Pİ SAYISI Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi Eski Mısırlılarda Pi Sayısı

... konulu sunumlar: "Pİ SAYISI Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi Eski Mısırlılarda Pi Sayısı"— Sunum transkripti:

1

2 Pİ SAYISI Pi Sayısının Tarihsel Gelişimi Eski Mısırlılarda Pi Sayısı
Mezopotamyalılar ve Pi Sayısı Eski Yunanlılar ve Pi Sayısı Türk- İslam Dünyası ve Pi Sayısı Pi Sayısının İrrasyonelliği Pi Sayısının Üstelliği Pi Sayısının İlk 1000 Basamağı Pi Sayısının Kronolojik Gelişimi

3 Pİ SAYISI HAKKINDA İnsanoğlu; daire dediğimiz kendine özgü düzgün yuvarlak şeklin farkına, tekerleğin icadından çok önceki tarihlerde varmıştır. Bu şekli, diğer insan ve hayvanların göz bebekleriyle gökyüzündeki Güneş ve Ayda görüyordu. Derken elindeki sopa ile kum, gibi düzgün yüzeylere daire çizdi. Görülüyor ki, dairenin bir ucundan öteki ucuna olan uzaklığı(çapı), büyürse çevresi de o kadar büyüyordu. Sonra yine düşündü, Cilalı Taş devri insanı artık soyutlamasını yapmıştı.

4 Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı
Dairenin; çevresinin uzunluğu ile çapının uzunluğu orantılıydı. Çevrenin çapa oranı, daireden daireye değişmiyor, sabit kalıyordu. Demek ki bugünkü gösterim şekli ile bu sabit orana dersek; çevre/çap= sabit. Şeklinde yazılabiliyordu. Bu oranın sabitliği anlaşıldıktan sonra, sabit oran değerinin, sayı olarak belirlenmesi gerekiyordu.

5 Pİ SAYISININ TARİHSEL GELİŞİMİ
Kaynaklar, sayısı için ,gerçek değerin ilk kez Archimides(M.Ö ) tarafından kullanıldığını belirtir. Ancak Archimides’ten önce Eski Mısırlılar da ve Mezopotamya Babil devrinde,Archimides’ten sonra da ,15.yy Türk-İslam dünyasının ünlü matematikçisi Gıyasüddin Cemşid (?-Smerkant1429?) tarafından , sayısı için yaklaşık bazı değerler kullanılmıştır.

6 sembolü Yunan alfabesinin 16. Harfidir
sembolü Yunan alfabesinin 16 . Harfidir. Bu harf aynı zamanda yunanca çevre(çember) anlamıma gelen ‘’perimertier’’ kelimesinin de ilk harfidir.

7 ESKİ MISIRLILAR VE Pİ SAYISI
sayısına ait ilk bilgileri Eski Mısırlılar’da mevcut olduğunu görüyoruz. Mısırlılar ,yüzey ve hacim hesaplamaları yaparken, sayısına ait yaklaşık değer kullanmışlardır.

8 Eski Mısırlılar ‘dan kalma papirüsleri özelikle ,Rhind Papirüsünün değerlendirilmesi sonucu,daire alanı için bugünkü gösterim şekliyle : A = [1-(1/9)]2 .R2         (1)  Formülünü kullandıkları anlaşılmaktadır.(Burada R yarıçapı göstermektedir.) Bu formül, yarıçapı cinsinden düşünüldüğünde, bugünkü gösterim ve düşünce şekline göre: .r2 = (8/9)2 .R2         (2)  Şeklinde yazılabilir.

9 Burada, 1 birim yarıçaplı çember düşünerek, r ve R için bilinen değerleri yazarsak:
= 4.(8/9)2 = (16/9)2     (3)  sonucu elde edilir. Bu durumda; eski Mısırlıların için, 4.(8/9) 2 değerlerini kullanmış oldukları anlaşılmaktadır. (3) değerini, ondalık kesir şeklinde kısaca:   = 4.(8/9)2 = 4.(64/81) = 3,1604  (4)  elde edilir. Fakat için bazen kısaca 3 değeriyle yetinildiği oluyordu. Bu durum da;bugünkü gösterim şekliyle düşünüldüğünde ,Eski Mısırlıların, sayısı kavramı bildikleri ve değerleri için 3,160 değerini Archimides ‘ten yıl bu kadar önce kullanmış oldukları anlaşılmaktadır.

10 sayısının değeri M.Ö yıllarına ait Gize Kasabası yakınlarındaki büyük Keops Piramidi’nin ölçülerine göre hesaplanabilmektedir. Keops Piramidi üzerinde yapılan incelemeler ,bu piramidin inşa edildiği tarihte , bu günkü ölçü birimi ile 232,805 metre kenarlı bir kare tabanı olduğunu ve metre yüksekliğinde bulunduğu izlenmiştir.

11 Tabanın çevresi:(4x232,805)=931,22metre olacağından,bu çevrenin yükseklik değerinin iki katına bölünmesiyle : (931,22)/(2x148,208)=3,14159sayısı beş ondalıklı yakınlıkla; sayısının bilinen değerini vermektedir. Özet olarak belirtecek olursak ; Eski Mısır mühendis ve mimarları, kutsal anıtları olan Büyük Keops Piramidi’nin inşası sırasında, sayısının değerini biliyorlardı. Mühendislik hizmetlerinde; sayısının değerini maharetle kullanmış oldukları sonucu elde edilmektedir.

12 MEZOPOTAMYALILAR VE Pİ SAYISI
sayısı üzerinde Babiller’in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak = 3 değerini kullanıyorlardı. Bazı tabletlerde nin yerine yani =3,125 değerine de rastlanılmaktadır.

13 Sonuç olarak denilebir ki; Eski Mısırlılar’ın Anıt- Piramit yüksekliği için; kare tabana, çevrece eşit bir dairenin çapını almak suretiyle, adeta mistik bir sayı olan irrasyonel sayısına büyük önem verme ihtiyacını duydukları ve bu sayede(dolaylı yoldan) bilime hizmet ettikleri görülmektedir.

14 Aydın Sayılı, adı geçen eserinde , “Mezopotamyalılar da, idealleştirilmiş çemberlerle üçgenlerdeki geometrik münasebetler aracılığıyla, çözümlenen problemlerde teorikleştirilmiş ve soyutlaştırılmış bir durum açıkça mevcuttur.” der.

15 Böyle problemlerde sonuç hesaplanırken için, 3 değerinin kullanılmış olduğunu belirtir. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman =3,125 değerini kullanıyorlardı.

16 Ancak ‘ nin Mısırlılar’ınkinden ve Susa tabletlerinin gösterdiği değerden oldukça daha iyi bir değere, ilk önce Archimides tarafından bulunmuştur. Kaynaklar; Mezopotamyalılar’ın, yamuk alanı hesabı ile silindir ve prizma hacim hesaplarını bildiklerini ve içinde 3 değerini kullandıklarını belirtti. Fakat eski Babil Çağına ait olup, Susa’da bulunmuş olan tabletlerde için kabul edilen değerin yani 3, 125 olduğu anlaşılmaktadır.

17 ESKİ YUNALILAR VE Pİ SAYISI
Kaynaklar sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimides tarafından kullanıldığını belirtir. Archimides ; sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve değerini 3 tam 1/7 ile 3 tam 10/71 arasında tespit etmiştir. Bu iki kesrin ondalık sayı olarak karşılığı 3,142 ve 3,1408 dir. Bu iki değer, sayısının bugünkü bilinen değerine çok yakın olan bir değerdir. Archimides gençlik yıllarında Mısır’da İskenderiye’de uzun süre öğrenim gördüğü bilinmektedir. Bu öğrenim sırasında, Cona ve Erotostanes adlı iki samimi arkadaş edinmiş olur. Archimes’in fikri yapılarının temelinde bu iki matematikçiye ait izlerin bulunduğunu belirtmek gerekir. Aynı zamanda Archimides’in Öklid’den ders aldığı bilinmektedir.

18 TÜRK-İSLAM DÜNYASI VE Pİ SAYISI
15. Yüzyıl Türk-İslam dünyası ünlü matematik ve astronomi alimi Gıyasüddin Cemşid, sayısının değerini, 16 ondalığına kadar ve doğru olarak ilk hesaplamıştır. Gıyasüddin Cemşid’in ,”Risaletül fi Muhitü’l Daire” adlı eserinde, pi sayısı için verdiği değer: = 3, dir. 15. yüzyılda, sayısının, ancak altıncı ondalığa kadar olan değeri bilinmiş olduğuna 16. ondalığa kadar doğru değerinde, batı bilim dünyasında Hollandalı Matematikçi Adriaen Van Rooman tarafından, doğru olarak hesaplandığına göre, Gıyasüddin Cemşid’in bu konuda da zamanın matematiğinden 200 yıl ilerde olduğu ortaya çıkmaktadır.

19 Pİ SAYISININ İRRASYONELLİĞİ
Matematikçiler bekliyorlardı ki, bir yerden sonra basamaklar önceki değerini tekrar etsin, yani devirli bir ondalık sayı halinde yazılabilsin. Ama bu olmadı. Sonunda 1761 yılında, İsviçre’li matematikçi Lambert, ‘nin irrasyonel olduğunu, yani dairenin çevresi ile çapının bir ortak ölçüsü olmadığını ispatladı.

20 Pİ SAYISININ ÜSTELLİĞİ
sayısına ait değerin ,gittikçe daha fazla basamağını hesaplama tutkusununun yanı sıra ,matematikçilerin rüyalarına giren başka bir problemi de ,dairei yi kare yapma problemiydi.bu uğraşıyla kendilerini kaptıranların önderi Anaksagoras’tır.(M.Ö ) Daha sonra kilyoslu Hipokrates(M.Ö.. Yüzyılın ikinci yarısı)yandaki şekilde taranmış ACBA alanının,AOB üçgenininalanına eşit olduğunu gösterir.

21 1775’te Euler,1794’te Legendra nin belki de cebirsel bir sayı olmadığına ,üstel bir sayı olması gerektiğine ilişkin inançlarını belirtirler.fakat ‘inin üstel olduğunu kanıtlanması için 100 yıl beklendi. Sonunda yılında Alman matematikçi Lindermann ‘nin üstel olduğunu hesapladı.

22 Pİ SAYISININİLK1000 BASAMAĞI
Aşağıda pi sayısının ilk 1000basamağı verilmiştir. 3,  

23 Pİ SAYISININ KRONOLOJİK GELİŞİMİ
M.Ö : Eski Mısırlılar    = (16/9)2 = değerini kullanıyorlar. M.Ö : Mezopotamyalılar Babil devrinde   =  3,125 değerini kullanıyorlar. M.Ö : Çinliler  = 3 değerini kullanıyorlar. M.Ö. 550 : Kutsal Kitapta (I. Krallar 7 : 23) ,   = 3 anlamına geliyor M.Ô. 434 : Anaksagoras daireyi kare yapmaya girişir. M.Ô. 300 : Yılları, Archimides     nin  olduğunu buluyor. Bundan başka yaklaşık olarak   =211875/67441 kesrini de buluyor. M.S. 200 : Yıllarında, Batlamyos    = (377/120) = değerini kullanıyor. M.S. 300 : Yılları, Çüng Hing   =  √10 = değerini kullanıyor. M.S. 300 : Yılları, Vang Fau   = (142/45) = değerini kullanıyor. M.S. 300 : Yılları, Liu Hui   = (471/150) = 3.14 değerini kullanıyor. M.S. 500 : Yılları, Zu Çung-Çi < < olduğunu buluyor. M.S. 600 : Yılları Hintli Aryabhatta    = (62832/2000) = değerini kullanıyor.

24 M. S. 620 : Hintli Brahmagupta = (m/10) değerini kullanıyor
M.S. 620 : Hintli Brahmagupta   = (m/10) değerini kullanıyor. Bazı kaynaklarda da Brahmagupta'nın   için   değerini kullandığı belirtilir. M.S : İtalyan Fibonacci   =   M.S : Semankant Türkü Giyasüddin Cemşid el Kaşi,  'yi 14 basamağa kadar elde ediyor. Bu değer bugünkü kabul edilen değere göre doğrudur. M.S : Valentinus Otho   = (355/113) = olduğunu buluyor. M.S : Hollanda'lı Adriaen van Rooman  'yi 15 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : Hollandalı Lodolph ve Cevlen 'yi 35 basamağa kadar hesaplıyor. (Bu nedenle Almanya'da    sayısı, Lodolph sayısı diye de bilinir.) M.S : Abraham Sharp ‘yi 72 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : John Machin    ‘yi 100 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : Fransız De Lagn ‘yi 127 basamağa kadar hesaplıyor.

25 M.S. 1737 : Leonard Euler'in benimsemesiyle sembolü evrensellik kazanıyor.
M.S. 1761: lsviçreli Johaun Heinrich Lambert  ‘nin irrasyonelliğini kanıtlıyor. M.S : İsviçre'li matematikçi, L. Euler  ’nin üstel olabileceğine işaret ediyor. M.S : Fransız Adrien-Marie Legendre  ’nin ve  2 nin irrasyonelliğini kanıtlıyor. M.S : Vega   ’yi 140 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : Avusturyalı Schulz von Strassnigtzky  ‘yi 200 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : Richter   ’yi 500 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : lngiliz W. Shanks   ’ yi 707 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : Alman Ferdinan Lindemann   ’ nin üstel bir sayı olduğunu kanıtlıyor. M.S : İlk bilgisayar ENİAC   ’yi 2035 basamağa kadar hesaplıyor. M.S : F. Genuys tarafından, Chiffers I de yayınlanan makalede, sayısının değeri nci ondalık basamağa kadar hesaplanmıştır. 

26 BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİM .