyor. Bu üretim hattında beklenen kusurlu parça sayısı ve kusurlu oranını hesaplayınız. Çözüm: olur. Olay Poisson dağılımına uyum gösterir. Buna göre ifadesinin her iki tarafının logaritmaları alınırsa; olup ortalama kusurlu sayısı λ=1,2 bulunur. Buna göre; Hattın kusurlu oranı p=0,012 olur.