Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 5. Hafta: Olasılık 2013.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 5. Hafta: Olasılık 2013."— Sunum transkripti:

1 İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 5. Hafta: Olasılık 2013

2  İki ya da daha çok sayıda değişik sonuca yol açan bir sürecin gözlendiğini, bu sonuçlardan hangisinin gerçekleşeceği konusunda önceden bir belirsizlik oldu­ ğunu düşünelim. Aşağıda bazı örnekler verilmiştir:  Yazı-tura atılması.  Zar atılması.  Bir tüketiciye iki maldan hangisini yeğlediğinin sorulması.  Bir hesaplar kümesinden bir kalemin bir denetmence incelenmesi.  Pay senetleri fiyat endeksindeki günlük değişmenin gözlenmesi.  Bir kimyasal süreç sonunda üretilen bir parti kimyasal ürünün, izin verilen oranın üstünde bir kirlilik içerip içermediğinin sınanması.  Bu örneklerin her biri bir rassal deneme içerir.  Bir rassal deneme, hangisinin gerçekleşeceği konusunda belirsizlik bulunan en az iki sonuca yol açan bir süreçtir.  Yukarıdaki ilk üç denemenin her birinde, ortaya çıkabilecek sonuçların be­lirlenmesi olanaklıdır.  Eğer bir para havaya fırlatılırsa, sonuç ya “yazı”dır ya “tura”. Bir zar atıldığında sonuç, 1,2,3,4,5,6 sayılarından biri olur.  Bütün bu sonuçlardan oluşan küme, olabilecek her sonucu kapsar, rassal denemenin örneklem uzayı diye anılır. Rassal Deneme, Sonuç, Olay

3  Rassal bir denemenin olanak içindeki bütün sonuçlarına temel sonuçlar denir ve bütün temel sonuçlar kümesi de örneklem uzayı adını alır.  Bir zar atıldığında temel sonuçlar 1, 2, 3, 4, 5, 6’dır. Öyleyse örneklem uzayı şöyledir:  S=[ 1,2,3,4,5,6]  Burada altı tane temel sonuç olduğunu görüyoruz. Bunlardan herhangi ikisi aynı anda gerçekleşemez, ama biri zorunlu olarak gerçekleşir.  ÖRNEK  Bir yatırımcı menkul değerler borsasını izlemekte, özellikle de Dow-Jones sanayi endeksine ilgi duymaktadır. Şu iki sonucu ele alalım: “Dow-Jones Endeksi bugünün kapanışında, dünkü kapanıştakinden daha yüksek olacaktır.”  “Dow-Jones Endeksi bugünün kapanışında, dünkü kapanıştakinden daha yüksek olmayacaktır.”  Bu iki sonuçtan birinin gerçekleşmesi zorunludur, ama aynı anda gerçekleşemezler. Öyleyse bu iki sonuç birlikte bir örneklem uzayı oluştururlar. Rassal Deneme, Sonuç, Olay

4  Çoğu zaman ilgi odağı, temel sonuçların kendileri değil de örneklem uza­ yındaki sonuçların bir altkümesidir.  Sözgelimi, bir zar atıldığında ilgilenilen şey zarın çift sayı göstermesi olabilir.  Bu da, 2, 4, 6 sonuçlarından biri geldiğinde gerçekleşir.  Temel sonuçların bu tür kümelerine olay denir.  Bir olay, örneklem uzayındaki temel sonuçların bir altkümesidir.  Rassal denemede kendisini oluşturan temel sonuçlardan biri ortaya çıkarsa, olay gerçekleşmiştir de­nir. Rassal Deneme, Sonuç, Olay

5 Temel Kavramlar Olasılık

6 S örneklem uzayındaki bir olay A olsun. S ’de yer alan ama A ’da yer almayan te­mel sonuçlar kümesine A’nın bütünleyicisi denir. A’ ile gösterilir. A’ A S

7  Tek bir olayın sonuçları ile ilgili ihtimaller basit olasılıklardır.  Mesela, yarın yağmur yağması ihtimali, bir sınıftan tesadüfi olarak seçilen bir öğrencinin gözlüklü olması ihtimali gibi ihtimaller ayrı ayrı düşünüldüğünde basit bir ihtimaldir.  İki veya daha fazla olayın birlikte vuku bulması (gerçekleşmesi) ihtimali ise bileşik bir ihtimaldir.  Aynı şekilde ikiden fazla olaydan bazılarının bazıları ile birlikte vuku bulması ihtimali de bileşik ihtimaldir.  Bileşik ihtimal hesaplarına konu olan olaylar iki gruba ayrılır: a) Bir arada meydana gelebilen olaylar, b) Birbirini engelleyen olaylar. Basit ve Bileşik Olasılıklar

8  İstatistiki bir olayın mümkün olan bütün sonuçlarının oluşturduğu sete örnek uzayı denir ve S ile gösterilir.  Örnek uzayındaki herbir sonuç, sözkonusu örnek uzayının bir elemanıdır.  Örnek uzayı sınırlı sayıda elemana sahipse, karışmamaları için elemanlar birbirlerinden virgülle ayrılıp parantez içerisinde gösterilebilir.  Madeni bir para atıldığında mümkün iki sonuçla karşılaşacağımız için örnek uzayı, S= { Y, T } şeklinde yazılabilir.  Rasgele seçilen bir ürün ortalama gramajdan eksik veya fazla olabilir. Bu durumda örnek uzayı, S = {E,F} şeklindedir. Örnek Uzayı

9  Örnek uzayını başlıca iki yolla gösterebiliriz. Kontenjans Tabloları ve Venn Diyagramları  İncelenecek olayları çap­raz sınıflandırma yoluyla kontenjans tablolarında gösteririz.  Mesela, memurlar arasında kredi kartı kullanımını yaygınlaştırmaya çalışan kredi kartı şirketleri bir yıl sonunda memurlar arasından tesadüfi olarak 200'ünü seçerek bunlara banka kredi kartı ve/veya seyahat ve eğlence kredi kartı kullanıp kullanmadıklarını sormuş olsunlar.  Alınan cevaplar aşağıdaki kontenjans tablosunda gösterilebilir: Kontenjans Tabloları ve Venn Diyagramları Seyahat ve Eğlence Kredi Kartı Banka Kredi kartıEvetHayır Evet60 Hayır1565

10 Venn Diyagramları BE

11 Toplama Kuralı

12 Bir müşteri P(A) = 0.15 ihtimalle yeşil ve P(B) =0.23 ihtimalle beyaz otomobil satın alacaktır. Sözkonusu müşterinin bu arabalardan birini satın alması ihtimali, Örnek 1

13 Örnek 2

14 Örnek 3

15 Bağımsız Olaylar Çarpma Kuralı B A

16 Bağımlı Olaylar (Koşullu Olasılık) Bir A olayının olasılığı ile ilgilendiğimizi varsayalım ve A’dan farklı bir B olayının gerçekleşmiş olduğu ek bilgi olarak verilmiş olsun. ƒA’nın olasılığının, B hakkındaki ek bilgiden nasıl etkilendiğini bilmek istiyoruz.

17 Bir çikolata üretim partisinde 3 kusurlu ve 17 kusursuz çikolata bulunmaktadır. İmalattan tesadüfi olarak iki çikolatayı satın alan bir müşterinin aldığı mamüllerin ikisinin de kusurlu olma olasılığı % kaçtır? Örnek 4

18 Çözüm 4

19 Örnek 5

20 Çözüm 5

21 Bir fabrikada üretilen parçalardan kusursuz 40 tanesi ve kusurlu 10 tanesi bir depoya konuyor. Çekilen yine yerine koyulmaksızın sırayla rastgele iki parça seçildiğinde her iki parçanın da kusurlu olması olasılığı nedir? Örnek 6

22 Çözüm 6

23 Bir hamburgerci zincirinin %75’i hardal, %80’i ketçap, %65’i her ikisini de kulllanmaktadır. Bir ketçap kullanıcısının hardal, bir hardal kullanıcısının ketçap kullanma olasılıkları kaçtır? Örnek 7

24 Çözüm 7

25 Bir fabrikada bir günde üretilen 1000 ürünün 400’ü A ve 600’ü B makinas›nda yapılmaktadır. A’da üretilenlerin %1’i ve B’de üretilenlerin %2’si kusurlu üründür. Bu fabrikada üretilen ürünlerden rassal olarak biri çekilmişve kusurlu oldu¤u görülmüştür. Buna göre bu kusurlu ürünün A akinasında üretilen bir ürün olması olasılığınedir? Çalışma Sorusu

26

27 Bayes Teoremi

28 Örnek 8

29 Çözüm 8

30 Bir yayınevi bir muhasebe kitabı için, ilgili muhasebe dersini veren bütün öğretim üyelerinin % 80 ’ine tanıtım malzemesi gönderiyor. Bunları alan öğretim üyelerinden % 30 ’u, bunları almayanların ise % 10 ’u bu kitabı okutmaya karar veriyor. Bu kitabı okutan bir öğretim üyesinin tanıtım malzemesi almış olma olasılığı nedir? Örnek 9

31 Çözüm 9

32 (Sanayi) Cıvata üretilen bir fabrikada toplam üretimin 30/100 ü A, 30/100 ü B, 40/100 ü C makineleri tarafından yapılmaktadır. Bu makinelerin, sırasıyla üretimlerinin 1/100, 3/100 ve 2/100 ü kusurlu cıvatalardır. Bir günlük üretim sonunda bir cıvata seçiliyor ve kusurlu olduğu görülüyor. Bu cıvatanın A makinesi, B makinesi, C makinesinde üretilmiş olması olasılığı nedir? Örnek 10

33 Çözüm 10

34  Bir borsa analisti çok sayıda şirketin pay senetlerinin geleceğini değerlen­dirmiştir. Ertesi yıl bu pay senetlerinin başarımı incelenmiş, %25’inin pazar or­talamasının çok üstünde, %25’inin çok altında, %50’sinin de ortalama kadar ba­şarım gösterdikleri anlaşılmıştır. Pazarın çok üstünde başarılı olan pay senetle­rinden %40’ı, pazar kadar başarılı olanlardan %20’si ve pazarın çok altında kalanlardan %10’u analist tarafından “alınmaya değer” bulunanlardandır. Analist tarafından “alınmaya değer” bulunan bir pay senedinin pazar ortalaması­nın çok üstünde başarı gösterme olasılığı kaçtır? Örnek 11

35 Çözüm 11

36 İhtimal Dağılım Tablosu X………….Toplam P(X)………….1

37 Örnek 12  Bir fabrikanın imal ettiği civataların %20’si kusurludur. Fabrikanın imalatından şansa bağlı olarak 3 civata seçildiğinde kusurlu civata sayısına ait ihtimal dağılım tablosunu düzenleyelim.

38  L, kusurlu mamul ve S, kusursuz mamul olmak üzere seçilecek bir mamulun kusurlu olması ihtimali, P(L) = 0.20 ve kusursuz olması ihtimali, P(S) = = 0.80’dir.  Bununla birlikte üçer birimlik mamüller seçildiği için kusurlu mamul dağılımı belirlenirken; P(X = 0), üç mamulden hiçbirisinin kusurlu olmaması ihtimalini, P(X = 1), üç mamulden birisinin kusurlu olması ihtimalini; P(X = 2), 3 mamulden ikisinin kusurlu olması ihtimalini; P(X = 3), üç mamulün üçünün kusurlu olması ihtimalini gösterir. P(X = 0) = P(SSS) = (0.8)(0.8)(0.8) = 0,512 P(X = 1) = P(LSS) + P(SLS) + P(SSL) = 3((0.2)(0.8)(0.8) )= 0,384 P(X = 2) = P(LLS) + P(LSL) + P(SLL) = 3( (0.2)(0.2)(0.8)) = 0,096 P(X = 3) = P(LLL) = (0.2)(0.2)(0. 2) = 0,008 Çözüm 12 X02Toplam P(X)0,5120,3840,0960,0081

39 Beklenen Değer

40 Örnek 13 X02Toplam P(X)0,5120,3840,0960,0081

41 1. Kural Önemli Kurallar 2. Kural

42 Önemli Kurallar 3. Kural  Sıra önemli olduğunda n adet olay,  n! = n.(n-l)…….. (1) yolla vuku bulabilir.  n!, n faktöriyel diye okunur.  0!, 1 ’e eşittir.  Mesela 6 kitap  6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 farklı dizilişle rafa yerleştirilebilir. 4. Kural: Permutasyon kuralı

43 Önemli Kurallar 5. Kural: Kombinasyon kuralı


"İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 5. Hafta: Olasılık 2013." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları