Cahit Arf’in de dediği gibi “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım gibi sayılara gelin. Sonsuzluk her şeyin cevabıdır. Sayı sonsuzdur”.

... konulu sunumlar: "Cahit Arf’in de dediği gibi “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım gibi sayılara gelin. Sonsuzluk her şeyin cevabıdır. Sayı sonsuzdur”."— Sunum transkripti:

1 Cahit Arf’in de dediği gibi “Gerçekten evrenin sırrını arıyorsanız, benim yaptığım gibi
sayılara gelin. Sonsuzluk her şeyin cevabıdır. Sayı sonsuzdur”.

2 geçiren insanın algılamasının zor olduğu soyut bir kavramdır.
Sonsuzluk, Sonlu bir yaşama sahip olan ve sosyal çevresinde sonlu olaylarla yaşamını geçiren insanın algılamasının zor olduğu soyut bir kavramdır. MORALI,S. KÖROĞLU, H. ve ÇELİK, A. (2004). ‘Buca Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmen Adaylarının Soyut Matematik Dersine Yönelik Tutumları ve Rastlanan Kavram Yanılgıları’. Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, 1(24), [ ].

3 SONSUZLUK KAVRAMI VE TARİHSEL GELİŞİMİ
Sonsuzluk fikrinin insanlığın başlangıcı kadar eskilere dayandığı düşüncesi yaygın olsa da, bu fikrin ilk kez ne zaman kavramsallaştığı kesin bir cevap vermek oldukça zordur. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

4 İnsanlar "var olan"ın ötesine geçip "var olabilecek olan"ı düşünmeye başladıkları andan itibaren sonsuz kavramı insan zihnindeki yerini almıştır. Yüzyıllar boyunca metafizikte felsefeciler sonsuzluk hakkında giderek derinleşen yorumlar yapma fırsatı bulmuşlardır. Sonsuzluk kavramının bu yorumlar neticesinde olgunlaşarak mantığın ve matematiğin ilgi alanına girmesi ise daha geç olmuştur. AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

5 Sonsuzluk, Antik-Çağ matematikçilerinin eksikliğini sezdikleri fakat zihinsel bilgiye dönüştüremedikleri önemli bir kavramdır. 17. ve 18. yüzyılda, fiziksel olayların açıklanabilmesi için ortaya atılan "sonsuz küçükler" hesabı, bu yöndeki büyük bir adımdır. 20. yüzyıl başlarında zihinsel ve sistemli bilgiler disiplini olarak ortaya konan sonsuzluk kavramı, 6000 yıllık matematikte gerçekleşen en büyük aşamadır, en büyük devrimdir. AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

6 Örneğin; milattan önce varlığı keşfedilen π virgülden sonra sonsuz basamağa sahip olmasına karşın bu özelliği farklı şekillerde ifade edilmiştir. Daha sonra keşfedilen irrasyonel sayıların kavranması da aslında sonsuzluk fikrini içermektedir. Fakat ilginç bir şekilde irrasyonel sayıları keşfeden Pisagor ve onun takipçilerinin bile sonsuzlukla ilgilenmedikleri görülmektedir (Allen,2000). ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

7 Acaba matematikçileri sonsuzluk kavramından uzak tutan şey ne idi?
Eski Yunan düşüncesinde sonsuzluk fikri dünyaya ait 3 gözlem ile ilişkilendirilmekteydi. Bunlar: zamanın bir sonu olmayışı algısı, ‘’Dünya birden bire mi ortaya çıktı yoksa her zaman var mıydı?’’ mekânın sınırsızlığı, ‘’Dünya her zaman var olmaya devam edecek miydi yoksa bir sonu var mıydı? ‘’ ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

8 zaman ve mekânın sonsuz (küçük) aralılara parçalanabilir olarak algılanışı
‘’Bir tahta parçası ikiye bölünse ve parçalardan birisi tekrar ikiye bölünse ve bu şekilde bölünmeler sürekli yapılsa, acaba bu işlem sonsuza kadar devam eder miydi yoksa bu işlemin bir sonu var mıydı?’’ ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

