İntegralinde u=g(x) ve Dönüşümü yapılarak integral haline getirilir. Örnek-1- integralini hesaplayınız Çözüm:

Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm: Örnek-3- integralini hesaplayınız.

Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-6- integralini hesaplayınız. Çözüm: Örnek-7- integralini hesaplayınız.

Örnek-8- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-9- integralini hesaplayınız. Çözüm: Örnek-10- integralini hesaplayınız.

Örnek-11- integralini hesaplayınız. Çözüm: I1 I2

Örnek-12- integralini hesaplayınız. Çözüm: Örnek-13- integralini hesaplayınız.

Örnek-14- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-1- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-3- integralini hesaplayınız. Çözüm: I

Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-5- integralini hesaplayınız. Çözüm: I

Örnek-1- integralini hesaplayınız. Çözüm: X+1 - - 2

Örnek-2- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-3- integralini hesaplayınız. Çözüm:

Örnek-4- integralini hesaplayınız. Çözüm:

belirsiz integrali için Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)

Belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) B) C D) E)

İntegralinin çözümü aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)

Belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)

belirsiz integrali için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)

6. belirsiz integrali için Aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)

belirsiz integrali için, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B) C) D) E)

Örnek: f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür? Çözüm: Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir. Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur. -3/2 3/2 x y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3 m=f-1(x)=-4 x=1 için f(1)=2 A(1,2) Teğetin denklemi: y-y1=m(x-x1) y-2=-4(x-1) y=-4x+6

1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden; 2.Yol:

Örnek: Çözüm: A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2) İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz. Çözüm: Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım. A(0,r) B(h,0) y x A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2) (x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1) (x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r) -x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h

Buna göre;

Örnek: y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

ÇÖZÜM: A=A1+A2 y=x2-2x y x 3 2

Örnek: y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?

ÇÖZÜM: -1 y=3 y=x3-1

Örnek: y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?

ÇÖZÜM: e 1 y=lnx y x CEVAP B

Örnek: y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?

ÇÖZÜM: -1 1 y=x2 y=2-x2 y=x2 y=2-x2 x2=2-x2 2x2=2 ise x2=1 x=1, x=-1

Örnek: f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?

ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur. y=lnx 1 e f(x) = lnx A(e,1) f´(x)=1/x ise m=1/e dir y-y1=m(x-x1) y-1=1/e(x-e) y=x/e-1+1 y=x/e

Örnek: f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360 döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?

ÇÖZÜM: f(x) =g(x)  x2=x  x=0 veya x=1 f(x) =x2 g(x) = x

Örnek: y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360 döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.

ÇÖZÜM: y = x2  x = y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:

Örnek: x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?

Vy=4/3 br3 =4/3*8 32/3 br3 Oluşacak şekil küre olduğundan ÇÖZÜM: M(0,3) r=2 Oluşacak şekil küre olduğundan Kürenin hacmi ile de çözülebilir. 3 1 5 y=(4-x2)+3 -2 2 Vy=4/3 br3 =4/3*8 32/3 br3

Örnek: y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?

ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2 y2=x2 y1=4 -2 2