Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol DERS 12 GRADYAN VEKTÖR YÖNLÜ TÜREV Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol KAPALI FONKSİYON fonksiyonuna nin kapalı fonksiyonu denir. Burada ve dolaysıyla fonksiyonunun bir yüzey belirttiği açıktır. Gradyan Vektör: operatörüne Del ya da Nabla Operatörü, vektörüne de fonksiyonunun (yüzeyinin) gradyan vektörü denir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol iki değişkenli fonksiyonu 3 boyutlu uzayda bir yüzey belirtir. olmak üzere üç değişkenli fonksiyonu da 3 boyutlu uzayda aynı yüzeyi belirtir. fonksiyonu bir bölgesinin (a,b) noktasında tanımlı ve türevli ise fonksiyonu da (a,b,c) noktasında tanımlı ve türevlidir. olmak üzere Po noktasında yüzeyine dik bir vektördür. yüzeyinin bir noktası olmak üzere Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Teğet Düzlemin Denklemi: yüzeyi üzerinde sabit bir nokta P˳(xo ,yo ,zo) olsun. P(x,y,z) teğet düzlemin herhangi bir noktası olman üzere yüzeyin P(xo,yo ,zo ) noktasında yüzeye teğet olan düzlemin denklemi; yani olur. P(xo,yo ,zo ) noktasında yüzeye dik olan normal doğrunun denklemi ise olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: teğet düzlemin ve normal doğrunun denklemlerini yazınız. yüzeyi üzerinde Po(2,1,6) noktasındaki Yüzey denklemini şeklinde yazarsak yüzeyin Po noktasındaki normal vektörü Çözüm: olur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: noktasındaki teğet düzlemin ve normal doğrunun denklemlerini yazınız. yüzeyi üzerinde Po(3,3,1) Çözüm: Yüzeyin PO noktasındaki teğet düzlemin normal vektörü dır. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklemlerini yazınız. yüzeyinin yatay teğet düzlemlerinin Yatay düzlemlerin denklemleri z = c şeklindedir ve yatay teğet düzlemler yüzeyin maksimum ya da minimum noktalarında olur. Buna göre Çözüm: yatay teğet düzlemin denklemi Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: denklemlerini yazınız. yüzeyinin yatay teğet düzlemlerinin Yatay düzlemlerin denklemleri z = c şeklindedir ve yatay teğet düzlemler yüzeyin maksimum ya da minimum noktalarında olur. Buna göre Çözüm: yatay teğet düzlemlerdir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: yüzeylerinin arakesit eğrisinin K(-3,2,5) noktasındaki teğet vektörünü bulunuz. Bu vektör iki yüzeyin K(-3,2,5) noktasındaki teğet düzlemlerinin arakesit doğrusunun doğrultman vektörüdür. Dolaysıyla bu vektör her iki yüzeyin K(-3,2,5) noktasındaki normal vektörlerine diktir. Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol YÖNLÜ TÜREV yönündeki türevi olarak tanımlanır. fonksiyonunun bir Po noktasındaki ve bir vektörü olur. vektörünün vektörü yönündeki bileşenidir. Bu da fonksiyonunun vektörü yönündeki değişim oranını verir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol olur. vektörleri yönündeki (bileşenlerini) değişimini gösterir. türevleri sıra ile fonksiyonunun Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol fonksiyonunun teğet vektörü yönündeki değişimi sıfırdır. teğet teğet fonksiyonunun vektörü yönündeki değişimi ise en büyüktür. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: yüzeyi veriliyor. fonksiyonunun maksimum değişim oranını bulunuz. fonksiyonunun A(1,-1,2) noktasından B(3,1,1) ye olan doğrultuda ve noktasındaki değişim oranını bulunuz. Çözüm: b) En büyük değişim vektörü yönündeki değişimdir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: yüzeyi veriliyor. a) b) A(1,1,-2) noktasındaki teğet düzlemin ve normal doğrunun denklemlerini yazınız Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: yüzeyi veriliyor. vektörü yönünde ve P(1,-1,1) noktasındaki yönlü türevini hesaplayınız. Yani, Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: veriliyor. Çözüm: Örnek: fonksiyonunun vektörü doğrultusundaki türevinin A(1,2,-1) noktasındaki değerini bulunuz. Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: fonksiyonunun Po(1,2,3), P1 (3,5,0) noktalarını birleştiren doğru boyunca türevinin Po noktasındaki değerini bulunuz. Yani Çözüm: Örnek: fonksiyonunun noktasındaki türevinin maksimum olduğu doğrultuyu ve maksimum değerini bulunuz. Çözüm: Türevin maksimum olduğu doğrultu doğrultusudur. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: fonksiyonunun yüzeylerinin arakesit eğrisinin Po (3,4,5) noktasındaki teğeti boyunca türevini hesaplayınız. Yüzeylerin bir Po noktasındaki arakesit eğrisinin teğeti, PO noktasındaki teğet düzlemlerin normallerine dik bir vektördür. Buna göre, Çözüm: Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol yerine aynı doğrultuda olan vektörü alınabilir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Örnek: ve yüzeyleri veriliyor. a) Yüzeylerin grafiklerini çiziniz b) Arakesit eğrisinin denklemini bulunuz. c) A(1,-1,2) noktasındaki teğet düzlemlerin arakesit doğrusunun denklemini yazınız. d) yüzeyinin A(1,-1,2) noktasındaki yönlü türevinin sıfır olduğu bir doğrultu bulunuz. e) yüzeyinin A(1,-1,2) noktasındaki maksimum değişim miktarını bulunuz. f) Teğet düzlemler arasındaki açıyı hesaplayınız. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Çözüm: a) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Çözüm: b) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Çözüm: c) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Çözüm: c) Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol Arakesit doğrusu her iki düzlemin normallerine diktir. Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol d) Bir u vektörü yönündeki türev gradyan vektörün u vektörü üzerindeki izdüşümü olduğuna göre yönlü türevin sıfır olması için u vektörünün gradyan vektöre dik olması gerekir. Gradyan vektör teğet düzlem içindeki her doğrultuya dik olacağından teğet düzlem içinde bir doğrultu bulmak yeterlidir. Gerçekten Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol e) yüzeyinin A(1,-1,2) noktasındaki maksimum değişim miktarı gradyan vektörün boyuna eşittir. f) teğet düzlemler arasındaki açı normalleri arsındaki açı olduğundan Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol

Yrd.Doç.Dr. Mustafa Akkol