TAGUCHİ DENEY TASARIMLARI ıı.

Deney Tasarımlarında Faktör Etkileşimleri Önceki dersimizde sekiz deney kombinasyonlu bir deney tasarımı ile üç faktörün deney sonuçları üzerine olan etkilerinin nasıl belirleneceği anlatıldı. Rastsal Deney Sırası Standart Gözlenen Cevap değerler Formül F Karıştırıcı Hızı S Sıcaklık T 1 A 2 B 60 80 70 82 - 324 334 3 4 317 5 366 6 371 7 360 8 362 TOPLAM 2758 1299 1459 1395 1363 1374 1384 DEĞER SAYISI 16 ORTALAMA 172.4 162.4 182.4 174.4 170.4 171.8 173.0 ETKİ 20.0 -4.0 1.2 TABLO 3.19 Tekrarlı deneyler için cevap tablosu örneği

Ancak orada faftörler arası bir etkileşim olmadığı varsayılmıştır Ancak orada faftörler arası bir etkileşim olmadığı varsayılmıştır. Ancak bazen faktörlerin birbirini etkiledikleri durumlar söz konusudur. Mesela bir oksidantın deney sonuçları üzerine olan etkisi düşük sıcaklıklarda yüksek sıcaklıkta olduğundan çok daha fazla olabilmektedir. İşte bir faktörün sonuç üzerine olan etkisi diğer bir faktörün seviyesinden etkileniyorsa bu durumda bu iki faktör arasında etkileşim var denilmektedir. Bu bölümde faktörler arasında olabilecek etkileşimlerin nasıl anlaşılacağı ve nasıl belirleneceği konusu üzerinde durulacaktır.

ŞEKİL 3.21 Etkileşm etkisinin olmadığı durumun grafiksel gösterimi

Şekil 3. 22 iki faktör arasındaki pozitif etkileşimi göstermektedir Şekil 3.22 iki faktör arasındaki pozitif etkileşimi göstermektedir. Yani A faktörünün 2. seviyesinde B faktörü A faktörünün 1.seviyesindekine nazaran daha büyük bir pozitif etki (veya daha az negatif) bir etkiye sahiptir. Burada iki faktör arasındaki etkileşim şöyle hesaplanmaktadır. Önce B faktörünün A faktörünün 1. seviyesindeki etkisini (28–25=3) ve sonra 2. seviyesindekini etkisi (43–32=11) olarak hesaplanmaktadır. İki faktör arasındaki etkileşim de B faktörünün, A faktörünün her iki seviyesinde hesaplanmış etkilerinin farkının yarısı alınarak bulunmaktadır. Yani etkileşim değeri (11-3) / 2 = 4 olarak hesaplanmaktadır.

ŞEKİL 3.22 Pozitif AB etkilelişimi etkisi

Şekil 3. 23 iki faktör arasındaki negatif etkileşimi göstermektedir Şekil 3.23 iki faktör arasındaki negatif etkileşimi göstermektedir. Burada B faktörünün A faktörünün 1. seviyesindeki etkisi 28-25=3 olarak 2. seviyesindeki etkisi ise 32-43 = - 11 olarak, iki faktör arasındaki etkileşim ise (-11-3) / 2 = -7 olarak hesaplanmaktadır.

ŞEKİL 3.23 Negatif AB etkileşiminin gösterilmesi

Ortogonal deney tasarımları ortogonal olmayan (deneylere katılımda her faktöre eşit şans tanınmayan) deney tasarımlarında görülebilecek bir faktörün etkisinin suni olarak büyük veya küçük hesap edilmesine fırsat vermez. Bununla beraber ortogonal deney tasarımları faktörler arsında olabilecek olası bir etkileşimden kaynaklanan ekstra bir etkinin varlığını bilmemizde her zaman yardımcı olamazlar. Yani, normalde bir faktörün etkisi o faktörün düşük ve yüksek seviyelerinde elde edilmiş sonuçların ortalamaları arasındaki farkı gösterir. Fakat kabul edelim ki B faktörünün düşük seviyesinde elde edilmiş olan A faktörünün ortama etkisi, B faktörünün yüksek seviyesinde yapılmış olanı ile farklıdır. Bu durumda A faktörünün ortalama etkisinin hesabında etkileşimin etkisi de bulunacak ve bu kolaylıkla fark edilemeyecektir.  