9 Bu tür sorular Elea’lı Zenon’un ortaya attığı paradokslar ile başka bir kimliğe bürünmüştü. Zenon paradoksları (İ.Ö. 450) hareketin bir yanılgı olduğunu kanıtlamaya çalışarak, sürekli büyüklüklerin bir bileşeni olarak "sonsuz küçük nicelikler" düşüncesinin özündeki zorluğa işaret etmiş ve hareketi çeşitli biçimlerde "çürütmüştür". AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

10 "Yavaş olan hiçbir zaman hızlı olan tarafından yetişilip geçilemez."
Zenon: "Yavaş olan hiçbir zaman hızlı olan tarafından yetişilip geçilemez." Bu ünlü "Hızlı Akhilleus" paradoksudur. Zenon, bir çizginin sonsuz sayıda noktadan oluşamayacağını kanıtlamak için, durumun gerçekten bu olması halinde Akhilleus'un kaplumbağaya asla yetişip geçemeyeceğini iddia etmiştir. AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

11 Aristo sonsuzluk kavramının bir mükemmellik olmadığı ve fakat bir eksikliğe işaret ettiğini, limitin olmayışı olarak düşünülmesi gerektiğini ifade etmektedir(Spangler,1998). Aristo sonsuzluk kavramını irdelerken iki tür sonsuzluktan bahsetmektedir: Potansiyel sonsuzluk sürekli devam eden ve fakat herhangi bir noktasında sonlu olan bir sürece işaret etmektedir. Fiili sonsuzluk ise tam halde, bir bütün olarak, bir bütün olarak, sonsuzluğa işaret eder. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

12 Bir örnekle açıklamak gerekirse, doğal sayıları ele alalım
Bir örnekle açıklamak gerekirse, doğal sayıları ele alalım. Ne kadar sayarsak sayalım, doğal sayıların hepsini bir bütün olarak tamamlamak mümkün değildir; ulaşılan noktadan geriye dönüp bakıldığında sonlu sayıda doğal sayının sayılmış olduğu görülecektir. Aristo perspektifinden bakıldığında, doğal sayıların sonsuz olmadığı söylenebilir. Fakat sayılabilecek her bir doğal sayıdan daha büyük bir doğal sayının var olduğu söylenebilir ki bu da doğal sayıların potansiyel sonsuz olduğu anlamına gelir. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

13 Thomas Aquinas, teolog ve felsefeci, sonsuzluğu temsil edebilecek bir sayının olmayışı gerçeğine dayanarak, fiili sonsuzluğun var olmayacağı düşüncesini şu şekilde ifade etmiştir: ‘Fiili olarak sonsuz bir çokluğun varlığı imkansızdır. Çünkü ele alınan her bir küme bu kümede bulunan elemanlarla belirlenebilir. Ve kümelerin elemanları da sayıları ile belirlenebilir. Hiçbir sayı sonsuz değildir, çünkü sayı dediğimiz şey belirli birimlerin sayılması ile elde edilir. Dolayısı ile hiçbir küme esas itibariyle gerçekte limitsiz değildir.’ ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

14 Sonsuzluğun inkârı klasik Yunan matematiğinin gelişimine gerçek bir engel oluşturmuştur. Aksine Hintli matematikçilerin bu gibi kuruntuları yoktu ve daha sonra Araplar yoluyla Avrupa'ya giren büyük ilerlemeler sağladılar (Hooper, 1948). AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

15 Yeni Bilim (1638) adlı kitabında Galileo, her tam sayının sadece bir tam karesinin olduğuna ve her tam karenin sadece bir pozitif tam sayının karesi olduğuna işaret etti. Böylece bir bakıma ne kadar pozitif tamsayı varsa o kadar da tam kare vardır. Bu bizi derhal mantıksal bir çelişkiye götürür. Bu durum literatürde ‘Galileo paradoksu’ olarak bilinir. AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ].

16 Galileo, sonsuzluğun tutarsız bir kavram olmadığını sadece onun kendi içinde farklı kuralları olduğunu ve bu kuralların da sonlu olgulara dair hüküm vermekte kullandığımız muhakemelerimizden farklı olması gerektiğini dile getirmiştir (Clegg, 2003). ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

17 Analiz’in (Calculus’un) kurucularından sayılan Newton ve Leibniz aynı yıllarda yapmış oldukları çalışmalar ile sonsuz küçük kavramları ile uğraşmak zorunda kalmışlardır. Bir eğri üzerindeki herhangi bir noktadan geçen teğetin eğimi için o noktaya yakın bir nokta seçilmesi ve bu iki noktadan geçen kirişin eğiminin hesaplanmasında, iki nokta arasındaki mesafenin sonsuz azalması fikri bu iki bilim insanını kaçınılmaz olarak sonsuzluk kavramı ile karşı karşıya bırakmıştır. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

18 Aristo doktrini, 19. yüzyıla varıncaya kadar hissettirmiştir
Aristo doktrini, 19. yüzyıla varıncaya kadar hissettirmiştir. Bununla birlikte 19. yüzyıldan itibaren sonsuzluk kavramıyla ilgilenen matematikçilerin sayısının arttığı görülmektedir. Bunlardan en önemlilerinden birisi Bolzano’dur. Bolzano bu paradoksların çözümü için sonsuzluğun matematiksel olarak kavramsallaşması gereğine inanmıştır. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

19 Bolzano’nun sonsuzluğa en önemli katkılarından birisi küme kavramını geliştirmesi ve sonsuzluğu kümelerin elemanlarının niceliğine ait bir nitelik olarak kabul edilmesi gerektiği yönündeki iddiasıdır. Bolzano farklı yaklaşımı ile doğal sayılar bir kümenin elemanları olup bu kümenin elemanlarının sayısı sonsuz olmak zorundadır. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

20 Bolzano Sonsuz küme için şu basit görünüşlü tanımı yapar: Boş olmayan A kümesini ele alalım ve bu kümenin altkümelerinin bir dizisini oluşturalım. Öyle ki dizideki her bir altküme kendisinden önce gelenin içindeki bütün elemanlardan, artı bir yeni elemandan oluşsun. Bolzano'ya göre altkümelerini bu şekilde dizdiğimizde bir son altkümeye, yani içine artık yeni bir eleman koyamayacağımız bir altkümeye, ulaşıyorsak A kümesi sonludur. Eğer her bir altkümeden sonra bir diğerini oluşturmak mümkünse A kümesi sonsuzdur.

21 Cantor’a göre sonsuzluk, içerisinde sonsuz eleman içeren bir kümenin var olması ile eş anlamlıdır. Sonsuz elemana sahip iki kümenin elemanlarının hepsini saymak mümkün olmasa bile, bu iki kümede bulunan elemanlar arasında bire-bir eşleme yapmak, bu iki kümenin aynı sayıda elemana sahip olduğunu göstermek için yeterlidir. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

22 Sonlu iki kümenin karşılaştırılmasında, bir küme diğer kümenin öz alt kümesi ise o zaman eleman sayılarının aynı olması düşünülemezdi ama sonsuz kümeler söz konusu olduğunda bu yaklaşımın terk edilmesi gerekiyordu. ‘Bir kümenin elemanları elemanlarının bazılarının çıkarılmasıyla eleman sayısı değişmiyorsa bu kümeye sonsuz küme adı verilir.’ ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

23 Cantor tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin sayılabilir kümeler olduğunu göstermiştir. İrrasyonel sayıların sayılamaz olduğunu dolayısıyla gerçek sayıların doğal sayılardan daha büyük bir kardinaliteye sahip olduğunu göstermiştir. Bu ispat farklı ‘büyüklükte’ sonsuzluklar olduğunu gösterir. ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi.

24 Hilbert oteli Bir otel işletiyorsunuz.Otelinizin sonsuz sayıda odası var.Her otelde olduğu gibi,her odanın bir numarası var: 1,2,3,4,5,... En sonuncu oda yok elbette.Sonsuz numaralı oda da yok.Her odanın numarası sonlu sadece oda sayısı sonsuz.

25 Birinci Gün: Şanslı bir gününüzdesiniz,bir otobüs dolusu müşteri geliyor.Sonsuz sayıda müşteri..Müşterilerin adları: 1,2,3,4,5,... Her müşteriye bir oda veriyorsunuz.1 numaralı müşteriye 1 numaralı odayı, 2 numaralı müşteriye 2 numaralı odayı, 3 numaralı müşteriye 3 numaralı odayı... Böylece hiç boş oda kalmıyor,zengin olacaksınız! Herşey yolunda seyrederken birdenbire bir müşteri daha çıkageliyor.Daha daha zengin olmak istiyorsunuz.Bu müşteriye bir oda nasıl bulursunuz?

