FONKSİYONLAR f : A B

Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için : 1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ; 2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.                             

f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2 elemanının 1’den fazla değeri olduğu için fonksiyon değildir. Tanım kümesinde açıkta eleman kaldığı için fonksiyon değildir. f(2) = tanımsız.

Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur Her iki şartı da sağladığı için fonksiyondur. A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır. A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A  B şeklinde gösterilebilir. x  A ve y B olmak üzere f : x  y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.

Örnek 1: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun : Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 6³ = 216 tanedir.

Örnek 2: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y=f(x) =x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin : Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım : f(1)=1+2= 3 ; f(2) = 2+2= 4 ; f(3) =3+2= 5 olduğundan f (A) = {3,4,5} olur. Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :

Örnek 3: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y=f(x)=x²+1 şeklinde ifade edilen fonksiyonu liste ve grafik Yöntemiyle gösterelim: Çözüm : f(-1) =(-1)²+1= 2 ; f (0) = 0²+1=1 ; f( 1)=1²+1²=2 ; f( 2) =2²+1= 5 olduğuna göre : f(A) = {1,2,5} olur. Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :

Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , Örnek 4 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz : Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir. Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 } Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 } Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }

Örnek 5 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ; Değer kümesi = [-5,8] ; Görüntü kümesi = [-5,8] . Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.

Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve Örnek 6 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyonmudur? Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz. Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.

Örnek 7: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ? Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4, ) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.

FONKSİYON TÜRLERİ

1. İçine fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.

2. Örten fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesine eşit (değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.

3. Bire-bir (1-1) fonksiyon Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.                                            

4. Sabit fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir

5. Birim fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.

ÖRNEK: Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur. Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?

Örnek 14: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.

Örnek 15: Aşağıdaki f : R  [-4, ) ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.

Örnek 16: Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.

Örnek 17 : Aşağıdaki f : R  R ne tür bir fonksiyondur ? Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.

Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada Örnek 18 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ? Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada Kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir. s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere : A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ; A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ; A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).

Örnek 19 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ? Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 4³ olduğundan dolayı s(A) = 3’tür. Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da odur.

Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir Örnek 20 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’nın eleman sayısı nedir? Çözüm : 27 = 3³ olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.

Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir Örnek 21 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ? Çözüm : olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon sayısı 6 olur.

A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir. 6. Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir. Örnek:                                             s(A) = a olmak üzere : A’dan A’ye tanımlanan 1-1 ve örten fonksiyon sayısı a ! ‘ dir.

Örnek 23 : A kümesi üzerinde 24 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre 1-1 ve örten olmayan fonksiyon sayısı kaç tanedir ? Çözüm : 24 = 4! olduğundan s(A) =4 ‘ tür. Dolayısıyla toplam fonksiyon sayısı 4^4 = 256 olur. Bunların da 24 tanesi 1-1 ve örten olduğundan geri kalan 256-24 = 232 tanesi 1-1 ve örten değildir.

Örnek 24 : A kümesi üzerinde 6 tane 1-1 ve örten fonksiyon tanımlanabildiğine göre A kümesi üzerinde tanımlanabilen bağıntıların kaç tanesi yansıyan değildir ? Çözüm : 6 = 3! olduğundan s(A) = 3 ‘ tür. Dolayısıyla toplam bağıntı sayısı 29 olup bunların 26 tanesi yansıyandır. Geriye kalan 2^9 – 2^6 =512-64 tanesi yansıyan değildir.

Örnek 25 : Aşağıda grafiği verilen f : A  B fonksiyonunu permütasyon fonksiyonu formunda yazalım .                                             Çözüm : f (1) = 3 ; f (2) = 1 ; f (3) = 2 olduğundan f fonksiyonu şeklinde yazılabilir.

7. Tek ve çift fonksiyonlar : Tanımlı olan tüm x değerleri için f (-x) = -f (x) oluyorsa tek ; f (-x) = f (x) oluyorsa çift fonksiyon denir. Diğer bir deyişle başlangıç noktasına (0,0) göre simetrik fonksiyonlar tek ; y eksine göre simetrik fonksiyonlar çift fonksiyondur.

Örnek 26: f(x) = sinx +3x -x3 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f (-x) = sin (-x) + 3(-x) -(-x)3 = -sinx -3x +x3 = -(sinx +3x -x3) = -f(x) olduğundan tek fonksiyondur.

Örnek 27: f(x) = x2 + 4 -cosx fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f(-x) = (-x)2 + 4 -cos(-x) = x2 + 4 -cosx = f(x) olduğundan çift fonksiyondur.

Örnek 28: f(x) = x2 + x3 -3 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f(-x) = (-x)2 + (-x)3 -3 = x2 - x3 -3 olduğundan ne tek ne de çift fonksiyondur.

Örnek 29: f(x) = 0 fonksiyonu tek mi çift midir ? Çözüm : f (-x) = f(x) = -f(x) = 0 olduğundan fonksiyon hem tek hem de çifttir. Diğer bir deyişle f(x)=0 fonksiyonu yani x ekseni hem başlangıç noktası hem de y eksenine göre simetriktir.

Örnek 30: 2f(x) - x -2 = f(-x) fonksiyonu çift olduğuna göre f (x) fonksiyonunu bulunuz. Çözüm : Çift fonksiyon olduğundan f(x) = f(-x) olur. Dolayısıyla 2f(x) - x -2 = f(x) olacağından f(x) = x+2 olur.

8. Periyodik fonksiyonlar : Eğer bir f(x) fonksiyonunda f (x) = f (x+t) olacak şekilde bir t gerçek sayısı bulunuyorsa f (x) fonksiyonu periyodiktir. Buradaki t sayısına da o fonksiyonun periyodu denir. Diğer bir deyişle periyodu t olan bir fonksiyonda f(x+t) = f(x) ==> ( x+t ) - x = t olur.

Örnek 31: f (x) = g ( 2x+3 ) ile tanımlı iki periyodik fonksiyondan g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ‘ tir. Buna göre f(x) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : f (x) fonksiyonunun periyoduna t dersek f(x+t) = f(x) olmalıdır. Dolayısı ile g ( 2x+2t +3) = g( 2x+3) ve ( 2x+2t +3) - ( 2x+3) = 5 olmalıdır ( çünkü g (x) fonksiyonunun periyodu 5 ) buradan t = 5/2 bulunur. f (x) fonksiyonunun periyodu t ise f (ax+b) fonksiyonunun periyodu olur. Buna göre g (x) fonksiyonu için t=5 olduğuna göre g ( 2x+3) fonksiyonunun periyodu da 5/2 ‘dir de diyebilirdik. f(x) ve g(x) gibi iki fonksiyonunun periyotları t1 ve t2 ise bu iki fonksiyonun toplam veya farklarının periyotları OKEK(t1 , t2 ) olur. Çarpım veya bölümlerinin periyotları ise bu fonksiyonları toplam veya fark formuna çevirerek bulunur.

Örnek 32 : f(x) fonksiyonunun periyodu 3, g(x) fonksiyonunun periyodu 4 ise h(x) = f (3x+5)-g(2x+7) fonksiyonunun periyodu nedir ? Çözüm : f (3x+5) fonksiyonunun periyodu 3/3 = 1 ve g(2x+7) fonksiyonunun periyodu 4/2 = 2 olduğundan h(x) fonksiyonunun periyodu OKEK(1,2) = 2 olur.

FONKSİYONLARIN TOPLAMI, FARKI, ÇARPIMI, BÖLÜMÜ

f (x) ve g (x) fonksiyonları için h (x) = ( f + g ) (x) = f (x) + g (x) fonksiyonuna toplam fonksiyonu ; h (x) = ( f - g ) (x) = f (x) - g (x) fonksiyonuna fark fonksiyonu ; h (x) = ( f . g ) (x) = f (x) . g (x) fonksiyonuna çarpım fonksiyonu ; h (x) = ( f / g ) (x) = f (x) / g (x) fonksiyonuna bölüm fonksiyonu denir. Burada dikkat edilmesi gereken noktalardan birincisi h (x) fonksiyonunun tanım kümesi f ve g fonksiyonlarının tanım kümelerinin kesişim kümesidir , ikincisi ise fonksiyonlar üzerinde tanımlanan işlemler fonksiyonların görüntü kümeleri üzerinde yapılacaktır.

Örnek 36 : f (x) = 3x+5 fonksiyonu için tanım kümesi A = {-1,1,2,3} ve g (x) = 2x-3 fonksiyonu için tanım kümesi B = {-1,2,3,4} olduğuna göre h (x) = (f+g)(x) fonksiyonunun tanım ve değer kümelerini bulunuz. Çözüm : Tanım kümesi = A  B = {-1,2,3} olur. h (x) = (3x+5) + (2x-3) = 5x+2 olduğundan h (-1) = -3 h ( 2) = 12 h (3) = 17 olur ve değer kümesi de G = {-3,12,17} şeklinde bulunur.

Örnek 37 : f : A  B , f (x) = {(1,2),(2,3),(3,4)} ve g : C  D , C = {1,2,3} ,g (x) = x+1 olduğuna göre h (x) = 2f(x)+3g(x) fonksiyonunun değer kümesini bulunuz . Çözüm : Fonksiyonlar incelendiğinde eşit fonksiyon oldukları görülmektedir. Dolayısı ile h (x) = 5f (x) diye düşünülebilir. h (1) = 5f (1) = 10 ; h (2) = 5f (2) = 15 ; h (3) = 5f (3) = 20 olduğundan değer kümesi ={10,15,20} olarak bulunur.