Bilgisayar Grafikleri Ders 4: 2B Homojen koordinat Doç. Dr. Cemil Öz Bilgisayar Grafikleri Ders 4: 2B Homojen koordinat SAÜ Bilgisayar Mühendisliği Dr. Cemil Öz

ÖTELEME VE HOMOJEN KOORDİNATLAR   Şimdiye kadar çeşitli dönüşümleri ele aldık. Bu dönüşümlerin orjini sabit kaldı. Ancak, orjinin yerini değiştirmek de istenebilir veya bir başka deyişle noktaların ötelenmesi istenebilir. Bu ötelemeyi de katarsak; (x,y) noktasına; biçiminde bir dönüşüm uygulanmaktadır. Ancak, 2x2 matris gösterimin-de m ve n parametrelerini gösteremeyiz. Bu nedenle BG de homojen koordinat sistemi kullanılmaktadır. [x y] vektörü, HK sisteminde [ x’ y’ h’ ] biçiminde gösterilmekte ve h’ : reel sayı [ x y 1 ] seti, [ x y ] vektörünün fiziksel gösterimine karşılık gelmektedir. [6 4 2], [12 8 4] ve [3 2 1] aynı fiziksel (3,2) noktasını göstermektedir. Bu durumda dönüşüm matrisini genel olarak 3x3 matris olarak yazacağız ve öteleme etkisini gösterebileceğiz.

a, b, c ve d daha önce bahsedilen dönüşümleri, m ve n ise ötelemeyi göstermektedir. Böylece orijin de dahil olmak üzere tüm noktalar dönüştürülebilmektedir.

Döndürme shearing Ölçekleme Öteleme

Aynalama

HERHANGİ BİR NOKTA ETRAFINDA DÖNDÜRME   Şimdiye kadar orijin etrafında rotasyon işlemi gördük. Genel olarak herhangi bir nokta etrafında dönüşümü ele almalıyız. Bu işlem; 1 – Noktayı orijine öteleme 2 – İstenen döndürmeyi yapma ve 3 - Noktayı eski yerine öteleme olarak gerçeklenir. Buna göre (m,n) noktası etrafında θ kadar döndürebilmek için

Bileşik dönüşüm matrisi

Bileşik dönüşüm matrisi Örnek: Varsayalım ki; bir cismin merkezi (4, 3) noktasında ve cismin bu merkez etrafında 900 döndürülmesi istenmekte. dönüşüm matrisi orjin etrafında 900 dönmeye neden olsun. İstenen (4, 3) noktası etrafında 900 döndürme;

HERHANGİ BİR EKSENE GÖRE AYNALAMA   Daha önce orjinden geçen bir doğruya göre aynalamayı gördük. Ancak, orjinden geçmeyen herhangi bir doğruya göre aynalama istenebilir. Bu işlemde herhangi bir nokta etrafında döndürmeye benzer biçimde aşamalı olarak gerçeklenebilir. 1 – Doğruyu ve objeyi orjinden geçecek şekilde ötele, 2 – Doğruyu ve objeyi, doğru eksenlerden biriyle çakışacak şekilde döndür, 3 – Bu eksene göre objeyi aynala, 4 – Orjin etrafında tersine döndürme yap, 5 – Asıl konuma geri öteleme yap. Matris gösterimine göre;

Genel olarak, bir 3x3 dönüşüm matrisini 4 bölüme ayıralım.

PROJEKSİYON, HOMOJEN KOORDİNATLARIN GEOMETRİK BİR YORUMU   Daha önceki bölümlerde p = q = 0 ve s = 1 aldık. p ve q farklı olduğunda etkileri ne olacaktır? Bunun için geometrik bir yorum getirmek yaralı olacaktır. p = q = 0 ve s = 1 olduğunda dönüştürülmüş nokta vektöründe her zaman h = 1 olmaktadır. Geometrik olarak bu sonuç; dönüşümün h = 1 fiziksel düzleme çakıştırılması olarak yorumlanabilir. p ≠ 0 ve q ≠ 0 aldığımızda;