26 CEVAP: Daha önce odalara yerleşmiş müşterileri birer oda kaydırırsınız.1 numaralı müşteri 2 numaralı odaya,2 numaralı müşteri 3 numaralı odaya,3 numaralı müşteri 4 numaralı odaya geçer,herkes birer kayar ve böylece boşalan 1 numaralı odaya yeni gelen müşteriyi koyarsınız.. "En son müşteri nereye gidecek?" demeyin çünkü en son müşteri yok.Nasıl en son oda yoksa en son müşteri de yok.

27 İkinci Gün: Otel boşaldı
İkinci Gün: Otel boşaldı. Ama gene şanslı gününüzdesiniz, gene bir otobüs dolusu müşteri geliyor.Sonsuz sayıda...Adları a1,a2,a3,a4,... Hepsine birer oda veriyorsunuz.a1'i 1 numaralı odaya, a2'yi 2 numaralı odaya... Herşey yolunda seyrederken ,birdenbire...Birdenbire bir otobüs dolusu müşteri daha çıka-geliyor...Bu otobüste de sonsuz sayıda müşteri var.Adları b1,b2,b3,b4,.... Ama odalarınızı doldurmuşsunuz.Bir müşteri gelse ne yapacağınızı bilmiyorsunuz ama sonsuz sayıda yeni müşteri geldi .Bu yeni müşterileri nasıl yerleştirirsiniz

28 CEVAP: Birinci otobüsün müşterilerini çift sayılı odalara yerleştirirsiniz: a1'i 2'ye ,a2'yi 4'e, a3'ü 6'ya, genel olarak an'yi 2n numaralı odaya...Böylece tek sayılı odalar boşalır,onlara da ikinci otobüsün müşterilerini yerleştirirsiniz: b1'i 1'e, b2'yi 3'e ,b3'ü 5'e,genel olarak bn'yi 2n-1 numaralı odaya yerleştirirsiniz...

29 Sayılabilir Sonsuz Bir kümeyi doğal sayılarla eşleyip te sayabiliyorsak bu kümeye sayılabilir sonsuz küme denir. Sayılabilir kümelere örnekler: Doğal sayılar Tam sayılar Oranlı sayılar Asal sayılar

30 Sayılamaz Sonsuz Bir sayı kümesini doğal sayılarla eşleştiremiyorsak bu küme sayılamaz sonsuzdur Sayılamaz kümelere örnekler: Gerçel sayılar Karmaşık sayılar Cantor'un kümesi Doğal sayıların alt kümelerinin kümesi

31 ÖZMANTAR M. F. (2008). Sonsuzluk kavramı: Tarihsel gelişimi, öğrenci zorlukları ve çözüm önerileri. M. F. Özmantar, E. Bingölbali ve H. Akkoç (Ed). Matematiksel kavram yanılgıları ve çözüm önerileri ( ). Ankara: Pegem Kitabevi. AKBULUT, K. ve AKGÜN, L. (2005). ‘Matematik ve Sonsuzluk’. Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi Dergisi, 11, [ ]. MORALI,S. KÖROĞLU, H. ve ÇELİK, A. (2004). ‘Buca Eğitim Fakültesi Matematik Öğretmen Adaylarının Soyut Matematik Dersine Yönelik Tutumları ve Rastlanan Kavram Yanılgıları’. Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, 1(24), [ ]. Derya ÇELİK, D. ve AKŞAN, E. (2013). ‘Matematik Öğretmeni Adaylarının Sonsuzluk, Belirsizlik ve Tanımsızlık Kavramlarına İlişkin Anlamaları’. Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi (EFMED), 1(7), [ ]. AKBULUT, K. ve IŞIK, A. (2005). ‘Limit Kavramının Anlaşılmasında Etkileşimli Öğretim Stratejisinin Etkinliğinin İncelenmesi Ve Bu Süreçte Karşılaşılan Kavram Yanılgıları’. Kastamonu Eğitim Dergisi, 2(13), [ ]. NESİN, A. (2002). Matematik ve Sonsuz. İstanbul: İstanbul Bilgi Üniversitesi Yayınları.