ÇEMBER, DAİRE VE SİLİNDİR DİK SİLİNDİR ÖZELLİKLERİ BİR DOĞRUNUN ÇEMBERE GÖRE DURUMLARI ÇEMBERDE YAYLAR VE AÇILAR DAİRE DAİRENİN ÇEVRESİ DAİRENİN ALANI SİLİNDİR DİK SİLİNDİR ÖZELLİKLERİ ALAN VE HACMİ

ÇEMBER, DAİRE VE SİLİNDİR ÇEMBER VE DAİRE O yarıçap çap merkez A B a)Çember ve Elemanları Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kümeye çember denir. Yukarıdaki çemberde; O noktasın, çemberin merkezi; [OB] doğru parçasına, çemberin yarı çapı, merkezden geçen [AB] na da çemberin çapı nedir. Yarı çapın uzunluğu r veya R ile gösterilir. l OB l= r veya l OA l= R dır. Çap, yarıçapın iki katı uzunluktadır. l AB l= 2R Bir çember, merkezi ve yarıçap uzunluğu ile belirtilebilir.

b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler ÖRNEK O merkezli ve r yarıçaplı çember Ç(o,r) , A merkezli ve 5cm çaplı çember Ç(A,5cm) biçiminde belirtilir. Ç(M,7cm) verilirse, yarıçap uzunluğu 7cm olan M merkezli çember anlaşılır. b) Çemberin Düzlemden Ayırdığı Bölgeler Yandaki şekilde görüldüğü gibi; bir çember, bulunduğu düzlemi iki bölgeye ayırır.Bunların birisi çemberin iç bölgesi diğeri de çemberin dış bölgesidir. Şekil incelenirse; A,B,C noktalarının O merkezine uzaklıkları farklıdır. p B A C çember Dış bölge içbölge Bu noktaların bulundukları yere göre merkeze uzaklıklarının r yarıçapı ile karşılaştırılması şöyledir;

A noktası çember üzerindedir A noktası çember üzerindedir.Çemberin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğuna eşittir. Yani, l OA l = r dır. l OA l = r bağıntısını sağlayan a gibi noktalar, çemberi oluşturur. 2) C noktası, çemberin iç bölgesindedir.iç bölgenin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan küçüktür. l OC l < r bağıntısını sağlayan c gibi noktalar, iç bölgeyi oluşturur. 3) B noktası, çemberin dış bölgesindedir.dış bölgenin elemanı olan her bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığı, yarıçapının uzunluğundan büyüktür. l OB l > r bağıntısını sağlayan B gibi notalar, çemberin dış bölgesini oluşturur.

c)Çemberde; Kesen, Kiriş,Teğet ve Yay Bir doğrunun çemberle iki ortak noktası varsa, bu doğruya, çemberin keseni denir.d doğrusu kesendir. Çemberin elemanı olan herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçasına, çemberin kirişi denir.[ MN ] bir kiriştir. Çemberle k doğrusun sadece bir ortak noktası varsa; bu doğruya, çemberin teğeti denir.Buna göre, AT doğrusu çemberin teğetidir.teğetin çemberle ortak olan noktasına, değme noktası denir.Kirişin çemberden ayırdığı çember parçasına, yay adı verilir.Kiriş çemberi ikiye ayırır. kesen yay N kiriş M d k A T teğet

2.BİR DOĞRUNUN ÇEMBERE GÖRE DURUMLARI Bir doğru ile bir çember, üç durumda olabilir. 1) d O B r 2) 3) d O A B E r d O A r teğet kiriş l OH l > r, d n Ç = { } Doğru ile çember kesişmez. l OA l= r, d n Ç ={ A } Doğru, çembere teğettir. l OE l < r, d n Ç = { A,B } Doğru, çemberin kesimidir. Teğet, değme noktasından geçen yarıçap doğrusuna dik olur.

Kirişin Özellikleri 1.AB kirişinin orta noktası H dır.Çemberin merkeziyle H Noktasından geçen doğru d doğrusudur. l OA l = l OB l olduğundan, OAB üçgeni ikizkenar üçgendir. [OH] da bu ikizkenar üçgenin tabana ait kenar ortayıdır. Çemberde kirişin orta noktasının merkeze birleştiren doğru ,kirişe diktir.Kirişin orta noktası merkezden geçer. d diktir [AB] olur. d O F A H E B 2. Bir çemberde, eş kirişler merkezden eşit uzaklıkta dır. Merkezden eşit uzaklıktaki kirişlerin uzunlukları birbirine eşittir. F E O D A E B

3. Bir çemberde; uzun olan kirişin çembere uzaklığı, kısa olan kirişin çemberin merkezine uzaklığından az olur.kiriş, boyu Uzadıkça merkeze yaklaşır. O A E B D E F O K B A L D C E M F l AB l > l CD l > l EF l ise, l OK l < l OL l < l OM l olur. l AB l > l CD l ise, l OH l < l OL l olur. Bir çemberde; uzun olan kirişin merkeze olan uzaklığı, kısa olanın kirişin merkeze uzaklığından az olur.Kiriş, boyu uzadıkça merkeze yaklaşır.merkeze uzaklığı sıfır olan (merkezden geçen) kiriş en büyük kiriştir.O halde; çap, çemberin en büyük kirişidir.

3.ÇEMBERDE YAYLAR VE AÇILAR Çemberde Merkez Ve Çevre Açılar Merkez açı Köşesi çemberin merkezinde bulunan açıya, merkezi açı; merkezi açının iç bölgesinde kalan yay parçasına da bu açının gördüğü yay denir. Çemberde; merkezi açının ölçüsü,gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. O B A Merkez açı Merkez açının gördüğü yay Şekildeki AB nın ölçüsü,s(AB) yayı biçiminde gösterilir.Değeri,AOB nin ölçüsüne eşittir. S(AOB)=S(AB) olur. AB nın uzunluğu ise,l AB l yayı biçiminde gösterilir.

l AB l=2cm dir. Bir yayın uzunluğu denildiğinde, uzunluk birimi olarak değeri;yayın ölçüsü denildiğinde ise, açı ölçüsü birimi olarak değeri anlaşılmalıdır.İki ifadenin birbiriden farklı olduğuna dikkat etmek gerekir. Bu nedenle,s(AB)≠l AB l olur. O D F E Çevre açı Çevre açı Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları da köşesi dışında farklı birer noktada çemberi kesen açıya denir. Bu açının iç bölgesinde kalan yay parçasına da çevre açının gördüğü yay adı verilir. Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir. S(DEF)= S(DF)/2 olur. Çevre açının gördüğü yay

Merkez açı ve çevre açının özellikleri 1.Bir çemberde; uzun olan yayı gören merkez açının ölçüsü, kısa yayı görenin ölçüsünden daha büyüktür. 2.Bir çemberde, eş yayları gören merkez açıların ölçüleri eşittir. 3. Bir çemberde, aynı veya eş yayları gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. 4. Bir çemberde çapı gören çevre açısının ölçüsü 90 derece dir. 5.Bir çemberde; aynı yayı gören çevre açının ölçüsü, merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.

ALIŞTIRMALAR 1) Merkezi O ve yarıçapının uzunluğu 2,5 cm olan bir çember çiziniz.Çemberin iç bölgesinde E, üzerinde K ve dış bölgesinde bir D noktasını işaretleyiniz. 2)( O, 3 cm ) çemberi veriliyor; a) çembere teğet olan t doğrusunu çiziniz. b) çemberi iki noktada kesen k doğrusunu çiziniz. 3) ( O, 2,5 cm ) çemberi ile bu çemberin merkezine uzaklıkları, sırayla 2 cm ve 2,5 cm olan d ve t doğruları veriliyor. Bu doğruların çembere göre durumlarını yazınız. A O ? 35° T 4) Yandaki şekilde; [AT teğet, [OT] yarıçaptır.A açısının ölçüsü 35° olduğuna göre, AOT açısı kaç derecedir?

A 5) Yandaki şekilde; a açısının ölçüsü =2x ve BC yayının ölçüsü 3x + 40° olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir? 2x C B 3x +40 A ? 6) Yandaki şekilde; OBC açısının ölçüsü 50 derece olduğuna göre, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir? O 50 B C A E 7) Yandaki şekilde, lABl = lCDl dur.lOEl=7x -3, lOFl =3x + 5 ise, x uzunluğu kaç birimdir? O B C F D

a)Dairenin çevresi DAİRENİN ÇEVRESİ VE ALANI Bir çemberde; çevre uzunluğunun çap uzunluğuna bölümüyle bulunan sabit sayıya,П ( pi ) sayısı denir. Dairenin yarıçapını r,çevre uzunluğunu Ç ile gösterirsek ∏ = Ç/2r ≈ 3,14 olur. Çemberin uzunluğu çapın uzunluğu ile ∏ sayısının çarpımına eşittir. Ç = 2∏r olur. Örnek: Çevresinin uzunluğu 88cm olan çemberin yarıçapı ve çapının uzunluğunu bulalım. Cevap:ç = 2 ∏r 88 = 2 x 22/7 x r ise, r = 14 cm dir. çap = 2r ise 2 x 14 = 28 cm bulunur.

b)Dairenin alanı D C Yarıçapının uzunluğu r = 6 birim olan çemberi ve kenarları bu çembere teğet olan ABCD karesini çizelim; ABCD karesi; yandaki gibi birim karelere ayrılırsa; bu birim karelerden, yaklaşık 113 tane bulunur. A B Bir dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine bölünürse, bölüm; 113 / 36 ≈ 3,14 olur. Bu dairenin alanı yarıçap uzunluğunun karesine bölünürse, yaklaşık olarak 3,14 sayısı bulunur. öyleyse; Dairenin alanı, ∏ sayısı ile yarı çap uzunluğunun karesinin çarpımına eşit olur. A = ∏ r²

Örnek 1) Yarıçapının uzunluğu r = 20 cm olan dairenin alanını bulalım. A = 1256 cm² dir. Örnek 2) Çevresinin uzunluğu 31,4 olan dairenin alanını bulalım. Ç = 2 ∏ r 31,4 = 2 . 3,14 . r ise, r = 31,4 / 2 . 3,14 = 5 cm olur. Yarıçapının uzunluğu 5 cm olan dairenin alnını ise, A = ∏. r² A = 3,14 . 5² A = 3,14 . 25 A = 78.5 cm ² dir.

Daire ile ilgili birkaç örnek daha çözelim. Örnek1) yarıçapının uzunluğu r = 10 cm olan bir dairede, 72° lik daire diliminin alanını bulalım: Dairenin iki yarıçapı arasında kalan alan parçasına, dairenin dilimi denir. Dairede 72° lik daire diliminden, 360 : 72 = 5 tane vardır. Öyleyse; daire diliminin alanı, dairenin alanının 1 / 5 idir. 72° 10 cm O A B Daire dilimi Dilimin alanı ; A 3,14 . 10² 3,14 . 100 62,8 cm ² bulunur. 5 5 5

Örnek2) Bir dairede, 45° lik dilimin alanı 39,25 cm² dir.bu dairenin yarıçapının Uzunluğunu bulalım; Dairede 45° lik dilimden 360 : 45 = 8 tane vardır.Dairenin alanı, bu Dilimin 8 katı olur. A = 39,25 . 8 = 314 cm² dir. A = ∏ r² olduğundan 314 = 3,14 . r² yazılır r² = 100 ise r = 10 cm olur. A 45° O B

ALIŞTIRMALAR 1)Yarıçapının uzunluğu 2 cm olan dairenin çevresinin uzunluğunu ve alanını bulunuz? 2) Alanı 75 santimetre olan bir dairede, 72 derecelik yayın uzunluğunu bulunuz? K P 3) Yandaki şekilde, karenin bir kenarının uzunluğu a= 10 cm olduğuna göre, taralı bölgenin alanını bulunuz? M N 4) Yandaki şekilde; lAOl = lOBl = 2 cm olup, [AO], [OB] ve [AB] çaplı yarım çemberler çizilmiştir. Taralı bölgenin çevresinin uzunluğunu ve alanını buşunuz?

T 5) Yandaki şekilde, [AB] çaplı yarım çembere, P noktasından [PT teğeti çizilmiştir.BT yayının uzunluğu, TA yayının uzunluğunun 3 katı ve lABl = 8cm olduğuna göre, taralı alanı bulunuz? P B A O C D 6) Yandaki şekilde, E,F,G,H noktaları ABCD karesinin kenarlarının orta noktaları olup, B ve D merkezli çember yayları çizilmiştir.Karenin bir kenarının uzunluğu lABl = 8 cm olduğuna göre, taralı bölgenin alanını bulunuz.(∏=3 alınız) A B

5. DİK SİLİNDİR VE ÖZELLİKLERİ Açılmamış yuvarlak kursun kalem, yuvarlak konserve kutusu gibi cisimleri daire olan iki yüzeyi ve birde eğri yüzeyi vardır.çevremizde bunlara benzer birçok cisim sayabiliriz. Bu cisimler gibi tabanları birer daire, yan yüzeyi de eğri bir yüzey olan cisimlere, silindir denir.Yan yüzeyi tabanlara dik olan silindire de dik silindir adı verilir. DİK SİLİNDİR Üst taban O r Taban yarıçapı Yan yüz Ana doğru yükseklik r Alt taban O'

taban Yan yüz 2 ∏ r Dik silindir taban Silindirde; tabanlar daire olup birbirine eş ve paraleldir. Bu dairelerin yarıçapı,silindirin taban yarıçapı; tabanlar arasındaki uzaklık da silindirin yüksekliğidir. Bir dik silindir; aşağıda olduğu gibi ana doğrusu boyunca kesilip açılırsa, Silindirin açık şekli elde edilir. taban r h(yükseklik) Yan yüz h 2 ∏ r Taban çevresi r Dik silindir taban Dik silindirin açık şeklinde görüldüğü gibi , yan yüzü bir dikdörtgensel bölgedir. Yan yüzü oluşturan dikdörtgensel bölgenin bir kenarı silindirin yüksekliğine (h), diğer kenarı da silindirin taban çevresine (2 ∏ r ) eştir.

6.DİK SİLİNDİRİN ALAN VE HACMİ a) Silindirin Alanı Silindirin tabanları birbirine eş iki dairedir. Taban yarıçapı r olan silindirin bir tabanının alanı, dairenin alanına eşittir. Taban alanı = ∏ r² olur. Silindirin yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ( 2 ∏ r ) ile yüksekliğinin uzunluğu ( h ) çarpımına eşittir. Yanal alan = 2 ∏ r h olur. Silindirin tüm alanı da iki taban alanı ile yanal alanının toplamına eşit olur. Silindirin alanı = 2x Taban alan + yanal alan A = 2 ∏ r² + 2 ∏ r h A = 2 ∏ r (r + h ) olur.

Örnek Taban yarıçapının uzunluğu 10 cm, yüksekliği 8 cm olan bir dik silindir veriliyor.bu silindirin: a) taban alanını b) yanal alanını c) tüm alanını hesaplayalım.( ∏ = 3,14 ) Çözüm : a) Taban alanı =∏ r² =3,14 . 10² = 314 cm ² dir. b) yanal alan = 2 ∏ r h =2x3,14x10x8 yanal alan =502,4cm ² dir. c) Tüm alan = 2 ∏ r² + 2 ∏ r h A =502,4+628 A =1130,4cm ² bulunur.

b) Silindirin hacmi Silindir şeklindeki bir kabı tamamen su ile dolduralım.Sonra bu kaptaki suyu dereceli bir kaba boşaltarak, suyun hacmini ölçelim.Kabın taban yarıçapını ve yüksekliğini cetvelle ölçelim.Kabın taban alanını bulalım.Sonra da bu taban alanını kabın yüksekliği ile çarpalım. Bulduğumuz sonucu dereceli kapla ölçerek bulduğumuz kapla karşılaştıralım.sonuçların aynı olduğunu görüyoruz.Çünkü taban alanını bulurken iki boyutlu düzlemde işlem yapıyorduk.Hacim üç boyutlu olduğundan taban alanını bulmamız bize hacmini vermez bu durumda silindirin yüksekliğini de dahil edeceğimiz bir değerimiz olmalı. Bu nedenle; silindirin hacmi, bir tabanın alanı ile yüksekliğinin uzunluğu çarpımına eşittir. silindirin hacmi = taban alanı . Yükseklik V = ∏ r² .h olur.

Örnekler 1) Taban alanı = 18 cm² ve yüksekliği h= 7cm olan silindirin hacmini bulalım; V =taban alanı . Yükseklik V = 18 . 7 V = 126 cm³ olur. 2) Hacmi 628 cm³ ve yüksekliği 8 cm olan silindir şeklindeki bir bardağın yarıçapını bulalım; Hacim formülünde verilenleri yerine yazalım V = taban alanı . Yükseklik 628 = 3,14 . r². 8 r² = 628 = 25 buradan da 3,14 .8 r= 5 cm bulunur. test

ALIŞTIRMALAR 1.Aşağıda taban yarıçapları ile yüksekliklerinin uzunlukları verilen silindirlerin alanlarını ve hacimlerini bulunuz. a.r=6cm b.r=3cm c.r=7cm h=20cm h=15cm h=12cm 2.r=8cm ve h=r/2 olan silindirin yanal alanını ve taban alanını bulunuz bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız. 3.Taban yarıçapının uzunluğu 2cm ve yüksekliğinin uzunluğu h=6cm olan silindirin yanal alanını ve hacmini bulunuz.

4.Eni 12cm ve boyu 31.4cm olan bir karton, kısa kenarı yükseklik olacak biçimde kıvrılıyor. Bu durumda oluşan silindirik yüzeyin taban yarıçapının uzunluğu kaç cm olur? 5. Yanal alanı 960 santimetrekare ve yüksekliğinin uzunluğu 20cm olan silindir biçimindeki bir konserve kutusunun tüm alanını ve hacmini bulunuz. (pi=3 alınız) D A C B 6.Bir silindirin yandaki açık şeklinde; AB=6.28cm ve BC= 3cm olduğuna göre, bu silindirin hacmi kaç santimetreküptür?(pi=3 alınız.)

7.Yüksekliği ile çapının uzunlukları eşit olan bir silindirin taban yarıçapı r= 6cm dir. Bu silindirin alanını ve hacmini bulunuz. (pi=3 alınız.A) 8.Kısa kenarının uzunluğu 8cm ve uzun kenarının uzunluğu 12cm olan bir dikdörtgen, uzun ve kısa kenarları etrafında ayrı ayrı 360 derece döndürülüyor. Oluşan silindirlerin hacimlerinin farklarını bulunuz. (pi=3 alınız) 9. İç çapı 18cm, dış çapı 30cm olan içi boş bir beton borunun uzunluğu 2 metredir. Bu borunun yapımında kullanılan betonun hacmini bulunuz.(pi=3 alınız.)

HAZIRLAYANLAR 2000233064 SEVAL KARA 2000233106 KÜBRA ARKAZ 2000233102 MELEK ÇİÇEKÇİ