AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I Ders 10 Nümerik İntegral

Türev ve İntegral

İntegral ve Astrofizik http://www4.nau.edu/meteorite/meteorite/book-glossaryp.html

Newton-Cotes Formülleri ile İntegrasyon Açık form Kapalı form

Yamuk (Trapezoid) Yöntemi : fn(x) lineer fonksiyon Yöntemin hatası :

Yamuk Yöntemi : fn(x) lineer fonksiyon Örnek 1 : a = 0, b = 0.8 εt = 1.640533 – 0.1728 = 1.467733 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 89.5 %

Bölünmüş Yamuklar Yöntemi n aralık sayısını göstermek üzere ,

Bölünmüş Yamuklar Yöntemi Örnek 2 : a = 0, b = 0.8, n = 2 εt = 1.640533 – 1.0688 = 0.57173 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 34.9 %

Simpson Yöntemi 1/3 yöntemi 3/8 yöntemi

f(4)(ξ) = -2400 (Dördüncü türevin verilen aralıktaki ortalaması) Simpson (1/3) Yöntemi Örnek 3 : a = 0, b = 0.8, n = 2 εt = 1.640533 – 1.367467 = 0.2730667 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 16.6 % f(4)(ξ) = -2400 (Dördüncü türevin verilen aralıktaki ortalaması)

Bölünmüş Simpson (1/3) Yöntemi

Bölünmüş Simpson (1/3) Yöntemi n aralık sayısını, a ve b integralin sınırlarını göstermek üzere Örnek 4 : a = 0, b = 0.8, n = 4 εt = 1.640533 – 1.623467 = 0.017067 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 1.04 % Bu yöntem yamuk yönteminden daha iyi sonuç vermekle birlikte sadece aralıkların eşit olduğu ve toplam nokta sayısının tek olduğu durumlarda uygulanabiliyor!

Bölünmüş Simpson (3/8) Yöntemi

Bölünmüş Simpson (3/8) Yöntemi n aralık sayısını, a ve b integralin sınırlarını göstermek üzere Örnek 5 : a = 0, b = 0.8, n = 3 εt = 1.640533 – 1.51970 = 0.120833 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 7.36 % Simpson 1/3 Simpson 3/8 εt = 1.640533 – (0.3703237+1.2647454) = -0.0044747 Analitik olarak hesaplarsanız : It = 1.640533 εr = 0.27 %

Yüksek Dereceden Newton-Cotes Formülleri

AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I Ders 10 Nümerik Türev

Türev

İleri Türev Formülleri Taylor serisi Birinci türevi çekersek ; Taylor serisi İkinci türevi çeker ve 1. türev ifadesinde yerine koyarsak ;

İleri Türev Formülleri

Geri Türev Formülleri Taylor serisi

Merkezi Türev Formülleri Taylor serileri Taraf tarafa çıkarır birinci türevi çekersek ; Taraf tarafa toplar İkinci türevi çekersek ;

Merkezi Türev Formülleri

Türev Formülleri Örnek : İleri Türev Formülü GeriTürev Formülü Merkezi Türev Formülü

Richardson Ekstrapolasyonu Gördüğünüz gibi nümerik türevin hassasiyetini arttırmanın bir yolu daha fazla sayıda nokta almak (Taylor serisinde daha derine gitmek), bir diğeri ise adım saysını (h'yi) küçültmektir. Bir başka yol ise iki türev tahminine dayanarak bir üçüncüsünü hesaplamak üzere Richardson ekstrapolasyonunu kullanmaktır. Burada D(h2) ve D(h1), iki farklı adım büyüklüğü (h1,h2) için ileri, geri ya da merkezi türev formülleri kullanılarak elde edilen türevleri göstermektedir. Aynı tekniği integral hesabı için de kulanmak mümkündür.! Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 ve h2=0.25 adım büyüklükleri için birinci dereceden merkezi türev formüllerini ve Richardson ekstrapolasyon formülünü kullanarak hesaplayınız.

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Lagrange İnterpolasyon formülünü el alıp ; Türevini alacak olursak ; Bu şekilde bir xi noktasındaki türevi ondan bir sonraki ve bir önceki noktayı kullanarak elde edebiliriz! Üstelik bu nokta ile diğer noktalar arasındaki uzaklık da aynı olmak zorunda değil!

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız. 𝑥 0 =0⇒𝑓( 𝑥 0 =𝑓 (0 =1 .2 𝑥 1 =0.5⇒𝑓( 𝑥 1 =𝑓 (0.5 =0 .925 𝑥 2 =1⇒𝑓( 𝑥 2 =𝑓 (1 =0 .2 𝑓 ′ (𝑥 =𝑓 ( 𝑥 0 ) 2𝑥− 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 0 − 𝑥 1 )( 𝑥 0 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 1 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 0 )( 𝑥 1 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 2 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 0 )( 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑓 ′ (𝑥 =1 .2 2𝑥−0.5−1 0−0.5)(0−1 +0.925 2𝑥−0−1 0.5−0)(0.5−1 +0.2 2𝑥−0−0.5 1−0)(1−0.5 𝑓 ′ (𝑥 =−1 .8𝑥−0.1 𝑓 ′ (0.5 =−1 .0 𝜀 𝑟 = 𝑓 𝑡 ′ − 𝑓 𝑛 ′ 𝑓 𝑡 ′ = −0.9125−(−1.0 −0.9125 =−0.09589≡−9.59

Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h2=0.25 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız. 𝑥 0 =0.25⇒𝑓( 𝑥 0 =𝑓 (0.25 =1 .103516 𝑥 1 =0.5⇒𝑓( 𝑥 1 =𝑓 (0.5 =0 .925 𝑥 2 =0.75⇒𝑓( 𝑥 2 =𝑓 (0.75 =0 .636328 𝑓 ′ (𝑥 =𝑓 ( 𝑥 0 ) 2𝑥− 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 0 − 𝑥 1 )( 𝑥 0 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 1 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 0 )( 𝑥 1 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 2 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 0 )( 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑓 ′ (𝑥 =1 .103516 2𝑥−0.5−0.75 0.25−0.5)(0.25−0.75 +0.925 2𝑥−0.25−0.75 0.5−0.25)(0.5−0.75 +0.636328 2𝑥−0.25−0.5 0.75−0.25)(0.75−0.5 𝑓 ′ (𝑥 =−1 .7625𝑥−0.05313 𝑓 ′ (0.5 =−0 .93438 𝜀 𝑟 = 𝑓 𝑡 ′ − 𝑓 𝑛 ′ 𝑓 𝑡 ′ = −0.9125−(−0.93438 −0.9125 =−0.023973≡−2.40

Kısmi Türevler

Kaynaklar Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010 Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007