YAPI DİNAMİĞİ (İNS 307) Y.Doç.Dr. Yusuf SÜMER

5- Hilmi Luş: Dynamics of Structures, ÇEVİRİ

Giriş Dinamik kelime anlamı olarak zamanla değişmeyi belirtmek için kullanılır. Örneğin bir yükün büyüklüğü doğrultusu ve etkime yeri zaman bağlı olarak ortaya çıkabilir. Bunun sonucu olarak ta taşıyıcı sistemde meydana gelen iç kuvvetler , şekil değiştirme ve yer değiştirmeler zamanın bir fonksiyonu şeklinde belirir. Statik çözümlemede olduğu gibi dinamik çözümlemede de en önemli adım ele alınan problemin ‘MATEMATİK MODELİNİN’ kurulmasıdır. Matematik model kurulduktan sonra ilk adım dinamik çözümleme için hareket denklemlerinin yazılması ve modelin davranışının belirlenmesidir.

Statik ve Dinamik Hesap Dinamik hesapta statik yüklere ek olarak her an ve noktada değişen eylemsizlik kuvvetleri ve momentler dikkate alınır. Bu durumda sistemi doğru inceleyebilmek için yük etkileri, ötelenmeler ve dönmeler herbir nokta için zaman bağlı olarak tanımlanır ve dinamik hesap yapılır. Böylece herbir noktanın zaman bağlı olarak yerdeğiştirmesini veren tarihçeler (time history) elde edilir. Yapı için gerekli iç kuvvetler ise bu hesaplanmış yerdeğiştirmeler kullanılarak statik yöntemlerle elde edilir.

YAPILARA GELEN DİNAMİK YÜKLER Yapılar bulundukları ortama göre çeşitli dinamik yüklerin etkisinde kalırlar. Depremler, rüzgarlar, hidrodinamik kuvvetler, makine titreşimleri, patlamalar gibi yükler zaman içinde değişen titreşimlere yol açarlar. Analizlerde kullanabilmek için yüklerin zaman bağlı değişimlerini tanımlamak gerekir.

Rüzgar Yükleri Rüzgarın esiş yönünde çarptığı yapı yüzeylerinde basınç arka yüzeylerde emme kuvveti oluşur. Basınç kuvveti yapının geometrisine, rüzgarın hızına bağlıdır. Zaman içinde değişen bir yüktür.

Patlama Yükü Patlayıcının şiddeti ve yerine bağlıdır. Patlama anında ani bir enerji çıkışı olur. Deterministik bir yüktür.

Sismik Yükler Yerkabuğu içindeki kırılmalar nedeniyle ani olarak ortaya çıkan titreşimlerin dalgalar halinde yayılarak geçtikleri ortamları ve yer yüzeyini sarsma olayına "DEPREM" denir. Depremlerin herbiri tamamen kendine özgü ve önceden bilinemeyecek birçok değişkeni içerir. Depremin merkezinin yeryüzüne uzaklığı, şiddeti, yerleşim yerine uzaklık, zemin ve bina yapısı gibi parametreler depremin sismik etkilerini belirleyen değişkenlerdir. Deterministik olmayan bir yüktür. Dinamik analiz ile bina modeline gerçek zamanlı deprem etkitilerek (Örnek: Marmara depreminin spektrumu) bu depremde binanın davranışı tespit edilebilmektedir.

Hareketli Yükler Yapı elemanına zaman zaman etkiyen ve yer değiştiren yüklerdir. Araç yükleri İnsan yükleri Eşya Yükleri Kar Yükü

Yapı Modelleri Model gerçek hayattaki bir sistemi inceleyebilmek için geliştirilen, bazı basitleştirme ve varsayımlar içeren kurgular için kullanılan genel bir addır. Serbestlik derecesi: titreme hareketi yapan kütlelerin yerdeğiştirmiş pozisyonunu tanımlamak için gerekli bağımsız ötelenme yada dönme sayısına serbestlik derecesi denilir.

Gerçek sistemler hacimleri içine yayılmış her biri kendi serbestlik yönlerinde hareket edebilen sonsuz sayıda noktasal kütleden oluşurlar. Böyle sonsuz sayıda serbestlik derecesine sahip sistemlere sürekli sistemler denilir. Böyle sistemlerin hareketi hem zaman hem de konuma (koordinat) bağlı olan kısmi diferansiyel denklemler ile tanımlanabilir. Noktasal kütle yada rijit cisimlerden oluşan bir sistem sonlu sayıda serbestlik derecesine sahip olur. Böyle süreksiz sistemlerin hareketleri de serbestlik derecesi kadar dif. denklemin çözümü ile tanımlanır. Sürekli sistemleri bazı kabuller ile süreksiz hale getirmek mühendislikte çok sık yapılan bir basitleştirmedir.

Bazı Temel Varsayımlar ve Kabuller Her cismin bir kütlesi vardır ve bu kütle cismin hareketini belirleyen en önemli etkenlerden biridir. Ağırlığı dünya yüzeyinde w olan bir cismin kütlesi ile hesaplanır. Ağırlığın birimi Newton’ dur. (kgm/sn2) Duran bir cismin hareket etmesi için ivme kazanması gerekir. İvme ile kütleye etkiyen kuvvet arasındaki ilişki Newton’ un noktasal cisimler için geliştirip, Euler’ in genelleştirdiği yasalarla tanımlanır. Değişkenlerin zamana göre türevleri üstlerine türev derecesi kadar nokta konularak gösterilecektir.

D’Alembert İlkesi D'Alembert prensibine göre cisimlerin ivmesi, sanki üzerlerinde ivmelerinin tersi yönde ve ivmelerinin ve kütlelerinin çarpımına eşit büyüklükte bir kuvvet yaratır. Bu kuvvet yoktur, hayalidir. Ama bu kuvvetin varsayılmasıyla dinamik problemleri sanki statik problemleri gibi , cismin dengede olduğu var sayılarak çözülebilir. Bu yaklaşımla hareket denklemi:

Kütle Dağılımı Modellemede sıkça yapılan önemli bir basitleştirme hacim içinde yayılı bir kütlenin belirli noktalarda toplandığını (toplu kütleli yaklaşım) varsaymaktır. Böylece sınırlı sayıda ve konumu belirli noktalarda hareket serbestliği olacağından sistemin serbestlik derecesine bir sınır gelir. Böylece hesaplamalarda kullanılan dif. denklemler kısmi değil adi diferansiyel denklem olur. m F EI EI 2EI

Malzeme Davranışı Yapı malzemesinin özellikleri, dış etkilerin oluşturacağı hareket sırasında yapıda meydana gelen yer ve şekil değiştirmelere karşı tepkileri belirler. Bu etkiler harekete karşı direnç ‘rijitlik’ ve hareketi dindirmeye çalışan ‘sönüm’ etkisi olarak 2 ana başlıkta incelenebilir. Rijitlik: Kuvvet yada moment etkisi altında bir elemanın şekil değiştirmeye karşı gösterdiği fiziki dirençtir. Bir yapı elemanının rijitliği bu tanıma göre eleman üzerinde herhangi bir serbestlik yönünde 1 br lik statik yer değiştirmeye karşı elemanın gösterdiği direnç olarak ifade edilebilir.

Rijitlik Rijitliği tanımlamak için genelde deneyle malzemeler için elde edilen gerilme-birim şekil değiştirme ve yapı elemanları için kuvvet-yerdeğiştirme eğrilerinden yararlanılır. Bunlar içinde doğrusal elastik model (d) rijitliği sadece tekbir sabitle tanımlayarak, ileride görülecek olan hareket denklemlerini doğrusal hale getirip basitleştirdiği için en çok kullanılan modeldir. Doğrusal elastik modelde rijitliği sağlayan yapı elemanı, genellikle rijitliği k sabiti ile belirleyen basit bir yay ile gösterilir. Yay kuvveti: Fs = k * u bağıntısıyla hesaplanır.

Yaylar Paralel Bağlı Yaylar Seri Bağlı Yaylar

Sönüm Titreşim yapan sistemler, malzeme molekülleri arasındaki iç sürtünmeler, sistemdeki bağlantı ve mesnet bölgelerindeki sürtünmeler, plastik şekil değiştirmeler ve dış ortamın tepkileri gibi nedenlerle sürekli enerji kaybına uğrarlar. Enerji kaybını telafi edecek bir yükleme yoksa titreşim hareketi kısa sürede duracaktır. Sönüm etkilerini tam olarak temsil edecek bir sönüm modeli kurmak zordur. Bununla birlikte, sönüm kuvvetini hareketin hızı ile orantılı kabul eden viskoz sönüm modeli (yağ kutusu modeli) hareket denklemlerinin doğrusal halde kalmasını sağladığı için, dinamik hesaplarda en fazla kullanılan modeldir.

Hareket Denklemi (Equation of Motion) Hareket denklemi kütlenin zaman içinde dış etkiler nedeniyle meydana gelen hareketini tanımlar. Hareket denklemi Newton’ un hareket yasası veya D’ Alembert ilkesine göre elde edilir.

Şekilde görülen tek serbestlik dereceli modelde kütlenin serbest cisim diyagramında görülen ve her biri zamanla değişen kuvvetlerden Fs yay kuvvetini, Fd sönüm kuvvetini, F dış kuvveti, Fı ivmeden dolayı oluşan atalet kuvvetini göstermektedir. D’ Alembert ilkesine göre;