BAŞLA

Soru : f(x)=x 2 -2x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz? Fonksiyonunun, artan veya azalan olduğu aralıkları bulabilmek için, Çözüm :: türevinin işaretini incelemeliyiz. f(x)=x 2 -2x  f’(x)= 2x-2 2x-2=0  x=1 olur. f’(x) f(x) -  1 +  - + azalanartan

Soru :  R-{-2} için, f(x)= fonksiyonu- nun daima artan olabilmesi için, m ne olmalıdır? Çözüm : Fonksiyonun daima artan olabilmesi için, ol- malıdır. f’(x)>0 f’(x)= = = Buradan;bulunur.

Soru : Y=f(x) y x Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun [-3,4] aralığındaki gra- fiğini görmektesiniz.Bu grafiğe göre, f(x)’in türevinin pozitif veya negatif olduğu aralıkları bulunuz?

Çözüm : a) [-3,-1) aralığında, Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır. b) (-1,3) aralığında, Fonksiyon artan olduğundan,f ‘(x) > 0’dır. c) (3,4) aralığında, Fonksiyon azalan olduğundan,f ’(x)< 0 ‘dır

Soru : Şekilde, y=f(x) fonksiyonunun, [-3,4] aralığında- ki türevinin grafiğini görmektesiniz. Grafiğe ba- karak, f(x)’in artan ve azalan olduğu aralıkları bu lunuz? Y=f’(x) y x

Çözüm : a) [-3,-2) aralığında: f’(x) > 0olduğundan, f(x) bu aralıkta artan’dır. b) (-2,0) aralığında: f’(x) < 0olduğundan,f(x) bu aralıktaazalan’dır. c) (0,4] aralığında: f’(x) > 0 x=3 noktası hariç, olduğundan,f(x) bu aralıkta artan’dır Y=f’ (x) y x

B.Maksimum Ve Minimum Değerlerin Bulunması:

Soru : f(x)= x 3 -3x 2 +1 fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz? Önce, f(x)’in türevini alıp, türevin işaretini incelemeliyiz: f’(x)=3x 2 -6x =0  x 1 = 0 ve x 2 = 2 x 1 = 0  f(0)= 1 x 2 = 2  f(2)= -3 f’(x) f(x) -   Cözüm:

Soru : – y=f ’(x) y x Şekilde, y=f(x) fonksiyo- nunun türevinin grafiğini görüyorsunuz. Bu grafiğe bakarak, y=f(x) fonksiyo- nunun, yerel maksimum ve yerel minimum noktalarını bulunuz? Cözüm : f’(x) f(x)

C. İkinci Türevin Geometrik Anlamı

Soru : f:R  R, f(x)= x 3 +x 2 -2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları araştırınız? Çözüm : = f’(x)=3x 2 +2x-2 f’’(x)=6x+20 x= -1/3 f’’(x) f(x) -  -1/3 +  -+ Öncelikle, f’in ikinci türevini alıp, işaretini incelemeliyiz.

1.f: R  R, f(x)= x 4 +x 3 -2x fonksiyonunun, konveks ve konkav olduğu aralıkları ve varsa, dönüm noktalarını bulunuz? Çözüm : f’(x)= 4x 3 +3x 2 -2f’’(x)= 12x 2 +6x İkinci türevin kökleri: 12x 2 +6x=0 6x(2x+1) = 0 6x=0 x 1 = 0 (2x+1)= 0x 2 =-1

x f’’(x) f(x) -  -1/2 0 +  + + konveks konkav konveks Dönüm noktası -

2. f: R  R, f(x)=(x-2) 4 fonksiyonunun, varsa, dönüm noktasını bulunuz? Çözüm : f’(x)=4(x-2) 3 ve f’’(x)= 12(x-2) 2 12(x-2) 2 =0  x 1 =x 2 =2 x f’’(x) f(x) -  2 +  + + konveks ?

x=2 noktası, ikinci türevin kökü olduğu halde, dönüm noktası değildir Türev bu noktada, işaret değiştirmemektedir! Yani; f’’(x 0 )=0 olması, x0 x0 noktasının DÖNÜM noktası olmasını gerektirmez!!!!

1. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = = =

2. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = 1 = ==

3. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : belirsizliği var = = - sinx cosx ==0

4. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = e x - sinx 0  0

5. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : = belirsizliği var = cosx/sinx 2cos2x/sin2x cosx/sinx 2cos2x/sin2x = Cosx.sin2x 2cos2x.sinx

Cosx.sin2x 2cos2x.sinx 2sinx.cosx 2.sinx.cos 2 x 2cos2x.sinx = = =1

6. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =0   = = = exex 1 = ee 1 =  1 = 

7. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =   = === 2

8. limitinin değerini bulunuz? Çözüm : =  -  = =

== = = 0 0 Bu aşamada, L’Hospital kuralı bir kere daha uygulanır:

== ==