Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele alınmıştı. Bu bölümde ise, eksenel yüklü elemanların şekil değişimlerinin nasıl belirleneceği ele alınacaktır. Daha sonra, denge denklemleriyle hesaplanamayan mesnet tepkilerinin belirlenmesinde kullanılacak bir yöntem geliştirilecektir. Buna ek olarak termal yüklerin meydana getirdiği şekil değişiklikleri ve gerilmeler belirlenecektir. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Şekildeki elastik olarak şekil değiştirecek ve kesitin ağırlık merkezinden geçen ekseni boyunca P kuvvetine maruz dikdörtgen çubuğu ele alalım. Burada, çubuk bir ucundan sabitlenmekte diğer ucundan da delik boyunca kuvvet uygulanmaktadır. Yükleme sebebiyle çubuğun üzerine çizilmiş yatay ve dikey çizgilerin deformasyonundan da görüleceği üzere çubuk şekil değiştirir. Çubuğun her iki ucunda oluşan yerel deformasyonların çubuğun ortasına doğru düzelme eğiliminde olduğunu ve düzgünleştiğini fark ediniz. Benzer şekilde, mesnetlerden uzaklaştıkça gerilme dağılımı daha düzgünleşerek mesnetlerden aynı mesafe uzaklıktaki kesitte düzgün hal alacaktır. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Bu durumdaki gerilme ve deformasyon davranışı, ilk olarak 1885 yılında, Fransız bilim adamı (Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant) tarafından fark edildiği için Saint-Venant prensibi olarak adlandırılır. Esas itibariyle, cismin bir noktasında meydana gelen gerilme ve zorlanmaların yüklemenin yapıldığı bölgeden yeterince uzakta aynı bölgeye uygulanan statik olarak eşdeğer bileşke yüklemenin meydana getirdiği gerilme ve zorlanmaya eşit olacağını ifade eder. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Lastik Membranın gerginleşmesi sonucu üzerindeki çizgilerin nasıl çarpıldığını fark edin. Kavrama noktalarından uzaklaştıkça Saint-Venant’ın ifade ettiği gibi lokal çarpılmalar düzgünleşmektedir. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU Gerilme ve zorlanmanın tanımı ile Hooke kanununu kullanılarak eksenel yüklere maruz elemanın elastik şekil değişiminin belirlenmesinde kullanılacak denklemi elde edeceğiz. Genelleştirme amacıyla, şekil de görülen L uzunluğu boyunca kesiti tedrici olarak değişen çubuğu ele alalım. Çubuk, uçlarından konsantre kuvvetlere ve uzunluğu boyunca değişken yayılı dış yüke maruzdur. Bu yayılı yük, düşey çubuğun ağırlığı veya çubuk yüzeyinde etkili olan sürtünme kuvvetlerini temsil edebilir. Burada biz, bu yüklemelerin sebep olduğu çubuğun bir ucunun diğer ucuna göre bağıl yer değiştirme  (delta) belirlemek istiyoruz. Konsantre yüklerin uygulandığı noktalarda ve kesitin ani değişim gösterdiği bölgelerde ortaya çıkan yerel deformasyonları ihmal edeceğiz. Saint-Venant prensibinde ifade edildiği gibi bu etkiler çubuk boyunca küçük bölgelerde meydana gelmektedir. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU Kesim metodu kullanılarak, çubuğun herhangi bir x mesafesinden dx uzunluğunda ve A(x) kesitinde diferansiyel (dilim) eleman izole edilmiştir. Bu elemanın serbest cisim diyagramı görülmektedir. Eksenel yayılı yük çubuk boyunca onun uzunluğunda değişime sebep olacağı için bileşke eksenel iç kuvvet x in fonksiyonu olacaktır. P(x) yükü dilim elemanı kesik çizgilerle gösterilen şekle kadar deforme edecektir. Bu durumda, elemanın bir ucunun diğer ucuna göre bağıl yer değiştirmesi d dır. Elemandaki gerilme ve zorlanma, 𝜎= 𝑃(𝑥) 𝐴(𝑥) ve 𝜖= 𝑑𝛿 𝑑𝑥 Gerilme orantı sınırını aşmadığı sürece Hooke kanunu uygulanabilir.  σ = E ϵ  Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU 𝝈=𝑬𝝐 𝑷(𝒙) 𝑨(𝒙) =𝑬 𝒅𝜹 𝒅𝒙   𝒅𝜹= 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝑨 𝒙 𝑬  Yer değiştirmenin bulunması için çubuk uzunluğu boyunca ifadenin integralinin alınması gerekir. 𝜹= 𝟎 𝑳 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝑬𝑨 𝒙 Burada, 𝜹= çubuk üzerindeki bir noktanın diğer bir noktaya göre bağıl boy değişimi 𝑳= noktalar arasındaki nominal mesafe 𝑷(𝒙)= bir ucundan 𝒙 mesafesi kesitteki eksenel iç kuvvet 𝑨(𝒙)= 𝒙 bağlı fonksiyon olarak ifade edilen çubuk kesit alanı 𝑬= malzemenin elastisite modülü Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU Birçok durumda, çubuk sabit A kesit alana sahip olmakla birlikte malzeme de homojendir bu durumda elastisite modülü E sabittir. Bunlara ek olarak, eğer şekildeki gibi iki ucundan sabit dış kuvvet uygulanırsa, çubuğun uzunluğu boyunca P iç kuvvet de sabit olur. Sonuç olarak, bir önceki denklemin ifadenin integrali alınarak, 𝜹= 𝑷𝑳 𝑨𝑬 Eğer çubuk uzunluğu boyunca birkaç farklı eksenel kuvvete maruzsa, kesit alanı ya da elastisite modülü çubuğun bir bölgesinden diğerine aniden değişmekteyse, yukarıdaki denklem bu büyüklüklerin sabit olduğu çubuğun her bir parçasına uygulanabilir. Çubuğun bir ucunun diğer ucuna göre yer değiştirmesi her bir kısmın ucunun yer değiştirmesinin cebirsel toplamından bulunur. Genel durum için, 𝜹= 𝑷𝑳 𝑨𝑬 Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU İşaret Uyumu. Eksenel iç kuvvet ve çubuğun bir ucunun diğer ucuna göre yer değiştirmenin belirlenmesinde işaret kabulü yapılmalıdır. Bunu yapmak için, şekilde görüldüğü gibi kuvvet ve yer değiştirme çekme ve uzamaya neden olmakta ise sırasıyla hem kuvvet hem de uzama pozitif olarak kabul edilecektir. Buna karşı negatif kuvvet ve yer değiştirme sırasıyla basınç ve kısalmaya sebep olacaktır. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU Örneğin, şekildeki çubuğu göz önüne alalım. Şekil görüldüğü üzere, her bir kısımdaki eksenel iç kuvvet “P” kesim metoduyla hesaplanır. PAB=+5 kN PBC=-3 kN PCD=-7 kN Eksenel yüklerdeki bu değişim çubuk boyunca şekilde görüldüğü gibi eksenel veya normal kuvvet diyagramında gösterilir. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

𝜹 𝑨 𝑫 = 𝑷𝑳 𝑨𝑬 = +𝟓 𝐤𝐍 𝑳 𝑨𝑩 𝑨𝑬 + −𝟑 𝒌𝑵 𝑳 𝑩𝑪 𝑨𝑬 + −𝟕 𝒌𝑵 𝑳 𝑪𝑫 𝑨𝑬 EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLARIN ELASTİK DEFORMASYONU Çubuk uzunluğu boyunca iç kuvvetin nasıl değiştiği bilindiği için A ucunun D ucuna göre bağıl yer değiştirmesi belirlenebilir.   𝜹 𝑨 𝑫 = 𝑷𝑳 𝑨𝑬 = +𝟓 𝐤𝐍 𝑳 𝑨𝑩 𝑨𝑬 + −𝟑 𝒌𝑵 𝑳 𝑩𝑪 𝑨𝑬 + −𝟕 𝒌𝑵 𝑳 𝑪𝑫 𝑨𝑬 Denklemdeki diğer veriler yerine yazılıp hesaplama yapıldığında elde edilen sonuç pozitifse, bu A ucunun D ucundan uzaklaşması (çubuğun uzaması), buna karşı sonuç negatif se A ucunun D ucuna doğru hareket etmesi (çubuğun kısalması) anlamına gelir. Çift alt indis bağıl yer değiştirmeyi A/D göstermek için kullanılır. Bununla birlikte, bağıl yer değiştirme sabit bir noktaya göre hesaplanıyorsa, sadece tek bir indis kullanılacaktır. Örneğin, eğer D sabit mesnetse, bu durumda hesaplanan yer değiştirme basitçe A olarak gösterilir. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit STATİKÇE BELİRSİZ EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLAR Şekilde görülen iki ucundan ankastre bağlı çubuğu ele alalım. Serbest cisim diyagramından denge şartlarının sağlaması gerekir.   +↑𝜮𝑭=𝟎; 𝑭 𝑩 + 𝑭 𝑨 −𝑷=𝟎 Çubuktaki iki reaksiyon kuvvetini belirlemek için denge denklemleri yetersiz olduğundan bu tip problemler statikçe belirsiz olarak adlandırılır. Çözümün elde edilebilmesi için ilave denkleme ihtiyaç duyulduğu için çubuk üzerindeki noktaların nasıl yer değiştirdiğinin belirlenmesi gerekir. Özellikle, yer değiştirme durumunu tarif eden eşitliğe uygunluk veya kinematik denklem denir. Bu durumda, çubuk iki ucundan sabitlendiği için bir ucunun diğer ucuna göre bağıl yer değiştirmesi sıfıra eşit olmalıdır. Dolayısıyla uygunluk şartları aşağıdaki gibi yazılabilir. 𝜹 𝑨/𝑩 =𝟎 Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit STATİKÇE BELİRSİZ EKSENEL YÜKLÜ ELEMANLAR Malzeme davranışına bağlı yük-yer değiştirme ilişkisi kullanılarak uygulanan yüklerle ifade edilebilir. Örneğin, lineer elastik davranış oluşmakta ise, δ=PL/AE kullanılabilir. Şekildeki çubuğun AC kısmındaki iç kuvvet +FA ve CB kısmındaki iç kuvvet ise -FB olduğu görülerek uygunluk denklemi şu şekilde yazılabilir.   𝑭 𝑨 𝑳 𝑨𝑪 𝑨𝑬 − 𝑭 𝑩 𝑳 𝑨𝑪 𝑨𝑬 =𝟎   AE sabit olduğuna göre FA= FB (LBC/ LAC) tepkilerin belirlenmesi için denge denklemleri kullanılarak   𝑭 𝑨 =𝑷 𝑳 𝑪𝑩 𝑳 ve 𝑭 𝑩 =𝑷 𝑳 𝑨𝑪 𝑳 Bu iki sonuçta pozitif olduğundan serbest cisim diyagramında tepki kuvvetlerinin yönü doğru gösterilmiştir.  Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit TERMAL GERİLMELER Sıcaklıkta meydana gelen değişim cismin boyutlarında değişikliğe sebep olur. Eğer sıcaklık artıyorsa, genellikle malzeme genleşirken buna karşı sıcaklık azalıyorsa malzeme büzülür. Bu genleşme veya büzülme oluşan sıcaklık artış veya azalışıyla doğru orantılıdır. Araç trafiğinde kullanılacak çoğu köprüler tabliyenin termal hareketine uyum sağlaması için genleşebilen derz bağlantılı olarak tasarlanır. Bu sayede termal gerilme oluşumu engellenir. Akışkan taşıyan uzun kanal ve borular iklim değişiminin sebep olduğu uzama ve kısalmaya maruzdur. Termal gerilmeleri azaltmak için bir benzeri görülen genleşme dirseği kullanılır. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit TERMAL GERİLMELER Sıcaklıkta meydana gelen değişim cismin boyutlarında değişikliğe sebep olur. Eğer sıcaklık artıyorsa, genellikle malzeme genleşirken buna karşı sıcaklık azalıyorsa malzeme büzülür*. Bu genleşme veya büzülme oluşan sıcaklık artış veya azalışıyla doğru orantılıdır. Malzeme homojen ve izotrop ise L uzunluğa sahip elemandaki yer değiştirme miktarı aşağıdaki formülle hesaplanacağı deneysel sonuçlardan bulunmuştur. 𝜹 𝑻 =𝜶 ∆𝑻 𝑳 δT = elemanın boyundaki değişim miktarı  = malzeme özelliği olup lineer termal genleşme katsayısı olarak adlandırılır. Derecedeki ölçülen zorlanma birimidir. SI birim sisteminde, 1/°C veya 1/°K olarak ölçülür. ΔT = elemanın sıcaklığındaki değişim L= elemanın orijinal boyu Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit TERMAL GERİLMELER Sıcaklık değişimi olduğunda eleman serbestçe genleşip büzüleceği için statikçe belirli elemanlardaki boy değişimi 𝜹 𝑻 =𝜶 ∆𝑻 𝑳 kullanılarak basitçe hesaplanır. Bununla birlikte, statikçe belirsiz elemanlarda bu termal yer değiştirmeler mesnetler tarafından kısıtlanacak olursa tasarımda göz önünde bulundurulması gereken termal gerilmeler ortaya çıkar. Önceki bölümde ana hatları ortaya konulan metotlar kullanılarak bu termal gerilmelerin belirlenmesi mümkündür. Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit