AST409 Astronomide Sayısal Çözümleme III. Sonlu Farklar Hesabı

Sonlu Farklar Hesabı Sonlu farklar Birinci mertebe ileri fark : f = f(x+h) – f(x) Birinci mertebe geri fark : f = f(x) – f(x-h) Birinci mertebe merkezi fark : δf = f(x+h/2) – f(x-h/2) Operatörler Ortalama operatörü : μ f(x) = ½ (f(x+h/2) + (x-h/2)) Kaydırma operatörü : E f(x) = f(x+h) = f (x) + f(x) = (f + 1) Türev operatörü : D f(x) = df / dx

Sonlu Farklar Hesabı Örnek: Taylor serisi için kaydırma operatörünü hesaplayınız. f(x) fonksiyonu için x = xi komşuluğundaki Taylor fonksiyonu, f(x) = f(xi)+ (x - xi) f’(xi) + (x - xi)2 f’’(xi) / 2! + (x - xi)3 f’’’(xi) / 3! + ... ... + (x - xi)n f(n)(xi) / n! + Rn x  xi + h f(xi + h) = f(xi) + (xi + h - xi) f’(xi) + (xi + h - xi)2 f’’(xi) / 2! + (xi + h- xi)3 f’’’(xi) / 3! + ... + (xi + h - xi)n f(n)(xi) / n! + Rn f(xi + h) = f(xi) + h f’(xi) + h2 f’’(xi) / 2! + h3 f’’’(xi) / 3! + ... f(xi + h) = f(xi) + h D f(xi) + h2 D2 f(xi) / 2! + h3 D3 f’(xi) / 3! + ... f(xi + h) = (1 + h D + h2 D2 / 2! + h3 D3 / 3! + ... ) f(xi) f(xi + h) = ehD f(xi)

İkinci ve Daha Yüksek Mertebeden Farklar x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, ... , xn = x0 + nh f(x0) = f0, f(x1) = f1, f(x2) = f2, f(x3) = f3, .... , f(xn) = f0 olmak üzere İleri Farklar: f(x) = f(x+h) – f(x) fi = fi+1 – fi 2 fi = ( fi) =  (fi+1 – fi) = fi+1 – fi = (fi+2 – fi+1) - (fi+1 – fi) = fi+2 – 2fi+1 + fi 3 fi = (2 fi) = (fi+2 – 2fi+1 + fi) = .... r fi = (r-1 fi) = r-1 ( fi) = r-1 (fi+1 – fi) = r-1 fi+1 – r-1 fi Geri Farklar: fi = fi – fi-1 2 fi = ( fi) =  (fi – fi-1) = fi – fi-1 = (fi – fi-1) - (fi-1 – fi-2) = fi – 2fi-1 + fi-2

İkinci ve Daha Yüksek Mertebeden Farklar 3 fi = (2 fi) = (fi – 2fii-1 + fi-2) = .... r fi = (r-1 fi) = r-1 ( fi) =  r-1 (fi – fi-1) =  r-1 fi – r-1 fi-1 Merkezi Farklar: δfi = fi+1/2 – fi-1/2 δ2 fi = δ(δ fi) = δ (fi+1/2 – fi-1/2) = δfi+1/2 – δfi-1/2 = (fi+1 – fi) - (fi – fi-1) = fi+1 – 2fi + fi-1 δ3 fi = δ(δ 2 fi) = δ(fi+1 – 2fi + fi-1) = .... δr fi = δ(δr -1 fi) = δ r-1 (δ fi) = δr-1 (fi+1/2 – fi-1/2) = δ r-1 fi+1/2 – δ r-1 fi-1/2

Farklar Arası İlişkiler fi = fi+1 – fi, fi = fi – fi-1, δfi = fi+1/2 – fi-1/2 olmak üzere fi = fi – fi-1  fi+1 = fi+1 – fi = fi δfi = fi+1/2 – fi-1/2  δfi+1/2 = fi+1 – fi  fi = fi+1 = δfi+1/2 2 fi = fi+2 – 2fi+1 + fi 2fi = fi – 2fi-1 + fi -2 2fi+2 = fi+2 – 2fi+1 + fi = 2 fi δ2fi = fi+1 – 2fi + fi-1  δ2fi+1 = fi+2 – 2fi+1 + fi  2 fi = 2fi+2 = δ2fi+1 fi = fi41 = δfi+1/2 2 fi = 2fi+2 = δ2fi+1 3 fi = 2fi+3 = δ2fi+3/2 ... n fi = 2fi+n = δ2fi+n/2

Kesirli Farklar Eşit aralıklı olmayan tanım kümeleri (x’ler) için kullanılır. f[x0] = f1 – f0 f[x0,x1] = (f1 – f0) / (x1 – x0) f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2] – f[x0,x1]) / (x2 – x0) f[x0,x1, ..., xk] = (f[x1,x2, ... , xk] – f[x0,x1 ... , xk-1]) / (xk – x0) Kesirli farklar ile sonlu farklar arasındaki ilişkiler fi = fi+1 – fi = (xi+1 – xi) * (fi+1 – fi) / (xi+1 – xi) xi+1 – xi = h  fi = h . f[xi,xi+1] 2 fi = fi+1 – fi = h . f[xi+1,xi+2] – h . f[xi,xi+1] 2 fi = h . (xi+2 - xi) . (f[xi+1,xi+2] - f[xi,xi+1]) / (xi+2 - xi) xi+2 – xi = 2h  2 fi = 2h2 f[xi,xi+1,xi+2] r fi = r! hr f[xi,xi+1, ... ,xi+r] = r fi+r = δr fi+r/2

Sonlu Fark Tabloları Eşit aralıklı 4 ayrık x0, x1, x2, x3 noktaları için x0 f0  f0 x1 f1 2 f0  f1 3 f0 ... x2 f2 2 f1  f2 x3 f3 ... şeklinde tanımlanan tabloya ileri sonlu farklar tablosu denir.

Sonlu Fark Tabloları Benzer şekilde geri fark tablosu x0 f0  f1 x1 f1  2 f2  f2  3 f3 ... x2 f2  2 f3  f3 x3 f3 ... Benzer şekilde merkezi fark tablosu δ f1/2 x1 f1  2 f1 δf3/2  3 f3/2 ... x2 f2  2 f2 δ f5/2 şeklinde tanımlanırlar.

Sonlu Fark Tabloları Örnek: f(x) = x3 için [0,6] aralığında h = 1 değerini kullanarak ileri farklar tablosunu hazırlayınız i xi f(xi)  fi 2 fi 3 fi 4 fi 5 fi 6 fi 0 0 0 1 1 1 1 6 7 6 2 2 8 12 0 19 6 0 3 3 27 18 0 0 37 6 0 4 4 64 24 0 61 6 5 5 125 30 91 6 6 216 n. der eceden bir polinom için n’inci farklar sabit bir sayıya eşittir. n Pn (x) = a0 n (n-1) (n-2) + .... + (1) hn xn-n = a0 (n!) hn

Sonlu Fark Tablolarında Yanlışların Yayılması Diyelim ki f3 = f(x3) değerinde ε kadar bir belirsizlik olsun xi fi  fi 2 fi 3 fi 4 fi 5 fi 6 fi x0 f0 f0 x1 f1 2f0 f1 3f0 + ε x2 f2 2f1 + ε 4f0 - 4ε f2 + ε 3f1 - 3ε 5f0 + 10ε x3 f3 2f2 - 2ε 4f1 + 6ε 6f0 + 20ε f3 – ε 3f2 + 3ε 5f1 - 10ε x4 f4 2f3 + ε 4f2 - 4ε f4 3f3 - ε x5 f5 2f4 f5 x6 f6

Kaynaklar Sayısal Çözümleme Cilt I, Ziya Aktaş, Hilmi Öncül, Saim Ural, ODTÜ Yayınları, 1981