MEZOPOTAMYADA MATEMATİK

MEZOPOTOMYA UYGARLIKLARI a-) SÜMERLER (MÖ 4000-MÖ 2350) b-) ELAMLILAR (M.Ö 3000–M.Ö 640) c-) AKADLAR (MÖ 2350-MÖ 2150) d-) ASURLAR (MÖ 2000-MÖ 609) e-) BABİLLER (MÖ 1900-MÖ 539)

Mezopotomya’da Matematik A-) SÜMERLER ’DE MATEMATİK Yazıyı bularak yazılı matematiğe geçişi başlattılar. “Tarih Sümer’de başlar”, sözü yaygın olarak bilinen bir deyiştir. Ama bunun yanında, tarihin ilk rakamlarının da, ilk hesap yöntemlerinin de Sümer tabletlerinde görüldüğü bilinmelidir. Sümerler matematik ve geometrinin temellerini atmışlardır.

Dört işlemi bulmuşlar, Dairenin alanını hesaplamışlardır. “ sayısı”nın durumu ilerde anlatılacaktır. Çarpma ve bölme cetvelleri hazırlamışlardır.

Roma rakamlarının temellerini çentiklerle atmışlardır. On binlerce yıl önce sayma ve kayıt tutma amacıyla kullanılan kemikler ve üzerlerindeki çentikler, matematiğin insanlık tarihindeki başlangıcı sorunsalını iyice belirsizliğe sürükler. Günümüzde Roma rakamı olarak anılan I, V, X şeklindeki rakamlar o çağların çentiklerinden başka bir şey değildir.

Asal sayılara karşı ilgi göstermişlerdir. Yukarıdaki resimde sol üstteki kemiğin çentiklerine dikkat edilirse, biri hariç olmak üzere (9) hepsinin asal sayılar olduğu görülür. Bu buluntu, konuyu çok ilginç bir hale sokmaktadır. Ayrıca, dünyanın çeşitli yerlerinde mağaralarda yapılan kazılarda 40 bin yıl öncesine ait kemikler üzerinde de hesap izlerine rastlanmıştır.

Üçüncü dereceden denklemlerin çözüm yollarını bile biliyorlardı. 60 Sayma sistemini kullandılar. Tarihin ilk rakamları 6 tanedir. Bunlar 1, 10, 60, 600, 3600 ve 36000’dir. Sumerliler 60 ve 60’ın katlarıyla iş görürlerdi. Sumerliler 60 sayısını seçmiştir; çünkü bölen sayısı fazladır : 60 sayısının 12 tam böleni vardır : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60. Buna karşılık 100 sayısının sadece 9 tam böleni vardır: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ve 100. Görüldüğü gibi, ilk rakamlar ve Sümer sayı dizgesi, üleşme problemlerine cevap bulmak amacıyla kolaylaştırıcı niteliği dolayısıyla seçilmiştir. Üçüncü dereceden denklemlerin çözüm yollarını bile biliyorlardı.

12 sayısı 60 sayısından daha önemli ve kutsaldır. Sümerlilerin inanışında 12 sayısını öne çıkaran, gökbilimcilerin söz konusu gözlemleridir. 1. Ay’ın Dünya çevresinde yılda 12 kez döndüğünü gözlemlediler. 2. Bir yılın, her biri 30 gün süren 12 aydan meydana geldiğini gözlemlediler. Bir yılın 12 ay ve 360 gün olduğunu ifade eden tablet bulunmuştur. 3. Ay, günde 12 derecelik bir açısal mesafeyi tarıyordu. 4. Dünya (12 x 2) 24 derece eğimli olarak dönüyordu.

5. Burçlar Kuşağı denilen kuşak, kuzeyle 12 ve güneyle 12 derecelik açı yapan bir bant içinde yer alan yıldızlardan oluşmaktaydı. 6. Kutsal 60 sayısının 12 tane tam böleni vardır. 7. Kutsal 60; 10 ve 12 sayılarının en küçük ortak katıdır. 8. Jüpiter gezegeni güneş etrafındaki turunu 12 yılda tamamlıyordu. Bugünün imkânlarıyla yapılan ölçümlere göre 11,9 yıl sürer. 9. Astronomi dışından da bir bilgi ekleyelim: İnsanların kaburga kemikleri 12’si sağda 12’si solda olmak üzere 12 çifttir.

Sümerliler matematiğin gökten indirildiğine inanırlardı Sümerliler 12 sayısını “Tanrının bahşettiğine” inanırlar ve “Gök’ten indirilen bilgi olan matematiğin” anahtar sayılarından biri olarak nitelerlerdi. Mesela Sümer panteonunda 12 tanrı yer alır. Sümerliler, ileri derecede geometri bilgisine de sahiptiler Öklid geometrisinin belli başlı konularını kapsayan birçok analitik geometri problemi, 3 bin yıl önce Sümer okullarında öğrencilerin önüne konuyordu. Kanıt niteliğindeki tablet, MÖ 17. yüzyıla aittir ve bir çember üzerine çizilen kirişlerin ayırdığı çember yaylarıyla ilgili çeşitli problemleri ve çözüm yollarını içermektedir

B-) AKADLAR ‘ DA ASURLULAR ‘ DA VE ELAMLILAR ‘ DA MATEMATİK Akadlar Sümer kültürünü benimsemişlerdir Elamlılar gibi matematiksel ugraşlar içerisine girdiklerine dair delil bulunmamaktadır. Geometri, matematik, jeoloji, botanik, coğrafya, tıp ve kimya üzerine yazılmış birçok Asur eserleri de bulunmuştur.  Matematik alanında yeni bilgiler eklemeselerde hem Elamlılar hem Akadlar hem de Asurlular Sümerlerin devamı niteliğinde oldukları için Sümerlerin hakim oldugu matematik ve geometri bilgi birikimine hakimdirler

C-) BABİLLER ‘ DE MATEMATİK M.Ö. 2000 yıllarında Mezopotamya'da yaşayan Babillilerin, bilimin çoğu dalında, oldukça ileri bir seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki; Babil şehrini zamanın bilim merkezi haline getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide çok ilerlemişlerdir. Hatta çoğu kaynakta “ Mezopotomya Matematiği ” tabiri yerine “ Babil Matematiği “ tabiri kullanılmaktadır.

Babilliler, 59'dan büyük sayıları da, basamak düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60'lık olarak, yani 60x2 = 120, ... şeklinde yaptılar. Böylece ilk kez sayılarda basamak fikrini gösterdiler. Babil okullarında öğrenciler ilk olarak 60 tabanlı dizgede çarpım cetvelini ezberlemekteydi. Böyle bazı tabletler bulunmuştur. Bunun, 10’lu dizgedeki ezberden daha zor olduğuna dikkat edilmelidir.

Babiller, sayıları yazarken iki tane sembol ve bulunmayan basamaklar yerini doldurmak için de, (( : )) işaretini kullanmışlardır. Babil rakamları arasında da, sıfır rakamını gösteren bir sembol yoktur. Rakamları sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri anlaşılmaktadır. Babilliler, kil tabletler üzerine "sitilüs" adı verilen tahta parçası ile yazarlardı. Bu tür yazıya çivi yazısı denir. Kağıt yapmayı, henüz bilmediklerinden, kilden yapılmış levhalar kullanmışlardır.

Dört Temel İşlem A-) Toplama: Rakamları (işaretleri) yan yana yazarak yapıyorlardı. B-) Çarpma: Toplama işlemine benzer, çok yorucu bir yol uyguluyorlardı. Bu kadar uzun işlemlerin zorluğu karşısında, özel çarpma tabloları hazırlamışlardır. C-) Kesirler: Çoğu zaman kesirler, paydası birim (yani 60) olan sayı ile ifade ediliyordu. Yalnız, çok eski tarihten beri, Babil'de 1/3, 2/3, 5/6 gibi bir çok basit kesirlerin kullanıldığı da anlaşılmaktadır.

Babil matematiği, altmışlı kesirli (60 tabanlı) bir sayısal sistem kullanılarak yazılmıştı. Bundan, bir dakika içinde 60 saniyenin, bir saat içinde 60 dakikanın ve bir daire içinde 360 (60 x 6) dereceni ve bunların yanı sıra saniyelerin ve dakikaların ve bir derecenin kesirlerinin gösterilmesi için yay dakikaları gibi çağdaş günün kullanılması türetilir.

Mısırlılar, Yunanlar ve Romalılar’dan farklı olarak Babilliler, desimal sistemde çokça olduğu gibi, daha büyük değerler ile temsil edilen basamakların sol sütunda yazılmış olduğu bir gerçek yer değeri sistemine sahipti. Bununla birlikte, ondalık noktanın eşdeğeri yoktu ve böylece bir sembolün yer değerinin çoğunlukla bağlamdan çıkarılır olması gerekiyordu.

a.b + ( a – b ) = 153 a + b = 27 a = ? b = ? a.b = ? Bugün bir veya çok bilinmeyenli cebir denklemleriyle çözdüğümüz türden birçok problemlere Babil tabletlerinde rastlanmıştır. Mesela bulunan bir tablette, bir dikdörtgenin eniyle boyunu veren sayılar birbiriyle çarpılır ve bu sayılar arasındaki fark, bu çarpıma eklenirse 153 elde ediliyor. Aynı sayılar birbirine eklenirse 27 çıkıyor. Bu şeklin eni, boyu ve yüzölçümü nedir sorusu soruluyor ve cevap olarak: 20, 7 ve 140 değerleri veriliyor. a.b + ( a – b ) = 153 a + b = 27 a = ? b = ? a.b = ?

Eski Babil tarzı aritmetiğin güncel kullanıma nazaran çok daha sofistike olduğu hakkında güçlü bir argüman vardır. Pisagor üçgenleri bağlamında anlamlı oluşunun gerçekleşmesinin ardından, Plimton 322’nin yorumlanması yıllardır tartışma kaynağı oldu. Tarihsel bağlamda, üçgenin eşit alanlar halinde yeniden bölünmesi ve ikizkenar yamuk (tam sayı boyu tarafları ile birlikte) sahalarının soya çekim problemleri, 2 nin kare kökünün hesaplanması ihtiyacı içinde hızlı bir şekilde dönüştürülmesi sağlanması, ya da “ tam sayılar halinde Pisagor Teoremi”’nin çözülmesi ile ilgilidir.

PİSAGOR TEOREMİNİN TAMSAYILI ÇÖZÜMÜ Bir pisagor üçlüsü oluşturan a, b ve c nin tam sayılar olmasına izin verelim: a^2 + b^2 = c^2. Daha sonra, c^2 - a^2 = b^2, ve iki adet kare farkı için açılımı kullanarak (c-a) (c+a) = b^2 yi elde edebileceğiz. b^2 ye bölündüğünde, (c/b - a/b) (c/b + a/b) = 1 yi veren iki rasyonel sayının ürünü olacaktır. Tersleri (karşıtları) olan ve 2 (a/b) den farklı olan iki rasyonel sayıya ihtiyaç duymaktayız.

60 LIK SAYMA SİSTEMİNE DETAYLI BİR BAKIŞ… Bu sayma sistemini ilk defa Sümerler kullanmış olsa da sistemi geliştiren Babiller oldugu için bu sistemdeki rakamlara BABİL RAKAMLARI denmektedir. Bir n lik sayma sisteminde yani n tabanına göre yazımda n tane rakam vardır. Örneğin günlük olarak kullandıgımız 10 luk sayma sisteminde 10 tane rakam vardır : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Dolayısıyla 60 tabanında da 60 tane rakam vardır : { 0,1,2,…..,58,59 } Ancak babilliler henüz 0 sayısını kullanmaya başlamadıkları için 59 tane rakam kullanmaktaydılar

BABİL RAKAMLARI

Görüldüğü gibi her rakam 1 ve 10 rakamlarının bileşimi şeklinde yazılmaktaydı. 65 yazılacagı zaman ise önce 1 sonrada boşluk bırakarak 5 yazılıyordu. 10 luk sistemdeki 15 sayısı 1 tane 10luk 5 tane birlik olarak ele alındıgı gibi 60 lık sistemde yazılan 1 5 sayısı 1 tane 60 lık ve 5 tane birlik olarak ele alınır. Ayrıca eger sağa dogru bir ekleme varsa bu sayıda onluk sistemdeki ondalıklı sayıya yani kesirli ifadeye karşılık gelmekteydi.

Şekilde kenarı 30 birim olan bir kare çizilmiş ve köşegeninin uzunluğu olarak ; İfadesi verilmiştir ki bu ifade : 42 + 25 / 60 + 35 / 3600 sayısını göstermektedir

İşin ilginç kısmı ise ; ( 45 + 25/60 + 35/3600 ) / 30 = 1,414212…. = 21/2 yani köşegenin uzunlugunun , karenin bir kenarının uzunluguna bölümü ; 2 sayısının kareköküne eşit olmasıdır. Ondalıklı ifadeye bir başka örnek ; Bu ifade ise “ 1 + 24 / 60 + 51 / 3600 + 1 / 216000 “ e eşittir.

MEZOPOTOMYA’DA “  “ SAYISI  sayısı üzerinde, Babilliler'in çok eski zamanlardan beri kullanılan yaklaşık bir bilgiye sahip oldukları anlaşılmıştır. Genel olarak  = 3 değerini kullanıyorlardı. Bu değeri; Mezopotamyalılar takribi sonuçlar için kullanmaktaydılar. Daha iyi yaklaşık sonuçlar elde etmek istedikleri zaman  = 3,125 değerini uygularlardı.

Mezopotamya Matematiğinin Tarih Açısından Önemi Kaynaklar pi sayısı için, ilk gerçek değerin, Archimedes tarafından kullanıldığını belirtir. Archimedes; pi sayısının değerini hesaplamak için bir yöntem vermiş ve pi değerini 3+1/7 ile 3+10/71 arasında tespit etmiştir. Archimedes'in sağlığında İskenderiye'de Öklid'den ders aldığı, Öklid'in de Eski Mısır ve Mezopotamya Babil yöresinde uzun yıllar dolaşan bir matematikçi olduğu, bilinen tarihi bir gerçektir. 

Bu konuda  sayısı durumu açıklamak için en basit örnektir Bu konuda  sayısı durumu açıklamak için en basit örnektir. Tales , Pisagor ve Öklid gibi Grek oldukları düşününlen ünlü bilim adamları aslında bilgi birikimlerini Mezopotamya’ya borçludur. Özellikle 19. yüzyıl sonları ve 20. yüzyıl boyunca Sumer tabletleri üzerinde yapılan incelemeler, matematiğin kökenlerinin Sumerlilere dayandırmak gerektiğini kanıtlamaktadır. Kesin kanıtlardan biri Pisagor sayıları olarak anılan sayıları içeren tablettir. Hatırlanacağı üzere Pisagor’un adıyla anılan bir teoremdir. Çünkü söz konusu 3’lü sayılar, MÖ 17. yüzyıldan kalan ve Tel Harmal’da gün yüzüne çıkartılan bir tablet üzerinde yer almaktadır.

İLGİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER  Mustafa Kemalettin Anlar Abdulsamet Senyücel İbrahim Halil Salman