YATIRIM ve FİNANS TEORİSİ XXI. BÖLÜM: Opsiyon Değerlemesi XXII. BÖLÜM: Portföy Performansının Ölçülmesi Prof. Dr. Sudi APAK

XXI. BÖLÜM: Opsiyon Değerlemesi Alım Opsiyonunun Değeri ile İlgili Kısıtlamalar Erken Uygulama ve Alım Opsiyonları Erken Uygulama ve Satım Opsiyonları Bir Opsiyonun Değerini Etkileyen Temel Faktörler Opsiyon Fiyatlama Modelleri Binomial Opsiyon Fiyatlama Modeli İki Aşamalı Binomial Modelin Geliştirilmesi Black Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli BSOFM’nin Varsayımları Temettü Ödemeleri ve Opsiyon Değerlemesi Koruma Oranı ve Black-Scholes Formülü Portföy Sigortası

Opsiyon Değerlemesi Opsiyonlar finans alanının en ilginç araçlarıdır. CAPM veya Arbitraj yöntemleri ile onları değerlemek mümkün değildir. Opsiyonlar başka bir varlığa dayandıklarında onların değerlemesine çok daha farklı yaklaşmak gerekecektir. Opsiyonun zaman değeri ile paranın zaman değeri kavramları arasında hiçbir benzerlik yoktur. Opsiyonun zaman değeri zaman içinde opsiyon sahibinin yakalayacağı fırsatlardan kaynaklanmaktadır. Opsiyonun zaman değeri bir tür getiri oynaklığı (volatility) değeridir. 1. Alım Opsiyonunun Değeri ile İlgili Kısıtlamalar Bir alım opsiyonu ile ilgili en önemli kısıtlama, bir alım opsiyonunun değerinin negatif olmasıdır. Çünkü alım opsiyonunu uygulamaya koymak zorunluluğu yoktur, bu nedenle opsiyon sahibine bir borç çıkartmayacak hatta kar getireceğinden değeri pozitif olacaktır. Değeri en az sıfır olacağından, yatırımcılar pozitif bir değerle onu almak isteyeceklerdir.

Bir hisse senedinin vade tarihinden hemen önce D tutarında temettü vermekte ve vadeye kalan sürenin T olduğunu varsayalım. Şimdi iki ayrı portföyü karşılaştıralım. Bu portföylerden biri ABC hisse senedine bağlı alım opsiyonudur (vade sonu değeri K). Diğerinde ise ABC hisse senedi ile tutarında bir borçtan oluşmaktadır. Bunun vade sonunda ödenecek olan tutarı (K+D)’dir. İskonto oranı olarak risksiz oran (rf) kullanılmaktadır. C  S0 – PV (K) – PV (D) PV (K) = Uygulama fiyatının bugünkü değeri PV (D) = Vade sonunda ödenen temettünün bugünkü değeri PV (D) ifadesi daha önce ödenen tüm temettüler için genelleştirilebilir. Alım opsiyonunun değerinin negatif olamayacağından, C değeri en az ya sıfır ya da S0 – PV (K) – PV (D) olacaktır.

Alım opsiyonu değeri için bir üst sınır konabilir Alım opsiyonu değeri için bir üst sınır konabilir. Bu sınır hisse senedinin fiyatıdır. Hiç kimse halen S0 değerinde satılan bir hisse senedini almak için S0 değerinden fazla ödemeyecektir. Böylece C ≤ S0 olacaktır. Erken Uygulama ve Alım Opsiyonları Bir alım opsiyonunun sahibi pozisyonunu kapatmak isterse iki ayrı eylemde bulunabilir; 1. Opsiyonu uygulamaya sokmak 2. Opsiyonu satmak Yatırımcı eğer t zamanında opsiyonu uygulamaya sokarsa, alım opsiyonunun karı St – K kadar olacaktır. Eğer temettü dağıtmıyorsa, C  St – PV (K) olacaktır. K’ nın kendisinin bugünkü değerinden daha fazla olduğu için şu ifade yazılabilir; C  St – PV (K)  St – K. Bu eşitliğin anlamı, C fiyatından satılan bir opsiyonun gelirinin opsiyonu uygulamaya sokarak elde edilen St-K’ nın gelirinden her zaman daha fazla olduğudur.

Erken Uygulama ve Satım Opsiyonları Amerikan satım opsiyonlarının vadesinden önce uygulanması zaman zaman opsiyon sahibine yarar sağlayabilecektir. Amerikan satım opsiyonları Avrupa satım opsiyonlarından daha fazla değerlidir. Amerikan opsiyonlarını vadeden önce uygulamaya koyup, değişen koşullardan ortaya çıkan kazançları alabilmek mümkündür. 2. Bir Opsiyonun Değerini Etkileyen Temel Faktörler Bağlı olduğu hisse senedinin fiyatı Anlaşma (uygulama) fiyatı Hisse senedi fiyatının oynaklığı Vadeye kalan süre Faiz oranı Hisse senedinin temettü dağıtım oranı Alım opsiyonunun değeri bağlı olduğu hisse senedinin fiyatı arttıkça ve anlaşma fiyatı düştükçe artar. Vade sonundaki hisse senedi fiyatı ile anlaşma fiyatının arasındaki fark (ST-K) bize bir alım opsiyonunun ödemesini vermektedir. Beklenen ödemenin büyüklüğü hisse senedinin cari fiyatı ile anlaşma fiyatının arasındaki fark (S0-K) arttıkça artacaktır.

TABLO: Alım Opsiyonunun Değerini Etkileyen Değişkenler Değişkenler Alım Opsiyonunun Değeri Hisse Senedi Fiyatı (S) Artarsa Artar Anlaşma Fiyatı (K) Artarsa Azalır Fiyat Oynaklığı (σ) Artarsa Artar Vadeye Kalan Süre (T) Artarsa Artar Faiz Oranı (rf) Artarsa Artar Temettü Ödemesi (D) Artarsa Azalır 3. Opsiyon Fiyatlama Modelleri 3.1. Binomial Opsiyon Fiyatlama Modeli: Bu model, opsiyon fiyatlamasında kullanılan en esnek fiyatlama araçlarından bir tanesi olup, Amerikan satım opsiyonları, kar payı ödemesi, dinamik koşullar gibi fiyatlamayı zorlaştıran unsurların üstesinden kolaylıkla gelebilmektedir. Modelin varsayımları şöyledir; Piyasalar mükemmeldir, vergiler ve komisyonlar ihmal edilmiştir. Kısa satış üzerine bir limit yoktur. Varlıklar sonsuz oranda bölünebilir.

Tek bir faiz oranı vardır ve bu faiz oranı üzerinden borç alınıp verilebilir. Dönem faiz oranı, hisse senedinin fiyat artış oranı, hisse senedinin fiyat düşüş oranı bilinmektedir. Binomial modelde hisse senedinin beklenen getirisi veya olması gereken getirisi ile ilgili bir varsayım sözkonusu değildir. Yine hisse senetlerinin düşme veya yükselme olasılıkları ve yatırımcıların riske karşı tutumları konusunda da bir varsayım yoktur. İki aşamalı opsiyon problemleri için mükemmel koruma oranı şu şekilde genelleştirilebilir; C+ ve C- = Hisse senedinin fiyatının yükselip düşmesine göre oluşan alım opsiyonu değeri S+ ve S- = Hisse senedinin düşük ve yüksek fiyatı

İki Aşamalı Binomial Modelin Genelleştirilmesi Önceki bölümde uygulanan yöntemlerle C++ ve C-+ ile ilgili bilgileri kullanarak C+ değeri, C-- ve C-+ ile ilgili bilgileri kullanarak C- değeri ve C+ ve C- ile ilgili bilgileri kullanarak C değeri elde edilir. Giderek daha küçük zaman aralıklarını kullanarak normal bir dağılım elde etmek mümkündür. Normal dağılıma ulaşmak için önce üç ara periyot sonunda hisse senedinin alabileceği değerleri gösteren grafik incelenmelidir:

Periyot sayısı arttıkça, hisse senedi fiyatlarının sayısı da artmaktadır. S+++ ve S--- gibi değerler uç değerlerdir ve onlara ancak tek bir yolla ulaşılabilinirken, S--+ ve S++- gibi değerlere birden fazla yol ile ulaşmak mümkündür. 3.2. Black Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli Fischer Black ve Myron Scholes tarafından geliştirilen Black Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli (BSOFM) sayesinde opsiyonların fiyatlamasında önemli bir başarı kazanılmıştır. Bu yaklaşımın geçerli olabilmesi için şu varsayımların sağlanması gerekmektedir: BSOFM’nin Varsayımları Piyasalar ideal olarak düşünülmüştür. Tüm yatırımcılar aynı sabit risksiz faiz oranı üzerinden borç alıp verebilirler ve bu oran opsiyonun ömrü boyunca değişmeden kalır. Piyasalar daima açıktır, kapanmazlar.

Bağlı olduğu hisse senetlerinin kar payı ödemesi yoktur Bağlı olduğu hisse senetlerinin kar payı ödemesi yoktur. Bu çerçevede model yalnız Avrupa opsiyonlarını ve Amerikan alım opsiyonlarını fiyatlamak için kullanılabilmektedir. Hisse senedi fiyatlarının gösterdiği yapı stokastik süreçlerin difüzyon tipinde olanlarındandır. Matematiksel Model C = SN (d1) – Ke- r T N(d2) S: Bağlı olunan varlığın fiyatı K: Alım opsiyonunun uygulama fiyatı r: Risksiz faiz oranı e: 2,71828 (sabit sayı) T: Vadeye olan süre N (d): Kümülatif standart normal dağılım fonksiyonu : Bağlı olunan varlığın getirisinin standart sapması

İma Edilen Oynaklık: Black-Scholes formülündeki opsiyonun piyasa değerinin standart sapması ile gerçek değerin standart sapmasını birbirlerine eşitleyen standart sapmadır. Temettü Ödemeleri ve Opsiyon Değerlemesi: İlk kez Black tarafından ortaya atılan bu yaklaşımda opsiyonun vadesinden önce ödenen temettünün bugünkü değerinin hisse senedi fiyatından düşülmesi gerektiği öne sürülmektedir. Sahte Amerikan Alım Opsiyonu Değeri: Vadeden önce nakit temettü ödeyen Amerikan tipi opsiyonlara uygulanan yaklaşımdır. İki farklı opsiyon değerleme yaklaşımında değerlerden daha yüksek olanı opsiyon değeri olarak kabul edilir.

Alım Satım Opsiyonu Parite Teoremi alım (C) ve satım (P) opsiyonları arasındaki ilişkiyi açıklamaktadır. Bu ilişkinin genel formülü şu şekildedir: Alım Satım Opsiyonu Paritesi P = C – S0 + PV (K) + PV (D) Önce Black-Scholes alım opsiyonu formülünden yararlanarak söz konusu satım opsiyonu ile karşılıklı eşleşen alım opsiyonunun değeri hesaplanarak aşağıdaki ilişki kurulur ve eşitlik satım opsiyonu için kurulur; P = C – S0 + PV (K) Anlaşma fiyatının bugünkü değeri Black-Scholes formülüne göre hesaplanır; = C – S0 + Ke-rT Koruma Oranı ve Black-Scholes Formülü Koruma Oranı: Bir hisse senedinin muhtemel iki fiyatı arasındaki farkla, satılan opsiyonun muhtemel değerleri arasındaki farkın ilişkisini gösteren bir orandır.

Delta: koruma oranının diğer adıdır Delta: koruma oranının diğer adıdır. Hisse senedi ile alım opsiyonu fiyatlarının ilişkisini gösteren bir orandır. Dinamik Koruma: Sürekli olarak yeniden düzenlenen korumalı pozisyonlara verilen isimdir. Hisse senedinin fiyat artışı karşısında opsiyon fiyatının artışının çok daha az artması, opsiyon fiyatlarının hisse senedi fiyatlarından çok daha az olmaları nedeniyle, opsiyonların getirisi hisse senetlerinin getiri oynaklığından daha fazladır. 4. Portföy Sigortası Portföy Sigortası: Yatırımcıların potansiyel kayıplarını ortadan kaldırmak amacıyla kurulmuş bir tür yatırım stratejisidir. Böyle bir strateji kuran yatırımcılar hisse senetlerinin fiyat hareketleri sonucunda portföylerinin değerlerinin düşmesini belirli sınırlar içinde sağlayabilmektedirler.

XXII. BÖLÜM: Portföy Performansının Ölçülmesi Portföy Getirilerinin Ölçülmesi Değer ve Zaman Ağırlıklı Getirilerin Hesaplanması Aritmetik ve Geometrik Ortalama Getiriler Anormal Getiri Riske Göre Düzeltilmiş Portföy Getirisi Riske Karşı Düzeltilmiş Performans Ölçütleri Sharpe Oranı Treynor Oranı Portföy Yöneticilerinin Seçme ve Zamanlama Yeteneklerinin Ölçülmesi Fon Performansının Ölçülmesinde Veri Zarfı Analizi (DEA) Yaklaşımı

1. Portföy Getirilerinin Ölçülmesi Bir portföyün performansı genel olarak üçer aylık, aylık veya haftalık dönemler itibari ile en az dört yıllık geçmiş performansa bakılarak ölçülmektedir. Bir yatırımın getirisinden bahsedildiğinde kısaca onun bir dönemlik getirisi akla gelmektedir. Dönem getirisi basit bir ifade ile, bir yatırımda yapılan her bir T.Lirası yatırıma karşılık elde edilen gelirdir. Yatırımın geliri o yatırımın yatırım dönemleri içinde sağlayacağı nakit akışın dışında sermaye kazançlarını da içermektedir. Hisse senetleri için dönemsel nakit akışı temettü gelirleri olurken, tahvil ve bonolar için faiz gelirleridir. Bir portföyün performansının ölçülmesi büyük ölçüde onun risk ve getirisinin diğer portföylerin risk ve getirileri ile karşılaştırılmasına dayanmaktadır. Bu karşılaştırmada temel sorun portföylerin karşılaştırılabilir olup olmamasıdır. Portföylerin karşılaştırılabilmesi için risk ve yatırım sınırlamalarının benzer olması gerekir.

Bir portföyün getirisi, bir önceki döneme göre portföy değerindeki artış oranı ile ölçülmektedir; Portföy getirisi = (Portföy değeri t – Portföy değeri t-1 ) / Portföy değeri t-1 Portföy performansını daha iyi bir şekilde ölçebilmek için iki ayrı yöntem uygulanmaktadır. 1.1. Değer ve Zaman Ağırlıklı Getirilerin Hesaplanması Değer Ağırlıklı Getiri: Dönem içinde portföye giren veya çıkan fonları da dikkate alan getiri oranı hesaplama yöntemidir. Eğer t zamanı içinde portföyden çıkan fonları Wt ile giren fonları Dt ile gösterirsek, ayrıca nakit temettü ve faiz ödemelerinin dönem sonunda yapıldığını varsayarsak bir portföyün dönemsel zaman ağırlıklı getiri oranı (rd) aşağıdaki formül yardımı ile hesaplanır. Bu formülden rd çekilerek portföyün getirisi bulunur. Portföyün Başlangıç Değeri = + Portföyün Toplam Nihai Değeri / (1 + rd) t

(1 + rG) 2 = [(1 + r1) * (1 + r2)………(1 + rn)]1/n n = Dönem içindeki fon girişleri sayısı m = Dönem içindeki fon çıkışları sayısı t = zaman içindeki dönem sayısı Zaman Ağırlıklı Getiri: Ölçülecek portföyü bir yatırım fonu gibi değerlendiren, fon değerini dikkate alarak, getiri oranını hesaplayan getiri oranı hesaplama yöntemidir. 1.2. Aritmetik ve Geometrik Ortalama Getiriler Aritmetik Getiri: Dönem getirileri ayrı ayrı hesaplanarak ortalamalarının alınmasına dayanan getiri oranı hesaplama yöntemidir. Geometrik Getiri: Yatırımın birleşik getirisine dayanan, yeniden yatırım olgusunu dikkate alan getiri oranı hesaplama yöntemidir. n dönemlik bir yatırımın geometrik getirisini şöyle hesaplanır; (1 + rG) 2 = [(1 + r1) * (1 + r2)………(1 + rn)]1/n rt = Her bir dönemin getirisi

1.3. Anormal Getiri Anormal Getiri: Normal olarak alınması gereken getirinin üzerindeki getiriye verilen isimdir. Çeşitli araştırmacılar anormal getiri hesaplamaları için farklı modeller geliştirmişlerdir. En çok kullanılan üç temel model şöyledir; 1- İlk Model, CAPM’ e göre elde etmesi gereken getirinin üzerideki getiridir. İfadesi şöyledir: = t dönemindeki aylık anormal getiri rit = Hisse senedinin aylık getirisi rmt = İMKB endeksinin aylık beklenen getirisi rfit = Risksiz oran βit = Beta

2- İkinci yaklaşım endeks getirisinin üzerindeki getiridir 2- İkinci yaklaşım endeks getirisinin üzerindeki getiridir. Hisse senedi (i)’nin endeks’e (m) göre (t) günündeki anormal getirisi (arit), hisse senedi getirisi (rit) ile endeks getirisi (rmt) arasındaki farktır: arit = rit - rmt (n) adet hisse senedinden oluşan portföyün, endeks’e göre (t) günündeki ortalama anormal getirisi (ARt) ise, hisse senetlerinin endeks’e göre (t) günündeki anormal getirilerinin (arit) eşit ağırlıklı aritmetik ortalamasıdır: Portföyün endekse göre birikimli ortalama anormal getirisi (CARq,s), portföyün (q)’dan (s)’e kadar olan dönemdeki ortalama anormal getirilerin (ARt) toplamıdır.

3- Üçüncü yaklaşımda ise geçmiş verilerden yararlanılarak bir regresyon modeli oluşturulmaktadır. Daha sonra bu modelin katsayılarından yararlanılarak gelecekteki dönemler için getiri öngörüleri yapılmaktadır. Anormal getiri gerçek getiriler ile öngörülen getiriler arasındaki farktır. Model şu şekildedir: rit = Hisse senedi i’ nin günlük getirisi rmt = İMKB endeksinin günlük getirisi Bu modelde, t = -140,…,-16 verisi kullanılarak α i ve βi katsayıları tahmin edilmiştir. Hesaplanan α i ve βi değerleri çerçevesinde t = -15,…,+15 için getiri öngörüsü yapılmıştır. Aşağıda verilen model ile gerçek getiriler ve öngörülen getiriler arasındaki fark bulunarak normalin üzerindeki getiriler hesaplanmıştır.

1.4. Riske Göre Düzeltilmiş Portföy Getirisi Böylece t = -15,…,15 için normalin üzerindeki getiriler belirlenmiştir. Normalin üzerindeki kümülatif getiriler ise şu şekilde hesaplanmıştır: 1.4. Riske Göre Düzeltilmiş Portföy Getirisi Gerçekte getiri oranlarına göre sıralama yapıldığında bir portföyün pozisyonu şu faktörlere bağlı olmaktadır: Portföyün hedef riski Pazarın genel performansı Portföy yöneticisinin beceri düzeyi 2. Riske Karşı Düzeltilmiş Performans Ölçütleri Portföylerin getiri ve risklerini beraber değerlendiren yöntemler genellikle iki ana başlık altında toplanabilir: - Her birim riske karşı elde edilen getirinin ölçülmesi - Portföy yöneticilerinin seçme ve zamanlama yeteneklerinin ölçülmesi

2.1. Her Birim Riske Karşı Elde Edilen Getirinin Ölçülmesi Portföy performansını ölçmenin en temel yöntemi her birim riske karşı ne kadar getiri elde edilebildiğini ölçmektedir. Eğer fonun içerdiği risk karşısındaki mutlak getirisi yüksek ise, diğer bir ifade ile getiri ile risk arasındaki oransal olarak yüksek bir ilişki varsa, adı geçen fonun yüksek performanslı olduğu kabul edilmektedir. Her birim riske karşı elde edilen getiriyi ölçen temel yöntem vardır:- - Sharpe oranı - Treynor oranı Sharpe Ölçütü Sharpe Oranı: Risksiz orana göre düzeltilmiş fon getirilerinin, getirilerin standart sapmasına bölünmesi suretiyle hesaplanan fon performans ölçütüdür Sharpe tarafından geliştirilen bu performans ölçütü şu şekilde formüle edilmiştir:

rpt = Portföyün getirisi rft = Risksiz faiz oranı σp = Toplam portföy riski Bu ölçütün grafiksel gösterimi aşağıdaki gibidir:

Treynor Ölçütü Treynor Oranı: Risksiz orana göre düzeltilmiş fon getirilerinin, getirilerin betasına bölünmesi suretiyle hesaplanan fon performans ölçütüdür. Treynor ölçütü şu şekildedir: Tp = (rpt – rft) / bp bp =Portföyün betası

2.2. Portföy Yöneticilerinin Seçme ve Zamanlama Yeteneklerinin Ölçülmesi Bir yöneticinin öngörü yeteneği iki ayrı faaliyete ayrılabilmektedir. 1. Mikro öngörü: Yöneticinin bireysel menkul kıymetlerin fiyat hareketlerini önceden tahmin etmesidir. 2. Makro öngörü: Yöneticinin genel olarak menkul kıymet borsası fiyat hareketlerini önceden tahmin etmesidir. Finans literatüründe birinci tür hareketlere “seçme”, ikinci tür hareketlere ise “pazar zamanlama” yeteneği denilmektedir. Portföy yöneticilerinin bu yeteneklerinin yüksek olması beklenmektedir. Yöneticinin seçme yeteneğinin ölçülmesinde kullanılan bir model Jensen tarafından Sermaye Varlıklarını Fiyatlama Modeli’ne göre hazırlanmıştır. Matematiksel formülasyondaki yeri nedeniyle “alfa” veya Jansen olarak da adlandırılan bu yöntemin amacı, gerçekleşen riske göre bir portföyün beklenen getirisini hesap ederek o dönemdeki gerçekleşen getirisi ile karşılaştırmaktır.

Yatırımcının elde etmesi beklenen getirisi hesap edilebilir; rf = Risksiz oran βp = Portföyün betası rm = Pazarın beklenen getirisi rp = Gerçekleşen getiri αp =Alfa

Portföy Yöneticilerinin Zamanlama Yeteneklerinin Ölçülmesi Fon yöneticilerinin seçme becerileri ölçülebildiği gibi, zamanlama yetenekleri de ölçülebilmektedir. Bu konuda temel kriter portföy yöneticisinin pazar portföyündeki değişimleri öngörebilmesine dayanmaktadır. Eğer portföy yöneticisi başarılı bir zamanlama ile pazar portföyündeki artışlara göre yüksek betalı hisse senetlerine yatırım yaparak portföyün ortalama betasını arttırabilirse, portföyün getirisi pazarın üzerinde olabilecektir. Diğer taraftan pazarın getirisinin düşmesi durumunda portföy yöneticisi düşük betalı senetlere yönelerek, portföy getirilerinin pazar getirilerinden daha az bir oranda düşmesini sağlayabilecektir. 2.3. Fon Performansının Ölçülmesinde Veri Zarfı Analizi (DEA) Yaklaşımı Veri Zarflama Analizi (DEA): Bir dizi kavram ve yöntemlerden oluşan, ortak girdi ve çıktılara dayanan her bir karar verme biriminin performansını etkinliğe bağlı olarak ölçen bir performans ölçütüdür. Veri Zarflama Analizi’ ne dayanan portföy performansını ölçme yöntemidir. Bu analiz, Sharpe endeksinin genelleştirilmiş bir türü olup, geleneksel ölçütlerin sakıncalarını ortadan kaldırmaktadır.