Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

Sunum yükleniyor. Lütfen bekleyiniz

İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları.

Benzer bir sunumlar


... konulu sunumlar: "İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları."— Sunum transkripti:

1 İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları 2013

2 Kesikli Olasılık Dağılım Türleri Kesikli Olasılık Dağılımları Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Hipergeometrik Dağılım

3  Bir X olayının meydana gelmesinde iki durum söz konusu olduğu zamanlarda bu olayın binom dağılımı gösterdiği söylenir.  Başarılı-başarısız, yazı-tura, kız-erkek vs. iki sonuçlu olaylar binom dağılımına uyarlar.  Binom dağılımında başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı ise q=1-p ‘dir.  Gerçekte başarı denilen kavram, üzerinde durulan olayın meydana gelmesi, başarısızlık ise gelmemesi durumudur.  Mesela, bir para atıldığında yazı gelme olasılığı üzerinde duruyorsak yazı gelme olasılığı p, gelmeme olasılığı ise 1-p=q olarak gösterilir.  Bu dağılım Bernoulli dağılımı diye tanınır.  Üzerinde durulan olayın n denemede x defa meydana gelme olasılığının oluşturduğu dağılıma Binom dağılımı denir.  Binom dağılımının olasılık fonksiyonu şu şekildedir. 1- Binom Dağılımı

4  X değerleri 0, 1, 2,….. gibi kesikli değerler alabileceğinden ve sadece bu değerler için nokta olasılıkları hesaplanabileceğinden binom dağılımı kesikli bir dağılımdır. 1- Binom Dağılımı

5  Bir sigortacı sigorta poliçesi satmak için farklı firmalarla görüşmeler yapmaktadır. Satış yapma olasılığı 0,4 olduğunu düşünelim. Bu kişinin 5 farklı firma ile görüştüğü bilinmektedir. Bu görüşmelerden 2 tanesinin başarılı geçme olasılığı nedir? Örnek 1

6 Çözüm 1

7 Binom Dağılımının Özellikleri

8 1. Bir proseste üretilen ürünlerin %15’inin kusurlu olduğu biliniyor. Bu prosesten şansa bağlı olarak alınan 3 birimlik bir ürün örneğinde; a) 2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir? b) En az 2 ürünün kusurlu olma olasılığı nedir? Örnek 2

9 Çözüm 2

10  Bir toplantıya katılan 20 katılımcıya akşam yemeği çağrıları gönderilmiştir. Davet edilen her katılımcı için daveti kabul olasılığı 0,9 ‘dur.  Bu daveti en çok 17 kişinin kabul etme olasılığı nedir? Örnek 3

11  Rassal değişken X daveti kabul sayısını göstersin.  O zaman X= 17, n= 20, ve p=0,9 olan bir binom dağılımına uyar. Çözüm 3

12  Cıvata üretimini yapan bir firmada kalite kontrol mühendisi üretilen ürünlerin kalitesini denetlemektedir. 20 adetlik cıvata kutusunda 5 adet civatanın kusurlu olduğu bilinmektedir. Bu kutudan 4 adet cıvata çekildiğinde; a) Bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir? b) En az bir civatanın kusurlu olma olasılığı nedir? Örnek 4

13 Çözüm 4

14 Yeni geliştirilen bir füze, hedefin 50 m yakınına düştüğünde hedefi imha etmektedir. Füzenin hedefi imha etme olasılığı 0.40’tır. Prototip olarak üretilen 5 tane füze yapay bir hedefe atılıyor. Buna göre, hedefe atılan a) 5 füzeden 1 tanesinin hedefi imha etme olasılığını bulunuz. b) 5 füzeden en az 4 tanesinin hedefi imha etme olasılığını bulunuz. Örnek 5

15 Çözüm 5 Bu örnekte, p: Hedefin imha edilme sayısı p olarak tanımlanırsa, n=5 ve p=0.40 olduğu görülür.

16  Poisson dağılımı, olasılık ve istatistik teorisinde yaygın olarak kullanılan kesikli bir dağılımdır.  Bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılır.  İlgilenilen aralık uzunluğu, bir “birim” olarak ifade edilirse zamanla ilgili aralıklar “birim zaman”, uzayla ilgili aralıklar ise “birim uzay” olarak ifade edilir.  Birim zamana örnek olarak; Bir hafta, altı ay, bir yıl  Birim uzaya örnek olarak; Bir metre (uzunluk), bir dönüm (alan), 1/2 metre küp (hacim) v.b. verilebilir.  Aşağıda, Poisson dağılımı kullanılarak modelleme yapılabilecek bazı olaylara örnekler verilmiştir. • Dünyaya, bir haftada (birim zaman) düşen göktaşı sayısı. • Bir kavşakta, altı ayda (birim zaman) meydana gelen trafik kazası sayısı. • Bir maden ocağında, bir yılda (birim zaman) meydana gelen ve yaralanmayla sonuçlanan kaza sayısı. • Bir metre (birim uzunluk) uzunluğunda, bir çelik halattaki üretimden kaynaklanan hata sayısı. • 2 dönüm (birim alan) büyüklüğünde bir domates serasındaki hastalıklı fide sayısı. • 1/2 metreküp (birim hacim) büyüklüğünde bir akvaryumdaki hasta Japon balığı sayısı.  Örneklerden de anlaşılabileceği üzere, Poisson dağılımı nadir (seyrek) gerçekleşen olayların modellenmesinde kullanılan bir dağılımdır. Poisson Dağılımı

17

18 Bir çağrı merkezinde her bir dakikada 4 çağrı alındığını düşünelim. a) 2 dakikalık bir zaman aralığında 6 adet çağrı gelme olasılığı nedir? b) 3 dakika içinde en az 3 çağrı gelme olasılığını bulunuz. Örnek 6

19 Çözüm 6

20 Örnek 7

21 Çözüm 7

22  Bir otomobil galerisine ayda ortalama 150 müşteri gelmektedir. Herhangi bir günde dükkanını açmayan galeri sahibi % kaç ihtimalle en az 3 müşteriyi kaçırmıştır? Örnek 8

23 Çözüm 8

24 Örnek 9

25 Çözüm 9

26 Binom Dağılımının Poisson Yakınsaması

27 Bir analist bütün küçük şirketlerin %3.5 ‘inin gelecek yıl işas edeceğini tahmin etmektedir. Bu tahminin doğru olduğu varsayımıyla 100 küçük şirketten oluşan rassal bir örneklemde gelecek yıl en az 3 işas olması olasılığını tahmin ediniz. Örnek 10

28 Çözüm 10

29  Binom dağılımı ve hipergeometrik dağılım aynı tür olaylara uygulanır.  Fark örneklemenin şeklinde ortaya çıkar.  Binom dağılımında sınırsız anakütleden iadesiz çekilişler veya sınırlı anakütleden iadeli çekilişler söz konusudur.  Bu yüzden binomdaki p değeri çekilişten çekilişe değişim göstermez.  Hipergeometrik denemede ise sınırlı anakütleden iadesiz çekilişler söz konusudur.  Bir başka ifade ile binom olaylarında çekilişler birbirlerinden bağımsız iken hipergeometrik olaylarda bir sonraki çekiliş bir öncekine bağımlıdır.  İstatistiki kalite kontrol çalışmalarında en elverişli olasılık dağılımı hipergeometrik dağılımdır.  Hipergeometrik dağılım formülü yardımıyla bir X olayının olasılığı; Hipergeometrik Dağılım n: örnekteki birim sayısı N: anakütledeki birim sayısı x: Örnekte üzerinde durulan birim sayısı A: anakütlede üzerinde durulan birim sayısı Hibir şekilde x değeri A’dan büyük olamaz.

30 Hipergeometrik Dağılımın Özellikleri

31 2 istatistik, 3 bilgisyar ve 4 yöneylem hocasından 3 kişilik sayısal yöntemeler bilim jürisi seçilecektir. Jüride en az 1 istatistik hocası bulunma ihtimalini hesaplayınız. Örnek 11

32 Jüriye girebilecek toplam hoca sayısı: N=9 Jüride yalnız 3 hoca olabileceği için n=3 İstatistik hocasının jüride bulunma ihtimali araştırıldığı için A=2 Buna göre 2 istatistik hocasından 1 veya 2 ‘sinin jüride bulunma ihtimali ; Çözüm 11

33  Not ortalaması 85’in üzerinde olan 4 iktisat ve 7 işletme bölümü öğrencisinden 3 kişilik bir temsilci grubu oluşturulacaktır. Grupta en fazla bir iktisatçı bulunması ihtimali nedir? Örnek 12

34 ÇÖZÜM: N=11 n=3 A=4 Çözüm 12


"İSTATİSTİK VE OLASILIK I Öğr. Gör. Dr. Berk Ayvaz İTİCÜ Mühendislik ve Tasarım Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü 6. Hafta: Kesikli Olasılık Dağılımları." indir ppt

Benzer bir sunumlar


Google Reklamları