Eğik Eğilme Unsymmetric Bending

Chapter Outline Pure Bending Unsymmetric Bending Inertia moments Maximum and minimum stresses Unsymmetric Bending

Pure Bending / Basit Eğilme Analysis of pure bending has been limited to members subjected to bending couples acting in a plane of symmetry. Members remain symmetric and bend in the plane of symmetry. The neutral axis of the cross section coincides with the axis of the couple Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending for Symmetric Cross-section Simetrik Kesitli Kirişlerde Eğik Eğilme Will now consider situations in which the bending couples do not act in a plane of symmetry. Cannot assume that the member will bend in the plane of the couples. Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending for symmetric cross-section Wish to determine the conditions under which the neutral axis of a cross section of arbitrary shape coincides with the axis of the couple as shown. The resultant force and moment from the distribution of elementary forces in the section must satisfy neutral axis passes through centroid

defines stress distribution or defines stress distribution couple vector must be directed along a principal centroidal axis

Unsymmetric Bending for symmetric cross-section Superposition is applied to determine stresses in the most general case of unsymmetrical bending. Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes. Unsymmetric Bending

Superpose the component stress distributions Combined stress,

Along the neutral axis, normal stress must be zero. Thus Unsymmetric Bending

Example 4.08 A 1600 lb-in couple is applied to a rectangular wooden beam in a plane forming an angle of 30 deg. with the vertical. Determine the maximum stress in the beam, the angle that the neutral axis forms with the horizontal plane. Unsymmetric Bending

Solution Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes and calculate the corresponding maximum stresses. Combine the stresses from the component stress distributions. Unsymmetric Bending

Determine the angle of the neutral axis. Unsymmetric Bending

Resolve the couple vector into components and calculate the corresponding maximum stresses. Unsymmetric Bending

Determine the angle of the neutral axis. Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Distribution of the streeses in the cross-section. Unsymmetric Bending

Örnek: Şekildeki kirişin A ve B noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. x y b=60 mm h=80 mm L=1 m F=10 kN A B

Çözüm: B A F=10 kN Kesit özellikleri (atalet momentleri): M y h=80 mm b=60 mm x y h=80 mm F=10 kN M B

B A F=10 kN Eğilme momenti bileşenleri: M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending

B A F=10 kN Tarafsız Eksen (TE) TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending

B A F=10 kN A ve B noktalarındaki gerilmeler: TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending

B A F=10 kN A ve B noktalarındaki gerilmeler: TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending In general, the neutral axis of the section will not coincide with the axis of the couple. Unsymmetric Bending

Simetrik Olmayan Kirişlerde Eğilme

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

ve Unsymmetric Bending

Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı: σz gerilme fonksiyonu sıfıra eşitlenirse Tarafsız Eksen (TE) denklemi ve Tarafsız Eksenin açısı bulunur. Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı: TE Unsymmetric Bending

Örnek: Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için: A Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için: Ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz. Kesitteki eğilme momentinin değeri M=20 kNm olduğuna göre bileşenlerini bulunuz. Tarafsız Ekseni belirleyiniz. A, B ve C noktalarındaki gerilmeleri hesaplayınız. Kiriş kesitindeki ekstremum gerilmeleri belirleyerek emniyetli olup olmadığını irdeleyiniz. G B C Unsymmetric Bending

Kesitin ağırlık merkezinin yeri: Unsymmetric Bending

Atalet Momentleri: Paralel Eksen Teoremi Y y xi Ci C x yi O X Unsymmetric Bending

Paralel Eksen Teoremi ile Y X Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenlerine kesitin atalet momentleri: Paralel Eksen Teoremi ile Unsymmetric Bending

Eğilme momentinin bileşenleri: A Eğilme momentinin bileşenleri: G B C Unsymmetric Bending

Gerilme Denklemi: Unsymmetric Bending

Tarafsız Eksen Denklemi: Tarafsız Eksen Denklemi, Gerilme denklemi sıfıra eşitlenerek bulunur: T.E. Tarafsız Eksenin eğim açısı : Unsymmetric Bending

Kesitteki gerilmeler: A(-35;115) noktası T.E. A B(-35;-65) noktası C(85;-65) noktası B C Kesit kontrolü Olduğundan kiriş emniyetsizdir.

Örnek: şekildeki ‘L’ kesitli kirişin C noktasına P=4 kN luk eğik bir kuvvet uygulanmaktadır. Ҩ=60 olduğuna göre: Kesitin ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Atalet momentlerini hesaplayınız. T.E. Tarafsız ekseni bulunuz. Maximum çeki ve bası gerilmelerini hesaplayınız. Unsymmetric Bending

Çözüm: Ağırlık merkezinin yeri Atalet momentleri Ix =2.783x106 mm4 Iy =1.003x106 mm4 Ixy =-0.973x106 mm4 Unsymmetric Bending

Momentin bileşenleri Unsymmetric Bending

Gerilme fonksiyonu Unsymmetric Bending

Tarafsız Eksen Denklemi ve Açısı Unsymmetric Bending

T.E. den en uzak noktalar: Gerilmeler T.E. den en uzak noktalar: Unsymmetric Bending

Örnek: Yükleme durumu ve kesiti görülen kirişin A, B ve C noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız ve σem=200 MPa için kirişin kontrolünü yapınız. 10 40 60 mm y x C F A B Fy a b z y Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

Unsymmetric Bending

General Case of Eccentric Axial Loading Consider a straight member subject to equal and opposite eccentric forces. The eccentric force is equivalent to the system of a centric force and two couples. By the principle of superposition, the combined stress distribution is If the neutral axis lies on the section, it may be found from Unsymmetric Bending