DENGELEME HESABI II Doç.Dr. Ş. Hakan KUTOĞLU

Jeodezik Kontrol Ağları Bir Referans sisteminin gerçekleştirilebilmesi için o sistemde koordinatı bilinen noktalara ihtiyaç vardır. Referans sistemini gerçekleştirmek amacıyla tesis edilen noktalara “kontrol noktası”, bu noktaların meydana getirdiği yapıya da “kontrol ağları” adı verilir.

Jeodezik kontrol ağları üç grupta ele alınabilir: Yatay kontrol ağları Düşey kontrol ağları Üç boyutlu kontrol ağları

Kontrol noktalarının konumunu doğrudan doğruya belirlemek mümkün değildir; dolaylı gözlemler yapmak gerekir. Yatay kontrol ağları:kenar, doğrultu ve açıklık açısı gözlemleri Düşey kontrol ağları: nivelman Üç boyutlu kontrol ağları:kenar, doğrultu, düşey açı veya GPS baz vektörleri

Kontrol Ağlarının Datumu Kontrol ağları üzerinde gerçekleştirilen gözlemler ağın ancak iç geometrisini belirler. Ağın bir koordinat sisteminde konumlandırılabilmesi için gerekli olan parametrelere “dış parametreler” bunların sayısına “datum defekti” adı verilir.

Ağ tipi Boyut Gözlem Datum defekti Datum parametreleri Yatay K. Ağı 2 Doğrultu 4 2 öteleme, 1 dönüklük, 1 ölçek Doğrultu, Kenar 3 2 öteleme 1 dönüklük Doğrultu, kenar, azimut 2 öteleme Düşey K. Ağı 1 Yükseklik, farkı 1 öteleme 3 Boy. Ağlar Baz vektörleri 3 öteleme Kenar, doğrultu, düşey açı 3 öteleme, 1 dönüklük

Jeodezik Ağların Tasarımını Etkileyen Faktörler Kullanılacak ölçme yöntemi ve jeodezik model Doğruluk ölçütleri Global doğruluk ölçütleri Lokal doğruluk ölçütleri Güvenirlik Ekonomi

Jeodezik Ağların Dengelemesi: Genel Bakış Yüksek doğruluk gereksinimleri nedeniyle jeodezik ölçmelerde noktalar daima bir ağ mantığı içerisinde ele alınır ve nokta konumları ağ üzerinde gerçekleştirilen ölçülerin bir dengeleme hesabına tabi tutulmasıyla elde edilir.

Dengelemenin olabilmesi için gereğinden fazla ölçüye ihtiyaç vardır. f=serbestlik derecesi n=ölçü sayısı u=bilinmeyen sayısı olmak üzere dengelemenin olabilmesi için f=n-u>0 olmalıdır. f=n-u=0 ise dengelemesiz tek çözüm, f=n-u<0 ise çok sayıda çözüm vardır.

Dengeleme hesabı için en ideal yöntem C. F Dengeleme hesabı için en ideal yöntem C.F. Gauss’un 1894 yılında Almanya Nirengi Ağı dengelemesi için geliştirdiği “En Küçük Kareler Yöntemidir.” EKKY’nin temel ilkesi ölçü hatalarının karelerinin toplamını minimum yapmaktır. vTPv=min.

EKKY’ne göre dengeleme Fonksiyonel model Stokastik model

Fonksiyonel Model Ölçülerle bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel ilişki lineer olmalıdır. Yoksa gözlem eşitliği Taylor Serisine açılarak lineerleştirilir. Sonuç olarak dengelemenin fonksiyonel modeli v=Ax-l (l=L-F0) şeklinde ifade edilir.

Stokastik model Ölçülerin duyarlık tahminleri stokastik model ile belirlenir:

Bilinmeyenlerin Hesabı

Model testi

Parametre testi

Uyuşumsuz ölçü testi

Güvenirlik 0.3<ri<=0.5 olması istenir.

Dış parametrelerin belirlenmesine göre dengeleme türleri Dayalı (zorlamalı) dengeleme Minimuma dayalı (zorlamasız) dengeleme Serbest ağ dengelemesi Tüm iz minimum Kısmi iz minimum

Dayalı dengeleme Ağın dış parametrelerinin tanımlanabilmesi için daha önceden koordinatı bilinen üst derece noktaların koordinatları bu dengeleme türünde değişmez olarak alınır.

Minimuma dayalı dengeleme Datum defekti sayısı kadar koordinatın sabit alındığı dengeleme türüdür. Ağ iç geometrisi üzerinde herhangi bir zorlama meydana gelmez.

Serbest ağ dengelemesi Bu tür dengelemede hiçbir ağ noktasının koordinatı sabit kabul edilmez. Bütün nokta koordinatlarının hatalar içerdiği düşünülür. Bu durumda dış parametreler belirlenemeyeceğinden Normal denklemler matrisinin rangı r=u-d olur. Yani matrisin Cayley inversi alınamaz. Dış parametrelerin belirlenebilmesi için fonksiyonel modelin yanı sıra ağın tüm noktaları için aşağıdaki koşul denklemleri yazılır: v=Ax-l GTx=0

Bir boyutlu ağlar için İki boyutlu ağlar için

Üç boyutlu ağlar için

Bilinmeyenleri arasında koşul denklemleri bulunan dolaylı ölçüler dengelemesi ilkesine göre

Kısmi iz minimum durumunda tüm noktalar yerine uygun bazı noktalara göre koşul denklemleri yazılır: v=Ax-l BTx=0

Bu durumda olur.

Yatay Kontrol Ağları YKA’ları Ağın şekline ve Ölçü yöntemine Amaca Göre sınıflandırılabilirler.

Ağın şekline göre sınıflandırma Çalışmanın amacına veya ekonomisine göre Santral ağ Dörtgen ağ Zincir ağ Karışık ağ

Santral Ağ

Dörtgen Ağ

Zincir ağ

Karışık ağ

Ölçü yöntemine göre Triangülasyon ağları Trilaterasyon ağları Trilagon ağları

Amaca göre Ülke nirengi ağları (1., 2., 3. derece ağlar, sıklaştırma ağları vs.) Deformasyon izleme ağları Proje ölçmeleri için kurulan ağlar (karayolu, demiryolu vb. için) Fotogrametri ve uzaktan algılama çalışmaları için kurulan kontrol ağları

Hesap yüzeyi Elipsoit yüzeyi Harita (projeksiyon) düzlemi Yerel yatay

YKA’ların planlaması ve tesisi Amaca uygun nokta sayısı ve bu noktalar arasındaki gözlemler planlanmalı Aralarında ölçme planlanan noktalar birbirini görmeli Kenarlar gergin olmalı Noktalar mümkün olduğunca ulaşımı olan yerlerde ve uygun zeminlerde tesis edilmeli Nirengi kanavası hazırlanmalı Çalışmanın amacına ve zemine uygun tesis türü seçilmeli Tesis sırasında röper alınmalı, durum ve röper krokileri düzenlenmeli

Ölçmeler (Veri toplama) Doğrultu ölçmeleri Kenar ölçmeleri Astronomik gözlemler

Doğrultu ölçmeleri En az 2cc hassasiyetle ölçme olanağı tanıyan aletlerle ve gözleme plakaları veya yansıtıcı prizmalarla gerçekleştirilir.

Yatay açı ölçme yöntemleri Repetisyon yöntemi Seri yöntemi Reiterasyon yöntemi Kombinasyon yöntemi Sektör yöntemi

Seri yöntemi Aletin I. Durumunda saat ibresi yönünde planlanan bütün doğrultulara gözlem yapılır.Kontrol için en son başlangıç noktası gözlenir. Son noktada alet II. duruma getirilir ve bu kez saat ibresinin ters yönünde diğer doğrultular gözlenir. Bu şekilde yapılan gözlemler 1 tam seri olarak adlandırılır. Bölümleme hatalarınının etkisini azaltmak için her yeni seriye başlamadan açı tablası d=200g/n kadar döndürülür.

Avantajları: Bölüm dairesinin sürüklenme hataları ile alet eksen hataları giderilmiş olur. Dezavantajı: Gözlem işlemi uzun sürdüğünden atmosferik koşulların değişmesi nedeniyle birtakım hatalar ortaya çıkabilir.

0g j K tij k zi x2 x3 x1 l i m

Hata Kaynakları Merkezlendirme hataları Yöneltme ve okuma hataları Aletsel hatalar Atmosferik hatalar İndirgeme hataları

Doğrultu ölçmelerinin ön işlemesi İstasyon dengelemesi Hesap yüzeyine indirgeme

İstasyon dengelemesi Tek bir doğrultunun koh Ortalama doğrultunun koh

Doğrultuların hesap yüzeyine indirgenmesi Elipsoit yüzeyi: Çekül sapmaları gerekli Projeksiyon düzlemi: Yerel yatay: doğrudan kullanım

Kenar ölçmeleri Tarihsel gelişim sırasına göre kenar ölçme yöntemleri İnvar tellerle Baz büyütme donanımlarıyla Elektronik uzaklık ölçerlerle GPS tekniğiyle şeklinde sıralanabilir.

Kenar ölçmeleri Ağ kenarlarının en az 1/3 ü ölçülmelidir. Çalışmaya bağlı olarak bu sayı daha fazla olabilir. Çalışmaya bağlı olarak kenarların karşılıklı olarak ölçülmesi zorunlu olabilir. Karşılıklı ölçmeler arasındaki farkın ölçülen kenara oranı belli bir sınır değeri (3. der. Sıkl. Ağlarında 1/100000) aşmamalıdır (oransal doğruluk). Kenar ölçmelerinde kullanılan aletin her yıl kalibrasyonu yapılmalıdır.

Kenar ölçmeleri ön işleme Duyarlık hesaplamaları Meteorolojik düzeltmeler Geometrik indirgemeler

Duyarlık hesaplamaları

Meteorolojik düzeltmeler Hız düzeltmesi Işın yolu eğriliği düzeltmesi

Geometrik indirgemeler Pj D H2 P1 H1 Jeoit Se Elipsoit N P'1 Sºe P'2 r 2θij O

Geometrik indirgemeler Eğim indirgemesi Deniz yüzeyine indirgeme Yeryüzü eğriliği düzeltmesi Elipsoide indirgeme Projeksiyon (harita) düzlemine indirgeme

Deniz yüzeyindeki uzunluk

Projeksiyon düzlemindeki uzunluk

Ölçme yeri : İTÜ Kampüsü Alet ve Seri No: PTS10 741732 Tarih :18.9.1993 Alet içi Kırılma indisi (no):1.00002798 Hava durumu: Açık Ngr :106.086051 Operatör: Hakan Kutoğlu Yansıtıcı tipi:Üçlü beşgen prizma Yazıcı : Ertürk Özdemir Sıfır Noktası Eki (Ko):0.029m Alet Yansıtıcı Ölçülen uzunluklar (m) Nokta no 502 503 645 120 Sehpa yüksekliği iE=1.500 Tp=1.690 120 Nokta kotu Ho=93.352 HB=78.779 120 Muylu kotu Hi=94.912 Hk=80.329 121 DH=Hk-Hi -14.303 119 R+Hi=6373394+Hi 6373488.912 =D/(R+Hi) 1.012160386x10-4 Meteorolojik ölçüler Alet Yansıtıcı Ortalama Kuru sıcaklık (t) C 27.0 Islak sıcaklık(t’) C 31.1 Basınç mm Hg 757.5 18.77 15.81 1.000266897 D’ort=645.120m Hız düzeltmesi 0.0083 Sıfır noktası eki Ko -0.029 Düzeltimiş eğik uzunluk D=D’+Ko+K1 645.0993 Deniz yüzeyinde uzunluk 644.9256 Projeksiyon indirgemesi 0.0535 Projeksiyon düzlemindeki uzunluk 644.9791

Doğrultu kenar ağı dengelemesi Doğrultular için fonksiyonel model: Kenarlar için fonksiyonel model:

Doğrultular için düzeltme denklemi 

Doğrultular için düzeltme denklemi Yöneltme bilinmeyenleri Schreiber veya Gauss toplam yöntemlerinden biriyle elemine edilebilir.

Gauss toplam yönteminde

Kenar ölçmeleri için düzeltme denklemleri

Stokastik model Doğrultular için Kenarlar için

ya istasyon dengelemesinden bulunan değer olarak alınır ya da Ferrero bağıntısıyla bulunur:

Düşey Kontrol Ağları Referans yüzeyi jeoittir.

3 boyutlu uzayda Geoit

Gözlemler Ağ noktaları arasındaki yükseklik farklarıdır.

Yükseklik farklarını elde etmede kullanılan ölçü yöntemleri Düşey açı ölçmeleri Geometrik nivelman Presizyonlu nivelman GPS nivelmanı

Düşey açı ölçmeleri ile yükseklik farkı belirleme Düşey açı ölçmeleri trigonometrik yöntemle kontrol noktalarının yükseklik farklarının belirlenmesi amacıyla gerçekleştirilirler. <doğrultu ölçmelerinde kullanılan aletlerle yine seri yöntemi ilkesine göre ölçülürler.

R Tp-iE D'ij Tp Z''ij iE Z'ij ε Dij A Pj iE Δhij Dij Pi

Önce kenar ölçüsü yapılan noktalardaki yükseklik farkları belirlenir: D: meteorolojik düzeltme getirilmiş eğik uzunluk z’: ölçülen düşey açı iE: Elektronik ölçme aletinin yüksekliği Tp: bakılan noktada yansıtıcı yüksekliği

Eğik kenar ölçmeleri yapılan noktalar arasındaki yatay mesafeler bulunur

Sinüs bağıntısıyla diğer noktalar arasındaki yatay mesafeler hesaplanır.

Düşey açılar zemine indirgenir

Yatay mesafeler ve zemine indirgenmiş düşey açılar kullanılarak yükseklik farkları bulunur

Geometrik Nivelman

A B

Presizyonlu (Hassas) nivelman Klasik geometrik nivelman yöntemi ve donatımı ile yükseklik farkı belirlemede ±1mm/km presizyondan daha yüksek duyarlığa ulaşılamaz. Presizyonlu nivelman tekniğinde ise yükseklik farkları ±0.5mm/km duyarlıkla belirlenebilmekte, düzenli hata kaynaklarına karşı etkin önlemler alındığında ise presizyon daha da yükseltilebilmektedir.

Uygulama alanları Fiziksel yeryüzünü ve jeoidi belirlemeye yönelik çalışmalar Ülke nivelman ağının oluşturulması Yerkabuğu düşey hareketlerinin belirlenmesi Köprü, baraj gibi önemli mühendislik yapılarının deformasyonlarının incelenmesi Önemli yapıların aplikasyonu Yer altı maden işletmelerinin yeryüzündeki etkilerinin incelenmesi

Ölçme donatımı Mira Nivo Mira altlığı Mira destekleme donatımı

Miralar Bir çift “invar” mira kullanılır. Koruyucu kasaları sert ağaç ya da metalden yapılır. Kasa içinde 25mm genişlikte ve 1mm kalınlıkta bir invar şerit bulunur. İnvar şerit altta çelikten mira taban demirine sabitlenmiş altta ise bir kaldıraca bağlanmıştır. Kaldıraçta ortasından kasaya mesnetliyken sonda bir germe yayına bağlanmıştır.

Kaldıraç Germe yayı Mira kasası İnvar şerit

İnvar şeridin en büyük özelliği termik uzama katsayısı çok küçük olan (1.5m/mC) ve nemli ortamdan etkilenmeyen nikel, demir ve çeşitli metaller içeren bir alaşımdan yapılmış olmasıdır.

Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı

Nivelman Ağı Dengelemesi Fonksiyonel model Düzeltme denklemi

Trigonometrik nivelman için: Stokastik model Trigonometrik nivelman için: Trigonometrik nivelman bağıntısında en büyük hata kaynağı düşey açı ölçmesine aittir. Bu nedenle ilgili bağıntı düşey açı ölçmesine göre hata yayılmasına açılır. Eşitlik So=1 km birim uzunluğu için düzenlenir ve ağırlık tanımı gereği her iki ifade oranlanırsa elde edilir.

Geometrik nivelman için: d n 2 1  S

Eşitlik So=1 km birim uzunluğu için düzenlenir ve ağırlık tanımı gereği her iki ifade oranlanırsa elde edilir.

Presizyonlu nivelman için: Presizyonlu nivelmanda da geometrik nivelman için çıkarılan stokastik model geçerlidir. Ancak geometrik ve presizyonlu nivelman gözlemlerinin aynı dengeleme probleminde yer alması durumunda, presizyonlu nivelman ağırlıkları için bağıntı 10 gibi bir değerle çarpılabilir.