Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

SONLU ELEMANLAR DERS 8. İKİ BOYUTLU ELEMANLAR Bu bölümün amacı iki boyutlu elemanlar ve özellikleri ile birlikte iki boyutlu şekil fonksiyonları kavramını.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "SONLU ELEMANLAR DERS 8. İKİ BOYUTLU ELEMANLAR Bu bölümün amacı iki boyutlu elemanlar ve özellikleri ile birlikte iki boyutlu şekil fonksiyonları kavramını."— Sunum transkripti:

1 SONLU ELEMANLAR DERS 8

2 İKİ BOYUTLU ELEMANLAR Bu bölümün amacı iki boyutlu elemanlar ve özellikleri ile birlikte iki boyutlu şekil fonksiyonları kavramını tanımlamaktır. Dörtgen ve üçgen elemanlarla alakalı doğal koordinatlarda sunulacaktır. Dikdörtgen şeklindeki elemanlar, ikinci dereceden dörtgen şeklindeki elemanlar ve üçgen şeklindeki elemanlar için şekil fonksiyonları türetilecektir.

3 n m ij T TiTi TjTj X Y TnTn TmTm DİKDÖRTGEN ŞEKLİNDEKİ ELEMANLAR (RECTANGULAR ELEMENTS) Yandaki şekilde bir kanadın üst yüzeyindeki iki boyutlu sıcaklık dağılımı dikdörtgen şeklindeki elemanlar kullanılarak tanımlanmıştır.

4 n m i j T TiTi TjTj X Y TnTn TmTm Yandaki X ve Y koordinatlarına bağlı olarak elmandaki sıcaklık dağılımı verilmektedir. Burada X, Y global koordinatlar olurken x,y lokal koordinatlardır. Keyfi olarak seçilmiş bu elemandaki sıcaklık dağılımını aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. x y l w Bu dağılım elemanın kenarları boyunca lineer iç kısımlarda ise nonlineerdir.

5 katsayılarını bulmak için lokal koordinatlar kullanılır. Sınır şartları kullanılırsa: dır. Buradan:

6 Buradaki şekil fonksiyonları Bulunan bu katsayılar genel fonksiyonda yerine yazılır ve sıcaklık değerlerine göre parantezler düzenlenirse aşağıdaki yapı elde edilir. Lokal Koordinatlarda

7 (0,0) i j mn   y x l w (x=l, y=w) (  =1,  =1) (x=l, y=0) (  =1,  =-1) (x=0, y=w) (  =-1,  =1) (x=0, y=0) (  =-1,  =-1) Doğal Koordinatlarda 5. Derste üzerinde durduğumuz gibi doğal koordinatlar lokal koordinatların boyutsuz halidir. Ayrıca çoğu sonlu elemanlar programları Gauss un numerik integrasyon ifadelerini kullanır. Bu integrallerin limitleri -1 ile +1 arasındadır ki bu daha öncede bahsettiğimiz doğal koordinatlar sınırlarına uyar.

8

9

10 veya – işaretleri parantez içine alırsak şekil fonksiyonları aşağıdaki gibi bulunur:

11 İKİNCİ DERECEDEN DÖRTGEN ELAMANLAR (QUADRATIC QUADRILATERAL ELEMENTS) (0,0) i j m n   Y X l o p k ikj l m on p (1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1)

12

13

14

15

16

17 LİNEER ÜÇGEN ELAMANLAR (LINEER TRIANGULAR ELEMENTS) k i j T TkTk TiTi X Y TjTj Üçgen elemanlar eğrisel yüzeyleri oluşturmada dikdörtgen şeklindeki elemanlara göre daha uygundur.

18 T TkTk TiTi X Y TjTj Yandaki X ve Y koordinatlarına bağlı olarak elmandaki sıcaklık dağılımı verilmektedir. Üçgen eleman için sıcaklık dağılımı aşağıdaki gibi verilebilir. (X i, Y i ) (X j, Y j ) (X k, Y k ) Düğümlerin koordinatlarını yerine yazarsak:

19 Bu denklemlerin çözülmesi ile

20

21

22 Doğal Koordinatlarda A1A1 A2A2 A3A3  =0 =0  =0  =1  =1 =1 i j kP Üçgen elemanlarda doğal koordinatlar için alanlar kullanılabilir.

23 İKİNİ DERCEDEN ÜÇGEN ELAMANLAR (QUADRATIC TRIANGULAR ELEMENTS) İj k l m n  =0  =1/2  =1 İ j k  =0  =1/2  =1 =0 =1/2 =1 l m n

24

25


"SONLU ELEMANLAR DERS 8. İKİ BOYUTLU ELEMANLAR Bu bölümün amacı iki boyutlu elemanlar ve özellikleri ile birlikte iki boyutlu şekil fonksiyonları kavramını." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları