Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl. z-Dönüşümü Sayısal İşaret İşleme Dersi YTÜ, EHM Müh. Böl.

z-Dönüşümü Fourier Dönüşümünün genelleştirilmesidir. Çünkü Fourier Dönüşümü pek çok işaret için hesaplanamaz! Çoğu durumda z-dönüşümünü hesaplamak daha uygundur. Tanımı: DTFT tanımıyla karşılaştırırsak: z karmaşık bir değişkendir, z=r ej Eğer z=ej yerine konulursa, z-dönüşümü DTFT’ye dönüşür.

z-dönüşümü ve DTFT z-dönüşümü karmaşık z değişkeninin bir fonksiyonudur. Karmaşık z-düzlemi üstünde gösterilmeye uygundur. Eğer =0-2 aralığında z=ej çizilirse, birim çember (unit circle) elde edilir. Re Im Birim Çember  r=1 2

z-Dönüşümünün Yakınsaması DTFT her zaman yakınsamaz x[n] işareti mutlak toplanabilir değilse, DTFT sonsuz toplam üretir Örnek: x[n] = anu[n], |a|>1; işaretinin bir DTFT’si yoktur z-dönüşümünde karmaşık z değişkeni r ej olarak yazılır: x[n]’in DTFT’si üstel dizi r –n ile çarpılmıştır Dolayısıyla, bazı r değerleri için toplam sonlu olabilir z-dönüşümü {g[n]r-n}’in DTFT’sine eşittir.

Yakınsaklık Bölgesi z-dönüşümünün yakınsadığı tüm z değerleri kümesi Her bir r değeri yarıçapı r olan bir çemberi temsil eder Yakınsaklık bölgesi çemberlerden oluşur Re Im Örnek: z- dönüşümü 0.5<r<2 değerleri için yakınsıyorsa, ROC şekildeki gibidir ROC birim çemberi içerdiği için, DTFT’si hesaplanabilir Tüm dizilerin z-dönüşümü yoktur Örneğin: Herhangi bir r değeri için yakınsamaz ROC yoktur, z-dönüşümü yoktur Ama DTFT’si vardır! Dizi sonlu enerjilidir DTFT ortalama karesel anlamda (mean-squared sense) yakınsar

Örnek: Sağ-Taraflı Üstel Dizi (Nedensel) Re Im a 1 o x Yakınsaklık için gerekli koşul: ROC’de tanımlı X(z): ROC: Yarıçapı a olan çemberin dışındaki bölge Sağ-taraflı dizilerin (right-sided sequences) ROC’leri bir çemberin dışıdır.

Örnek: Sol-taraflı Üstel Dizi (Anti-causal) ROC: |z|< |a|

İki-Taraflı Üstel Dizi Im x o o x Re

Sonlu Uzunluklu Dizi

Z-Dönüşümünde ROC’nin Özellikleri ROC (0,0) noktasının etrafında bir halka ya da disk şeklindedir DTFT ancak ve ancak ROC’nin birim çemberi kapsamasıyla hesaplanabilir ROC içinde asla bir kutup olmaz Sonlu-uzunluktaki diziler için ROC bütün z-düzlemidir muhtemelen z=0 ve z= hariç Sağ-taraflı bir dizinin ROC’si en dıştaki kutbun dışındaki alandır (Muhtemelen z=  dahildir) Sol-taraflı bir dizinin ROC’si en içteki kutbun içindeki alandır (Muhtemelen z=0 dahildir) İki taraflı bir dizi kutuplar tarafında sınırlanan bir halkadır ROC kapalı bir alandır ROC belirlenmeden z-dönüşümü tek şekilde (“uniquely”) bir diziyi betimlemez

Transfer Fonksiyonu: Kararlılık, Nedensellik ve ROC İmpuls yanıtı h[n] olan bir sistem düşünelim z-dönüşümü H(z) ve kutup-sıfır diyagramı şekildeki gibi olsun Başka bir bilgi olmadan h[n] dizisi tek şekilde belirlenemez |z|>2 or |z|<½ or ½<|z|<2 Eğer sistem kararlıysa, ROC birim çemberi içermelidir: ½<|z|<2 Eğer sistem nedenselse, dizi sağ taraflı olmalıdır: |z|>2

Ters z-Dönüşümü

Ters z-Dönüşümü Gözlemleme yoluyla (Inspection Method) z-dönüşümünün tersi Cauchy integraliyle hesaplanır Daha kolay ve “kestirme” teknikler de var: Gözlemleme yoluyla (Inspection method) Kısmi kesirlere ayrıştırma yoluyla (Partial fraction expansion) Güç serilerine genişletme yoluyla (Power series expansion) Gözlemleme yoluyla (Inspection Method) Bilinen z-dönüşümü çiftlerini kullanarak Örnek:

Kısmi Kesirlere Ayrıştırma (Partial Fraction Expansion) ile Ters z-Dönüşümü Verilen bir z-dönüşümü şu şekilde ifade ediliyorsa: Kısmi kesirlerine ayrıştırılırsa İlk terim ancak M>N ise kullanılır Br bilinen bölmeyle hesaplanır İkinci terim tüm birinci dereceden kutupları temsil eder Üçüncü terim s dereceli kutupları simgeler Her bir yüksek dereceli kutup için benzer bir terim bulunur Her bir terimin gözlem yoluyla tersi hesaplanır

Kısmi Kesirlere Ayrıştırma Katsayılar: Örnekler üzerinden daha kolay anlaşılır!

Örnek: 2. Dereceden z-Dönüşümü Payın derecesi paydanın derecesinden küçük (z-1 cinsinden) Yüksek dereceli kutup yok

Örnek: Devam ediyor: ROC sonsuza doğru uzuyor Dolayısıyla sağ-taraflı bir dizi

Örnek 2: Bo’ı bulmak için bölme yapılmalı:

Örnek 2: Devam ediyor: ROC sonsuza uzuyor Sağ-taraflı dizi

Güç Serilerine Genişletme Yoluyla Ters z-Dönüşümü z-dönüşümü bir güç serisi olarak tanımlanır Genişletilmiş formuyla: Bu formdaki z-dönüşümleri kolayca tersine çevrilebilir (özellikle sonlu uzunlukta işaretler için) Örnek:

z-Dönüşümü Özellikleri: Doğrusallık Birleşmiş dizinin ROC’si her iki ROC’den daha büyük olabilir (Eğer toplamda kutup/sıfır sadeleşmeleri olursa) Örnek: Her iki dizi de sağ-taraflı Her iki dizinin z=a’da bir kutbu var Her iki dizinin ROC’si |z|>|a| olarak tanımlı Birleşmiş dizide z=a’daki kutup, z=a’daki sıfırla sadeleşiyor Birleşmiş ROC tüm z-düzlemini kaplıyor, z=0 hariç

z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Kayma no bir tamsayı Eğer pozitifse, dizi sağa kayar Eğer negatifse, dizi sola kayar ROC kaymaya göre değişebilir z=0 veya z= noktalarına kutup eklenip, çıkabilir Örnek:

z-Dönüşümü Özellikleri: Üstelle Çarpma ROC |zo| ile ölçeklenir Tüm kutup/sıfır yerleri ölçeklenir Eğer zo pozitif bir gerçel sayıysa: z-düzlemi küçülür ya da büyür Eğer zo birim genlikli karmaşık bir sayıysa döndürür Örnek: Bu durumda, aşağıdaki ifadenin z-dönüşümünü bulalım:

z-Dönüşümü Özellikleri: Türev Alma Örnek: z-dönüşümü özelliklerini ve ROC’yi kullanarak

z-Dönüşümü Özellikleri: Eşleniklik Örnek

z-Dönüşümü Özellikleri: Zamanda Ters Çevirme Örnek: Zamanda ters çevrilirse:

z-Dönüşümü Özellikleri: Konvolüsyon Zamanda konvolüsyon z-bölgesinde çarpmaya karşılık gelir Örnek: Dizilerin konvolüsyonunu hesaplayalım: z-dönüşümlerinin çarpımı ROC: Eğer |a|<1 ise ROC: |z|>1; eğer |a|>1 ise, ROC: |z|>|a| Kısmi kesirlere ayrıştırma ile Y(z) belirlenir: