Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 7.HAFTA İÇERİĞİ 7.HAFTA İÇERİĞİ -Gauss Kareleme.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 7.HAFTA İÇERİĞİ 7.HAFTA İÇERİĞİ -Gauss Kareleme."— Sunum transkripti:

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 7.HAFTA İÇERİĞİ 7.HAFTA İÇERİĞİ -Gauss Kareleme

2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss Kareleme Yöntemleri Yamuk yönteminde integral aralığının uçları fonksiyon değerini birleştiren düz bir doğrunun altında kalan alan olduğundan bazı durumlarda büyük hatalara neden olabilmektedir. 0 y x y=f(x) a b

3 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Gauss Kareleme Yöntemleri düz bir doğru Yamuk yöntemindeki hatayı azaltmak için integral aralığındaki [a,b] iki ara noktadan (x o, x 1 ) geçen düz bir doğru altında kalan alanın bulunmasıyla daha iyi bir tahmin yapılır. Bu ara noktaların (x o, x 1 ) akıllıca seçilmesiyle + ve – alanlar dengelenebilir ve integral tahmini iyileştirilebilir. Gauss kareleme Gauss kareleme bu tür ara noktaları bulmayı amaçlayan yöntemlerin adıdır. x1x1 xoxo 0 y x y=f(x) a b

4 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Belirsiz Katsayılar Yöntemi Bu yöntemde integral; S≈ c o ·f(a)+ c 1 ·f(b) şeklinde ifade edilir. Burada, c’ler sabitlerdir. Yamuk yöntemi ile tam değerin bulunduğu sabit ve düz bir doğru ele alalım. Bu özel durumu gösteren 2 basit denklem olarak y=1 ve y=x göz önünde bulunduralım. Bu fonksiyonların a-b aralığında integrali için katsayıları hesaplayalım. 0 y x y=1 +(b-a)/2 -(b-a)/2 0 y x y=x (b-a)/2 -(b-a)/2 sabit Düz doğru

5 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y=1 için y=x için S≈ c o ·f(a)+ c 1 ·f(b) 0 y x y=1 +(b-a)/2 -(b-a)/2 sabit x 0 y y=x (b-a)/2 -(b-a)/2 Düz doğru

6 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER (2)’den c o =c 1 elde edilir (2)’yi (1)’de yerine koyarsak;

7 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu ifadeler belirsiz katsayılarda yerine yazılırsa; Bu ise yamuk kuralına eşittir. c o =c 1

8 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER İki noktalı Gauss-Legendre Yöntemi Yamuk yönteminde olduğu gibi Gauss karelemenin amacı S= c o ·f(x o )+ c 1 ·f(x 1 ) şeklindeki eşitliğin katsayılarını belirlemeyi amaçlar. c o, c 1 x o x 1 Burada yamuk yönteminden fark c o, c 1 gibi x o ve x 1 ‘in değerleri de bilinmemektedir. (bunlar uç değerler değildir) Bu nedenle 4 tane bilinmeyen vardır ve 4 tane kesin değeri hesaplayabilecek koşul fonksiyonuna ihtiyaç duyulur.

9 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yamuk yönteminde olduğu gibi bir sabit ve bir doğru fonksiyonun integralini kesin olarak verebileceği varsayımı ile koşullardan ikisi elde edilir. Kalan koşulu elde etmek için; bir parabolün (y= x 2 ) ve bir kübük parabolün (y= x 3 ) integralinin kesin sonucu verebileceğini varsayalım. Bu sayede 4 koşul değer elde edilir.

10 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y=1 için y=x için

11 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER y=x 2 için y=x 3 için Burada elde edilen 4 eşitlik beraberce çözüldüğünde ; Bu değerler integralde yerine yazılırsa iki noktalı Gauss- Legendre formülü elde edilir.

12 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Burada görülen sonuç fonksiyonun noktalarındaki değerlerinin toplamının 3. dereceden doğrulukta integral tahminini vermektir. Burada kolaylık amacı ile integral sınırları -1’den 1’e kadar alınmıştır. Bu sadece matematiksel olarak işlemi kolaylaştırmak ve formülasyonu genelleştirmek için yapılmıştır. Bu nedenle verilen integral sınırlarını bu forma dönüştürmek gerekir.

13 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu amaçla basit bir değişken dönüşümü yapılabilir. Orijinal değişken x ve yeni değişken t arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılırsa; Eğer alt sınır x=a, t=-1’e karşılık geliyorsa bu değerler yukarıda yerine yazılırsa elde edilir. Aynı şekilde üst sınırda x=b, t = 1’e karşılık geliyorsa; elde edilir.

14 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu eşitlikler çözülürse a o =(b+a)/2 ve a 1 =(b-a)/2 elde edilir. ve x=a o +a 1 t denkleminde yerine yazılırsa; elde edilir. olur. İntegrali alınacak eşitlikte bu ifadeler yerine yazılarak dönüşüm yapılmış olur. Bu dönüşümler integralin değerini değiştirmeksizin integral aralığının dönüşümü etkili bir şekilde sağlar.

15 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek fonksiyonun a=0 ve b=0,8 aralığında integralini iki noktalı Gauss-Legendre formülü ile hesaplayın ve gerçek integral değeri ile arasındaki bağıl hatayı hesaplayınız. I gerçek = Bu ifadeler fonksiyonda yerine yazılırsa;

16 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER hesaplayarak

17 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER I gerçek = Mutlak hata = E t = I – I g = Bağıl hata = ε t =E t /I g =

18 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Çok noktalı formüller İki noktalı formül yerine çok noktalı formül kullanılabilir. Bu durumda ; n burada nokta sayısıdır. Örneğin üç noktalı formülde katsayılar ve x’ler şöyle olur. c o =  (5/9) c 1 =  (8/9) c 2 =  (5/9) x o = x 1 = 0 x 2 = Bir önceki örneği bu yöntem ile hesaplayalım

19 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek integralinin değerini 2 ve 3 noktalı Gauss- Legendre formülünü kullanarak hesaplayınız. Bu ifadeler fonksiyonda yerine yazılırsa; 2 noktalı Gauss Legendre formülü için

20 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Ödev integralllerini 2 ve 3 noktalı Gauss- Legendre formülünü kullanarak hesaplayınız.


"Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 7.HAFTA İÇERİĞİ 7.HAFTA İÇERİĞİ -Gauss Kareleme." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları