Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Buraya kadar, bir parçacığın veya katı cismin konum, yer değiştirme, hız ve ivmesi arasındaki ilişkileri inceledik. Bu kısımdan itibaren bu kavramları bir parçacığa veya katı cisme etkiyen kuvvetlerin sebep olduğu etkileri incelemek üzere Newton' un ikinci kanununu, 𝑭 = 𝒎𝒂 uygularken kullanacağız. Yörüngenin geometrisine bağlı olarak analizde, dik kartezyen (𝒙,𝒚,𝒛), normal ve teğetsel (𝒏,𝒕,𝒃) veya silindirik koordinatlar (𝒓, 𝜽,𝒛) kullanılabilir. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Rijit cisimler mekaniğinde, karşılan tüm durumlar -hareket ve denge- deneysel gözlemlerden elde edilen sonuçlara dayanır. Uzayda dönme ve ötelenmesi olmayan sabit referans eksene göre yapılan ölçümlerle elde edilen değerlere hareket kanunları uygulanabilir. Newton'un üç hareket kanunu şu şekilde ifade edilebilir. Birinci kanun: Dengelenmiş kuvvetlere maruz maddesel nokta, başlangıçta duruyor ise durmaya, hareket halinde ise sabit hızlı hareketine devam eder. İkinci kanun: Dengelenmemiş bir kuvvet etkisi altındaki parçacık, uygulanan kuvvet doğrultusunda ve kuvvetin büyüklüğü ile doğru orantılı ivme kazanır. Kuvvetin üzerinde etkili olduğu parçacığın kütlesi 𝒎 ise, Hareket denklemi olarak da anılan matematiksel bağıntı elde edilir. 𝑭=𝒎𝒂 Üçüncü kanun: İki parçacık arasındaki karşılıklı etki ve tepki kuvvetleri aynı doğrultu üzerinde, eşit büyüklükte ve zıt yöndedirler. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Birinci ve üçüncü kanun statiğin kavramları açıklanırken yaygın olarak kullanılır. Her ne kadar bu iki yasa dinamikte de kullanılsa da, üzerine etkiyen kuvvetleri parçacığın ivmesiyle ilişkilendiren Newton'un ikinci hareket kanunu dinamiğin temelini oluşturur. Burada statiğin, dinamiğin özel bir hali olduğu aşikârdır. Zira ikinci kanunda hareketin ivmesi yok ise (𝒂=𝟎) veya hareket yok ise cisme etkiyen eşdeğer kuvvet sıfıra eşit olur. Kuvvet ve ivme laboratuvar ortamında ölçülebilir. Bir parçacığa bilinen bir 𝑭 𝟏 kuvveti etkidiğinde 𝒂 𝟏 ivmesi ölçülebilir. Kuvvet ile ivme doğru orantılı olduğundan orantı sabiti 𝒎= 𝑭 𝟏 𝒂 𝟏 şeklinde hesaplanabilir. Ölçümlerin birimleri arasındaki uygunluğa dikkat edilerek başka bir dengelenmemiş 𝑭 𝟐 kuvveti uygulandığında parçacığın ivmesi 𝒂 𝟐 olarak ölçülecektir ve böylece orantı sabiti 𝒎= 𝑭 𝟐 𝒂 𝟐 olacaktır. İki durumda da orantı sabiti eşit olacaktır ve birer vektörel büyüklük olan kuvvet ve ivmenin aynı doğrultuda olduğu görülecektir. 𝒎 orantı sabitine parçacığın kütlesi denir. Her hangi bir ivmeli hareket aralığında sabit kalmak üzere kütle, parçacığın hızındaki değişime direncinin bir ölçüsüdür. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Hareket denklemi olarak bilinen bu denklem mekanikte önemli bir yer işgal eder. Yukarıda ifade edildiği gibi bu kanunun geçerliliği deneysel verilere dayandırılmıştır. Ancak 1905 te Albert Einstein rölativite teorisini geliştirmesiyle, parçacığın genel hareketini tasvir eden Newton'un ikinci hareket kanununun kullanımına bazı sınırlamalar getirdi. Newton'un varsayımının tersine deneyler zamanın mutlak bir büyüklük olmadığını göstermiştir. Bu yüzden parçacığın hızı, ışık hızına 𝒗 ışı𝒌 =𝟑𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝒎 𝒔 yaklaştığında Newton'un hareket denklemi parçacığın gerçek davranışını açıklamada yetersiz kalır. Kuantum mekaniğinin prensiplerini ortaya koyan, Erwin Schrödinger ve diğer bilim adamları bu hareket denkleminin parçacıkların atomik mesafe içindeki hareketlerinde de geçersiz olduğu sonucuna varmışlardır. Bahsedilen teoriler uygulamalı mühendisliğin konuları dışında olduğundan üzerlerinde çalışmayacaktır. Ancak mühendislik problemlerinin çok büyük bir bölümü, atom üstü ile ışık hızının altındaki bölgede (norm alem) yer aldığından Newton'un hareket kanunları geçerli kabul edilir. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Hareket Denklemi: Bir parçacığa eğer birden fazla kuvvet etki ederse bileşke kuvvet, bütün kuvvetlerin vektörel toplamından 𝑭 𝑹 = 𝑭 elde edilir. Bu genel durumda, hareket denklemi,  𝑭 =𝒎𝒂   Bu denklemin uygulamasını açıklamak üzere, şekilde görülen 𝑷 parçacığını göz önüne alalım. Parçacığın serbest cisim diyagramını çizerek, parçacık üzerine etki eden her bir kuvvetin büyüklük ve doğrultusunu grafiksel olarak gösterebiliriz. Bu kuvvetlerin bileşkesi 𝒎𝒂 vektörünü ürettiğinden, bileşkenin büyüklük ve doğrultusu, şekilde gösterilen kinetik diyagramında grafiksel olarak gösterilebilir. Diyagramlar arasındaki eşit işareti, serbest cisim diyagramı ve kinetik diyagramı arasındaki denkliği, 𝑭 =𝒎𝒂 sembolize eder. 𝑭 𝑹 = 𝑭=𝟎 ise, ivmenin sıfır olduğuna ve parçacığın durağan durumda kaldığına veya sabit bir hızla doğru boyunca hareket etmekte olduğunu ifade eder. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

 𝑭 𝒙 𝒊+ 𝑭 𝒚 𝒋+ 𝑭 𝒛 𝒌=𝒎 𝒂 𝒙 𝒊+ 𝒂 𝒚 𝒋+ 𝒂 𝒛 𝒌 𝑭 𝒙 =𝒎 𝒂 𝒙 𝑭 𝒚 =𝒎 𝒂 𝒚 MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Kartezyen koordinatlar: Parçacık 𝒙, 𝒚, 𝒛 referans eksen sistemine göre hareket etmekteyse, etki eden dış kuvvetler ivmeleriyle birlikte, 𝒊,𝒋,𝒌 bileşenleriyle ifade edilebilirler. 𝑭=𝒎𝒂    𝑭 𝒙 𝒊+ 𝑭 𝒚 𝒋+ 𝑭 𝒛 𝒌=𝒎 𝒂 𝒙 𝒊+ 𝒂 𝒚 𝒋+ 𝒂 𝒛 𝒌 𝑭 𝒙 =𝒎 𝒂 𝒙 𝑭 𝒚 =𝒎 𝒂 𝒚 𝑭 𝒛 =𝒎 𝒂 𝒛 Hareket düzlemdeyse, bu denklemlerden sadece ikisi kullanılır. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

𝑭=𝒎𝒂 𝑭 𝒏 𝒖 𝒏 + 𝑭 𝒕 𝒖 𝒕 + 𝑭 𝒃 𝒖 𝒃 =𝒎 𝒂 𝒕 + 𝒎𝒂 𝒏 MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Normal ve teğetsel koordinatlar: Bir parçacık, belirli bir eğrisel yörünge üzerinde hareket ettiğinde, hareket denklemleri normal ve teğet doğrultularda yazılabilir.   𝑭=𝒎𝒂   𝑭 𝒏 𝒖 𝒏 + 𝑭 𝒕 𝒖 𝒕 + 𝑭 𝒃 𝒖 𝒃 =𝒎 𝒂 𝒕 + 𝒎𝒂 𝒏 𝑭 𝒕 =𝒎 𝒂 𝒕   𝑭 𝒏 =𝒎 𝒂 𝒏 𝑭 𝒃 =𝟎 Burada, 𝑭 𝒏 , 𝑭 𝒕 ve 𝑭 𝒃 sırasıyla, normal, teğet ve binormal doğrultularda parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvet bileşenlerinin toplamını gösterir. Şekilde parçacık yörünge boyunca harekete zorlandığı için parçacığın binormal doğrultuda herhangi bir hareketi olmadığını fark ediniz. 𝒂 𝒕 = 𝒅𝒗 𝒅𝒕 nin zamana göre hızın büyüklüğündeki değişimi göstermekte olup 𝑭 𝒕 hareket doğrultusunda etki ederse, parçacığın hızı artacak, aksi halde azalacaktır. 𝒂 𝒏 = 𝒗 𝟐 𝝆 ise, zamana göre hızın doğrultusundaki değişimi ifade eder.   Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Silindirik koordinatlar: Bir parçacık, belirli bir eğrisel yörünge üzerinde hareket ettiğinde, hareket denklemleri silindirik koordinatlardaki bileşenleri cinsinden yazılabilir. 𝑭=𝒎𝒂   𝑭 𝒓 𝒖 𝒓 + 𝑭 𝜽 𝒖 𝜽 + 𝑭 𝒛 𝒖 𝒛 =𝒎 𝒂 𝒓 𝒖 𝒓 + 𝒎𝒂 𝜽 𝒖 𝜽 +𝒎 𝒂 𝒛 𝒖 𝒛 Burada, 𝑭 𝒓 , 𝑭 𝜽 ve 𝑭 𝒛 sırasıyla, radyal, radyale dik ve 𝒛 doğrultularda parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvet bileşenlerinin toplamını gösterir. Bu denklemin sağlanması için, sol taraftaki her bir 𝒓,𝜽,𝒛 bileşeni sağ yandaki karşı gelen bileşene eşit olmalıdır. 𝑭 𝒓 =𝒎 𝒂 𝒓   𝑭 𝜽 =𝒎 𝒂 𝜽 𝑭 𝒛 =𝒎 𝒂 𝒛 Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK Kütlesi 𝟐 𝐤𝐠 olan C kayıcı burç, direngenliği 𝒌=𝟑 𝑵/𝒎 ve uzamamış haldeki boyu 𝟎.𝟕𝟓 𝒎 olan yaya bağlanmıştır. Burç, A da durmaktayken serbest bırakılırsa, 𝒚=𝟏 𝒎 olduğu andaki ivmesini ve çubuğun burca uyguladığı normal kuvveti hesaplayınız. ÇÖZÜM: Serbest cisim diyagramı. Koordinat sistemi ve ivmenin yönü şekilde gösterilmiştir. Burcun ağırlığı 𝟏𝟗.𝟔𝟐 𝐍, yay tarafından oluşturulan çekme kuvveti 𝑭 𝒔 ve normal tepki kuvveti 𝐍 𝐂 diyagramda gösterilir. İvmenin ve normal tepki kuvvetinin belirleneceği pozisyon 𝒚=𝟏 𝒎 için 𝜽 ve 𝒔 geometriden belirlenirse, 𝑭 𝒔 de oluşan kuvvet belirlenebilir. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK   𝒚=𝟏 𝐦 𝐝𝐞; 𝜽= 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 𝟏 𝟎.𝟕𝟓 =𝟓𝟑.𝟏 𝟑 °   𝒍 𝒚𝒂𝒚 = 𝟎.𝟕𝟓 𝟐 + 𝟏 𝟐 =𝟏.𝟐𝟓 𝐦 Yayın uzamış boyu 𝒔=𝟏.𝟐𝟓 𝒎−𝟎.𝟕𝟓 𝐦 Yayın uzama miktarı 𝑭 𝒔 =𝒌 𝒔; 𝑭 𝒔 = 𝟑 𝑵 𝒎 𝟎.𝟓𝟎 𝐦=𝟏.𝟓 𝑵 Yayda oluşan çekme kuvveti Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK Hareket denklemleri. Burç kılavuz kolon üzerinde düşey hareket yaptığından, 𝒙−ekseninde hareket olmayacaktır. Düşey eksende ivmeli hareket olabilecektir.   +→ 𝑭 𝒙 =𝒎 𝒂 𝒙 =𝟎; −𝐍 𝐂 + 𝟏.𝟓 𝐍 𝐜𝐨𝐬 𝟓𝟑.𝟏 𝟑 ° =𝟎 𝐍 𝐂 =𝟎.𝟗 𝐍 +↓ 𝑭 𝒚 =𝒎 𝒂 𝒚 ; 𝟏𝟗.𝟔𝟐− 𝟏.𝟓 𝐍 𝐬𝐢𝐧𝟓𝟑.𝟏 𝟑 ° =𝟐 𝒂 𝒚 𝒂 𝒚 =𝟗.𝟐𝟏 𝐦 𝐬 𝟐 𝒂= 𝒂 𝒚 =𝟗.𝟐𝟏 𝐦 𝐬 𝟐 ↓ Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: ÖRNEK 10 kg kütleli top mermisi 𝟓𝟎 𝒎/𝒔 hızla yerden yukarı doğru fırlatılıyor. (a) Havanın direncini ihmal ederek (b) 𝒗 herhangi bir anda 𝒎/𝒔 cinsinden hız olmak üzere, havanın direnci 𝑭 𝑫 = 𝟎.𝟎𝟏 𝒗 𝟐 𝑵 olarak ölçüldüğüne göre, top güllesinin çıkabileceği maksimum yüksekliği belirleyiniz. (a) ÇÖZÜM: Her iki durum içinde hareket denklemleri kullanılarak gülleye uygulanan kuvvetle oluşan ivmesi arasında kurulabilir. Serbest cisim diyagramı. Cisme etki eden kuvvetler sadece ağırlığı olup 𝒎𝐠=𝟗𝟖.𝟏 𝑵 dur. Bilinmeyen 𝒂 ivmesi yukarı doğru 𝒛−ekseninde pozitif kabul edilebilir. Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Hareket denklemi. +↑ 𝑭 𝒛 =𝒎 𝒂 𝒛 ; 𝟗𝟖.𝟏=𝟏𝟎 𝒂 𝒂=−𝟗.𝟖𝟏 𝒎 𝒔 𝟐 Kinematik. Başlangıçta, 𝒛=𝟎 da 𝒗 𝟎 =𝟓𝟎 𝒎 𝒔 dir. Çıkabileceği maksimum yükseklik olan 𝒉 𝐦𝐚𝐤 da hız 𝒗=𝟎 olacaktır. İvme sabit 𝒂=−𝟗.𝟖𝟏 𝒎 𝒔 𝟐 ise,   𝒗 𝟐 =𝒗 𝟎 𝟐 +𝟐 𝒂 𝑪 𝒛− 𝒛 𝟎 ; 𝟎= 𝟓𝟎 𝟐 +𝟐 −𝟗.𝟖𝟏 𝒉−𝟎 𝒉=𝟏𝟐𝟕 𝒎   Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit

Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: Serbest cisim diyagramı. Hava direnç kuvveti 𝑭 𝑫 = 𝟎.𝟎𝟏 𝒗 𝟐 𝑵 muhtemel harekete ters yönde oluşacağından, aşağı doğru olacaktır. Ağırlık 𝒎𝒈=𝟗𝟖.𝟏 𝑵 aşağı doğrudur. Bilinmeyen 𝒂 ivmesi yukarı doğru 𝒛−ekseninde pozitif kabul edilebilir.   Hareket denklemi.  +↑ 𝑭 𝒛 =𝒎 𝒂 𝒛 ; −𝟎.𝟎𝟏 𝒗 𝟐 −𝟗𝟖.𝟏=𝟏𝟎 𝒂 𝒂=−𝟎.𝟎𝟎𝟏 𝒗 𝟐 −𝟗.𝟖𝟏 Kinematik. İvme sabit olmayacağı için 𝒗𝒅𝒗=𝒂𝒅𝒔 hız, yer değiştirme ve ivme arasındaki ilişki kurulabilir. Başlangıçta, 𝒛=𝟎 da 𝒗 𝟎 =𝟓𝟎 𝒎 𝒔 dir. Çıkabileceği maksimum yükseklik olan 𝒉 𝒎𝒂𝒌 da, hız 𝒗=𝟎 olacaktır. 𝟓𝟎 𝟎 −𝒗𝒅𝒗 𝟎.𝟎𝟎𝟏 𝒗 𝟐 +𝟗.𝟖𝟏 = 𝟎 𝒉 𝒅𝒛 −𝟓𝟎𝟎 𝒍𝒏 ( 𝒗 𝟐 +𝟗𝟖𝟏𝟎) 𝟓𝟎 𝟎 = 𝒛 𝟎 𝒉 𝒉=𝟏𝟏𝟒 𝒎 Makine Mühendisliği Dinamik Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit