AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I

... konulu sunumlar: "AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I"— Sunum transkripti:

1 AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I
Ders 10 Nümerik İntegral

2 Türev ve İntegral

3 İntegral ve Astrofizik

4 Newton-Cotes Formülleri ile İntegrasyon
Açık form Kapalı form

5 Yamuk (Trapezoid) Yöntemi : fn(x) lineer fonksiyon
Yöntemin hatası :

6 Yamuk Yöntemi : fn(x) lineer fonksiyon
Örnek 1 : a = 0, b = 0.8 εt = – = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 89.5 %

7 Bölünmüş Yamuklar Yöntemi
n aralık sayısını göstermek üzere ,

8 Bölünmüş Yamuklar Yöntemi
Örnek 2 : a = 0, b = 0.8, n = 2 εt = – = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 34.9 %

9 Simpson Yöntemi 1/3 yöntemi 3/8 yöntemi

10 f(4)(ξ) = -2400 (Dördüncü türevin verilen aralıktaki ortalaması)
Simpson (1/3) Yöntemi Örnek 3 : a = 0, b = 0.8, n = 2 εt = – = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 16.6 % f(4)(ξ) = (Dördüncü türevin verilen aralıktaki ortalaması)

11 Bölünmüş Simpson (1/3) Yöntemi

12 Bölünmüş Simpson (1/3) Yöntemi
n aralık sayısını, a ve b integralin sınırlarını göstermek üzere Örnek 4 : a = 0, b = 0.8, n = 4 εt = – = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 1.04 % Bu yöntem yamuk yönteminden daha iyi sonuç vermekle birlikte sadece aralıkların eşit olduğu ve toplam nokta sayısının tek olduğu durumlarda uygulanabiliyor!

13 Bölünmüş Simpson (3/8) Yöntemi

14 Bölünmüş Simpson (3/8) Yöntemi
n aralık sayısını, a ve b integralin sınırlarını göstermek üzere Örnek 5 : a = 0, b = 0.8, n = 3 εt = – = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 7.36 % Simpson 1/3 Simpson 3/8 εt = – ( ) = Analitik olarak hesaplarsanız : It = εr = 0.27 %

15 Yüksek Dereceden Newton-Cotes Formülleri

16 AST415 Astronomide Sayısal Çözümleme - I
Ders 10 Nümerik Türev

17 Türev

18 İleri Türev Formülleri
Taylor serisi Birinci türevi çekersek ; Taylor serisi İkinci türevi çeker ve 1. türev ifadesinde yerine koyarsak ;

19 İleri Türev Formülleri

20 Geri Türev Formülleri Taylor serisi

21 Merkezi Türev Formülleri
Taylor serileri Taraf tarafa çıkarır birinci türevi çekersek ; Taraf tarafa toplar İkinci türevi çekersek ;

22 Merkezi Türev Formülleri

23 Türev Formülleri Örnek : İleri Türev Formülü GeriTürev Formülü
Merkezi Türev Formülü

24 Richardson Ekstrapolasyonu
Gördüğünüz gibi nümerik türevin hassasiyetini arttırmanın bir yolu daha fazla sayıda nokta almak (Taylor serisinde daha derine gitmek), bir diğeri ise adım saysını (h'yi) küçültmektir. Bir başka yol ise iki türev tahminine dayanarak bir üçüncüsünü hesaplamak üzere Richardson ekstrapolasyonunu kullanmaktır. Burada D(h2) ve D(h1), iki farklı adım büyüklüğü (h1,h2) için ileri, geri ya da merkezi türev formülleri kullanılarak elde edilen türevleri göstermektedir. Aynı tekniği integral hesabı için de kulanmak mümkündür.! Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 ve h2=0.25 adım büyüklükleri için birinci dereceden merkezi türev formüllerini ve Richardson ekstrapolasyon formülünü kullanarak hesaplayınız.

25 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Lagrange İnterpolasyon formülünü el alıp ; Türevini alacak olursak ; Bu şekilde bir xi noktasındaki türevi ondan bir sonraki ve bir önceki noktayı kullanarak elde edebiliriz! Üstelik bu nokta ile diğer noktalar arasındaki uzaklık da aynı olmak zorunda değil!

26 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri

27 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h1=0.5 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız. 𝑥 0 =0⇒𝑓( 𝑥 0 =𝑓 (0 =1 .2 𝑥 1 =0.5⇒𝑓( 𝑥 1 =𝑓 (0.5 = 𝑥 2 =1⇒𝑓( 𝑥 2 =𝑓 (1 =0 .2 𝑓 ′ (𝑥 =𝑓 ( 𝑥 0 ) 2𝑥− 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 0 − 𝑥 1 )( 𝑥 0 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 1 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 0 )( 𝑥 1 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 2 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 0 )( 𝑥 2 − 𝑥 𝑓 ′ (𝑥 =1 .2 2𝑥−0.5−1 0−0.5)(0− 𝑥−0−1 0.5−0)(0.5− 𝑥−0−0.5 1−0)(1− 𝑓 ′ (𝑥 =−1 .8𝑥−0.1 𝑓 ′ (0.5 =−1 .0 𝜀 𝑟 = 𝑓 𝑡 ′ − 𝑓 𝑛 ′ 𝑓 𝑡 ′ = −0.9125−(−1.0 − =− ≡−9.59

28 Eş Olmayan Aralıklar İçin Türev Formülleri
Örnek : Aşağıdaki fonksiyonun x=0.5 noktasındaki türevini h2=0.25 adım büyüklüğü için Lagrange interpolasyonundan yararlanarak hesaplayınız. 𝑥 0 =0.25⇒𝑓( 𝑥 0 =𝑓 (0.25 = 𝑥 1 =0.5⇒𝑓( 𝑥 1 =𝑓 (0.5 = 𝑥 2 =0.75⇒𝑓( 𝑥 2 =𝑓 (0.75 = 𝑓 ′ (𝑥 =𝑓 ( 𝑥 0 ) 2𝑥− 𝑥 1 − 𝑥 2 𝑥 0 − 𝑥 1 )( 𝑥 0 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 1 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 2 𝑥 1 − 𝑥 0 )( 𝑥 1 − 𝑥 2 +𝑓( 𝑥 2 ) 2𝑥− 𝑥 0 − 𝑥 1 𝑥 2 − 𝑥 0 )( 𝑥 2 − 𝑥 𝑓 ′ (𝑥 = 𝑥−0.5− −0.5)(0.25− 𝑥−0.25− −0.25)(0.5− 𝑥−0.25− −0.25)(0.75− 𝑓 ′ (𝑥 =− 𝑥− 𝑓 ′ (0.5 =− 𝜀 𝑟 = 𝑓 𝑡 ′ − 𝑓 𝑛 ′ 𝑓 𝑡 ′ = −0.9125−(− − =− ≡−2.40

29 Kısmi Türevler

30 Kaynaklar Numerical Methods for Engineers 6th ed., Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, McGraw Hill, 2010 Numerical Methods, Rao V. Dukkipati, New Age International, 2010 Numerical Analysis Using Matlab and Excel 3rd ed., Steven T. Karris, Orchard Publications, 2007