Cantor & Sonsuz Kümeler CMPE 220: Discrete Computational Structures Ozan İRSOY, Boğaziçi Üniversitesi

Kümeler kuramı tek bir kişi, Georg Cantor'un yaratımıdır. Cantor'dan önce, birtakım matematikçilerin katkıları olmuştur. –Antik Yunanda, Elealı Zeno, sonsuzla ilgili problemleri ile fikrin oluşmasına büyük katkı sağlamıştır. –Bernard Bolzano, sonsuz fikrini savundu ve sonlu kümelerden farklı olarak, sonsuz kümelerin, bazı alt kümeleriyle 1-1 eşleme yapılabildiğini gösterdi.

Ancak kümeler kuramını doğru bir matematiksel temel üzerine oturtan Cantor olmuştur. Cantor'un önceki işleri sayılar kuramı hakkındaydı ve 1867 ve 1871 tarihleri arasında çeşitli makaleler yayımladı.

Cantor, 1872'de, İsviçre'ye yaptığı bir seyahatte Richard Dedekind'le tanıştı ve aralarında yıllar sürecek bir arkadaşlık başladı ile 1879 arasında yazıştılar ve Dedekind'in soyut düşünce biçiminin Cantor'un fikirlerinin gelişmesinde önemli etkileri oldu.

Cantor sayılar kuramından ayrılıp trigonometrik serilere yöneldi. Bu konudaki yazıları kümeler kuramının ilk fikirlerini, ve irrasyonel sayılarla ilgili önemli sonuçları barındırıyordu. Dedekind de bağımsız olarak irrasyonel sayılar üzerinde çalışıyordu ve “Süreklilik ve İrrasyonel Sayılar”ı yayımladı.

1874'de Cantor, kümeler kuramının doğumu olacak makalesini Crelle's Journal'de yayımladı. Ardından tamamlayıcı bir makale yayınladı ancak kümeler kuramı çoktan tartışmanın odak noktası olmuştu.

Crelle's Journal'ın yazı kadrosunda bulunan Leopold Kronecker, Cantor'un makalesinde bulunan devrimsel fikirlerden rahatsızdı. –Makalesini geri çekmek Cantor'a cazip geldi ancak Dedekind çekmemesi yönünde onu ikna etti ve Karl Weierstrass, yayımlanmasına destek oldu. –Makale yayımlandı ancak Cantor bir daha Crelle's Journal'e yazı göndermedi.

1874 makalesinde Cantor, en az iki farklı sonsuzdan bahsediyordu. –Daha önce sonsuzların boyutları yoktu, bütün sonsuzlar aynı boyutta varsayılıyordu. –Cantor makalede cebirsel reel sayıların doğal sayılarla 1-1 eşlenebileceğini göstermişti. –Aynı makalede reel sayılarla doğal sayıların 1- 1 eşlenemeyeceğini de ispatlıyordu. İspat, daha sonra kullanacağı diagonal yöntemden çok daha zor, iç içe aralıklar kullanan bir yöntem içeriyordu.

Sonraki makalesinde, Cantor, 1-1 eşlenebilen kümelerin aynı “kuvvet”te olmasını tanımladı. –Kuvvet (power) sözcüğünü Jakob Steiner'dan aldı. Rasyonel sayıların en küçük sonsuz kuvvete sahip olduğunu gösterdi. –Ayrıca R ile R n in, hatta sayılabilir sayıda R'nin kopyalarının aynı kuvvette olduğunu gösterdi. –Bu aşamada Cantor “sayılabilir” sözcüğünü kullanmadı, daha sonra, 1883'de ilk kez kullanacaktı.

yılları arasında Cantor kümeler kuramı üzerine altı parçalık bir inceleme yazdı. –Bu çalışması Matematische Annalen'de yayınlandı. –Editörün çalışmayı yayınlaması cesaret isteyen bir işti çünkü Cantor'un fikirlerine muhalefet giderek artıyordu. –Muhaliflerin en başında Kronecker yer aldı. –Kronecker'ın bu kadar olumsuz yaklaşmasının sebebi, sadece yapıcı (constructive) matematiğe inanmasıydı.

Ancak Cantor çalışmaya devam etti. Altı parçalık çalışmasının beşincisinde, ordinal sayıları, ve sonsuz sayıların toplanmasını ve çarpılmasını tanımladı. Aristotle, Descartes, Berkeley, Leibniz ve Bolzano gibi matematikçilerin çalışmalarını referans gösterdi.

1885'de kardinal ve ordinal sayılar kuramlarını genişletti 'de kümeler kuramı hakkındaki son iki çalışmasını yayınladı. Bu, günümüzün kümeler kuramı kitaplarına benziyor ve küme, alt küme gibi kavramların hepsini tanımlıyordu.

1897'de ilk paradoks, Cesare Burali-Forti tarafından yayımlandı. –Tüm ordinallerin kümesinin ordinal sayısı bir ordinal olmalıydı ve bu çelişkiye yol açıyordu. –Cantor'un 1885'de bu paradoksu kendisi keşfettiğine ve 1886'da David Hilbert'e hakkında yazdığına inanılıyor. –Öte yandan Cantor'un Burali-Forti'ye karşı aşırı eleştirel olması şaşırtıcıdır.

1899'da Cantor başka bir paradoks daha buldu. –Tüm kümelerin kümesinin kardinal sayısı neydi? Açıkça, en büyük kardinal sayı olmalıydı ancak Cantor teoremine göre böyle bir sayı yoktu. –Kronecker'ın eleştirileri doğru olabilecekmiş gibi gözüktü çünkü kümeler kuramı çok fazla paradoksa sebep oluyordu.

Son paradoks Bertrand Russell'dan geldi (bağımsız olarak Ernst Zermelo'dan da). –A = { X | X, X'in elemanı değildir }. –Russell'ın sorusu şuydu: A, A'nın elemanı mıdır? –Elemanı olması varsayımı da, olmaması varsayımı da, çelişkiye yol açıyordu. –Russell, paradokstan Gottlob Frege'ye bahsetti.

Bu aşamada kümeler kuramı diğer alanlar üzerinde oldukça etkili olmaya başlamıştı. Bu sebepten, paradoksları yüzünden kümeler kuramını tamamen terk etmek yerine paradoksları giderme yolları arandı.

Paradokslar Seçme Aksiyomundan mı kaynaklanıyordu? –Cantor, seçme aksiyomunu ayrıca belirtmeye ihtiyaç duymadan kullanmıştı. –Aksiyomu formal biçimde ifade eden ilk kişi Zermelo'ydu. Bütün kümelerin iyi- sıralanabileceğini ispatlamıştı (well-order). –Emile Borel, seçme aksiyomu ile Zermelo teoreminin eşdeğer olduğunu gösterdi. –Kurt Gödel 1940'da seçme aksiyomunun kümeler kuramı aksiyomlarıyla çürütülemeyeceğini gösterdi. 1963'de Paul Cohen ise aynı aksiyomlardan ispatlanamayacağını gösterdi.

1900'de Cantor süreklilik hipotezini ortaya attı. –David Hilbert tarafından sunumu yapıldı. –Gödel ve Cohen, seçme aksiyomu kabul edilse dahi süreklilik hipotezinin kümeler kuramı aksiyomlarından bağımsız olduğunu ispatladılar.

Kaynakça – andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_t heory.html –