Daha önce bir faktörün sonuç değer üzerine (response - cevap) olan etkisi o faktörün yüksek seviyesinde elde edilmiş sonuçların ortalama değerleri ile düşük seviyesinde elde edilmiş olan sonuçların ortalama değerleri hesaplanarak elde edileceği ifade edilmişti. Bu farklı seviyelerde elde edilen ortalama sonuç değerler arasındaki farka da ETKİ denilmişti. Faktörler arasındaki etkileşimin etkisi de aynı şekilde hesaplanır.

Mesela: A ve B gibi iki faktör arasındaki etkileşimin (interaction) sonuç üzerindeki etkisini bulabilmek için önce B faktörünün yüksek seviyesi kullanıldığı durumda A faktörünün etkisi hesaplanır. İkinci olarak B faktörünün düşük seviyesi kullanıldığı durumda A faktörünün etkisi hesaplanır. Üçüncü olarak A faktörünün bu etkileri arasındaki fark alınır. Hesaplanan bu etkilerin farkının yarısı A ve B faktörleri arasındaki etkileşim (etkisi) olarak adlandırılır.

Bu hesaplama tarzı biraz karışık gibi gözükebilir Bu hesaplama tarzı biraz karışık gibi gözükebilir. Bu bakımdan iki faktör arasındaki etkileşimin etkisini daha iyi anlayabilmek için iki faktör arasındaki etkileşimin geometrik yorumuna bakmak yerinde olacaktır. Şekil 3.21 bu geometrik yorumu göstermektedir. A faktörü 1. seviyesinde kaldığında; B faktörü 1. seviyesinden 2. seviyesine geçtiğinde deney sonucu 6 birim artarak 25 değerinden 31 değerine ulaşmaktadır.

A faktörünün 2. seviyesinin kullanılarak yapılan deneyinde ise B faktörü 1. seviyesinde iken 36 sonuç değeri alınırken B faktörünün 2 seviyesine geçirilerek yapılan deneyinde ise 42 sonuç değeri elde edilmektedir. Yani elde edilen sonuç değer bir önceki duruma nazaran yine 6 birim artmaktadır. Bu durumda B faktörünün sonuç değerler üzerideki etkisi A faktörünün her iki seviyesi için aynı olmaktadır. Bu durum Şekil 3. 21 de görülmekte olup buradaki iki paralel çizgi iki faktör arasında bir etkileşimin olmadığına işaret etmektedir.

Etkileşim etkilerinin hesaplanması için algoritma   Etkileşimin etkisini basitçe hesaplamak için G.E.P. Box and J.S.Hunter (1961) tarafından verilen bir algoritma kullanılabilir. Bunun için; 1. 1 ve 2 notasyonu kullanarak oluşturulmuş dizayn matrisindeki bütün 1 ler -1 ler ile ve bütün 2 ler de 1 ler ile değiştirilir. 2. A ve B faktörlerine ait kolonlara yerleştirilen bu yeni notasyonlar karşılıklı olarak çarpılıp bu değerler AB ile gösterilecek olan yeni bir kolona yerleştirilir. 3. Bu işlemi A ve C kolonları ile B ve C kolonları için tekrarlanır. 4. A kolonundaki değerle y (sonuç-cevap) kolonundaki değerleri karşılıklı olarak çarpılır. Elde edilen bu değerler toplanır ve toplamaya giren değer sayısı olan 4 e bölünür. Bulunan bu değer A faktörü için ana (temel-esas) etkidir. Bu adım, A faktörünün yüksek (+) ve düşük (-) seviyelerinde elde edilen sonuç değerlerin hesaplanması ve sonra A faktörünün yüksek seviyelerinde elde edilen sonuçların ortalaması ile düşük seviyesinde elde edilmiş sonuçların ortalamaları arasındaki farka eşdeğerdir.

4 nolu adım B ve C ana etkilerinin belirlenmesi için de tekrar edilir. 6. AB kolonundaki değerlerle y sütununda buna karşılık gelen değerleri çarpılır. Elde edilen bu değerler toplanır ve toplamaya giren değer sayısı olan 4 e bölünür. Bulunan bu değer AB etkileşim etkisinin değeridir. 7. AC ve BC etkileşimlerinin etkisini hesaplamak için adım 6 ı tekrarlanır.

A, B ve C ana etkileri ile AB, AC ve BC etkileşim etkilerine ait kolonlardaki -1 ve 1 değerleri Tablo 3.24 de gösterilmektedir. AB, AC ve BC etkileşim kolonundaki -1 ve 1 değerlerinin A, B ve C kolonundaki -1 ve 1 değerlerinin karşılıklı olarak çarpımı ile (AB = A x B) elde edildiği bu tablodan görülebilir. Tablo 3.24 den istifade ile hazırlanan bir sonuç (cevap) tablosu Tablo 3.25 de verilmekte olup bu tablonun son kolonu daha sonra açıklanacaktır. Tablo 3.25 de her bir faktör ve her bir etkileşim için her birine sonuç değerlerinin yazılacağı iki kolon oluşturulmuştur. Bu iki kolondan birisi -1 lere diğer kolon da 1 lere karşılık gelmektedir. Yukarıda anlatılan 4. adımdan 7. adıma kadar olan hesaplamalar bu sonuç tablosunun doldurulması ile gerçekleştirilir. İleride verilen örnekte bunun nasıl yapılacağı gösterilmektedir.

Örnek 3.3   Tablo 3.26 da gösterilen 3 faktörlü bir deneye ait deney sonuçları ile ilgili veriler göz önünde bulundurarak bu verilerle Tablo 3.27 yi oluşturulmuştur. Bu tabloda genel ortalama ve ana etki değerleri hesaplanmış bulunmaktadır. Tablo 3.28 da ise gözlenen bu sonuç verileri iki faktörlü etkileşimin kolonlarına yerleştirilmiş ve etkileşim etkileri hesaplanmıştır. Hesaplanan bu ana ve etkileşim etkileri Şekil 3.29 da grafiksel olarak görülmektedir. Bu tablo ve şekilden anlaşıldığı gibi sonuçlara etkili olan temel etkiler B faktörüne ait olan ana etki ile A ve B faktörleri arasındaki AB etkileşiminin C faktörlerin ana etkileri az ve nihayet AC ve BC etkileşimlerinin etkilerinin ihmal edilebilir olduğu görülmektedir. Şimdi bu örnek için elde edilmiş deney sonuçlarından elde edilen faktörlerin ana ve etkileşim etkilerini kullanarak en büyük (maksimum) sonucu verecek faktör seviyeleri etkisidir. A ve C faktörlerin ana etkileri az ve nihayet AC ve BC etkileşimlerinin etkilerinin ihmal edilebilir olduğu görülmektedir.

Şimdi bu örnek için elde edilmiş deney sonuçlarından elde edilen faktörlerin ana ve etkileşim etkilerini kullanarak en büyük (maksimum) sonucu verecek faktör seviyelerikombinasyonu bulunmak istensin. Başka bir deyişle deneylerde en büyük sonuç değerini elde etmek için hangi faktörlerin hangi seviyelerinin kullanılması gerektiği bilinmek istensin. Faktörler arasındaki etkileşim önemsenmeyip faktörlerin sadece ana etkileri göz önünde bulundurulduğunda deneylerde beklenen en büyük sonuç değerin, A ve B faktörlerinin yüksek seviyelerinin, C faktörünün ise düşük seviyesinin kullanılması durumunda elde edilebileceği beklenir. Bağımlı değişken durumundaki bu sonuç değerlerin gözlenen sekiz değeri için genel ortalama değeri dir. Bu durumda tahmin edilen en büyük sonuç değer;

(genel ortalama) + (A faktörünün katkısı) + (B faktörünün katkısı) + (C faktörünün katkısı) 35.23 + (37.03 - 35.23) + (41.33 – 35.23) + (36.85 – 35.23) = 44.75 olarak beklenir.

Standart sıra ANA ETKİLER ETKİLEŞİM ETKİLERİ A B C AB AC BC 1 - 1 2 3 4 5 6 7 8 TABLO 3.24 Etkileşim etkilerinin seviyeleri

TABLO 3.25 Rastsal Deney Numarası Standart Gözlenen Cevap Değerler A B AC BC ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 TOPLAM DEĞER SAYISI ORTALAMA ETKİ TABLO 3.25

Deney numarası Faktör Seviyeleri Cevaplar (Sonuçlar) A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 24.7 21.4 44.1 43.5 38.4 32.0 40.2 37.5 TABLO 3.26 Cevap veya sonuç değerlerin gösterildiği bir deney tasarımı matrisi

TABLO 3.27 . TABLO 3.26 daki veriler kullanılarak doldurulmuş cevap tablosu

TABLO 3.28 Etkileşim değerlerini içeren cevap tablosu

Fakat Tablo 3.26 ya bakıldığında A ve B faktörlerin yüksek, C faktörünün düşük seviyesi kullanılarak yapılan deneyler sonunda 40.2 sonuç değeri elde edilmiştir. Halbuki B faktörünün yüksek, A ve C faktörlerinin ise düşük seviyesinin kullanıldığı deneyde 44.1 gibi en büyük sonuç değer bulunmuştur. Bu durum şaşırtıcı gelebilir. Aslında aşağıda verilen Şekil 3.29 dan da görülebileceği gibi A ve B faktörlerinin AB ile gösterilen önemli bir etkileşimi söz konusu olduğundan bu gibi durumlarda sadece A, B ve C faktörlerinin ana etkileri göz önünde bulundurularak maksimizasyon yapılmamalıdır.

ŞEKİL 3.29 Faktörlerin 1. Ve 2. Seviyeleri kullanıldığında elde edilen sonuç değerlerin grafiksel gösterimi

FAKTÖRLER SEVİYELERİ A B Gözlenen Değerler Ortalama Değerler 1 2 Bunun yerine Tablo 3.26 dan istifade ile düzenlenmiş olan Tablo 3.30 dan görülebileceği gibi A ve B faktörlerinin yüksek ve düşük seviyelerini içeren bütün kombinasyonlara göre gözlemlenmiş sonuç değerler göz önünde bulundurulmalı ve maksimizasyon buna göre yapılmalıdır. FAKTÖRLER SEVİYELERİ A B Gözlenen Değerler Ortalama Değerler 1 2 24.7, 21.4 44.1, 43.5 38.4, 32.0 40.2, 37.5 23.05 43.80 35.20 38.85 TABLO 3.30 A ve B faktörlerinin alınan seviyelerinde elde edilmiş cevap değerler

Faktör etkileşimlerinin etkisini, ikili faktörlerin yüksek ve düşük seviyelerinin kullanıldığı dört kombinasyonlu deneylerde elde edilen değerlerin (örneğimizde ikişer adet) ortalamalarının alınıp işaretlendiği bir grafikte görsel olarak da görmek mümkündür. Şekil 3.31 de AB, AC ve BC etkileşimlerine ait ortalama etki değerleri ayrı ayrı gösterilmiştir. Şekil 3.31a grafiği Tablo 3.30 deki veriler kullanılarak oluşturulmuştur. Benzer biçimde Şekil 3.31b ve 3.31c de gösterilen grafikler ilgili tablolar kullanılarak oluşturulabilir. Şekil 3.31 a Kuvvetli bir AB etkileşimine işaret etmektedir. Şekilde görülen iki çizginin belirgin bir biçimde paralellikten uzak olması iki faktör arasında kuvvetli bir etkileşime işaret etmektedir. Şekil 3.31 b ve Şekil 3.31 c de görülen belirgin olmayan paralellikler ise A ve C ile B ve C arasında kuvvetli olmayan etkileşimlere işaret etmektedir.

Bu örnekte olduğu gibi A ve B faktörleri arasında kuvvetli bir etkileşim söz konusu ise bunların deney sonuçları üzerine yapacakları etkiyi düşünürken bu etkileşimi gözden uzak tutmamak gerekir. Dolayısı ile hangi faktör seviyelerinin deney sonuçları (y) üzerine ortalama olarak en büyük katkı yaptığı bilinmek istenirse, her şeyden evvel A ve B faktörlerinin hangi kombinasyonunun y sonucu üzerine ortalama olarak en büyük katkıyı yaptığına bakmak gerekir. Burada C faktörünün A ve B faktörleri ile etkileşim halinde olmadığı görüldüğünden C faktörünün en uygun seviyesi A ve B faktörlerine bakılmaksızın seçilmelidir. Tablo 3.30 da en büyük ortalama y sonuç değeri 43.80 olup bu değer A faktörünün düşük ve B faktörünün yüksek seviyesinin kullanıldığı durumda gözlenmiştir. Bu durumda üç faktörün kullanıldığı bu deneylerde ortalama beklenen en büyük y değeri;

(genel ortalama) + (A ve B nin katkısı) + (C nin katkısı) 35.23 + (43.80 – 35.23) + (36.85 – 35.23) = 35.23 + 8.57 + 1.62 = 45.42 olarak bulunur.