ANAHTARLANMIŞ SİSTEMLERİN ÇÖZÜMLERİNİN BİLGİSAYAR YARDIMIYLA İNCELENMESİ

Projemizin İçeriği: Anahtarlanmış Doğrusal Sistemler Dinamik Sistem ve Devre Tanımı Denge Noktası Çözümlemesi Özdeğer ve Özvektör Kavramları Kararlılık ve Asimptotoik Kararlılık Nedir? Alt Sistemler ve Anahtarlama İşareti Anahtarlanmış Sistemlerin Kararlılığı Jordan Kanonik Formu Anahtarlama örnekleri

Anahtarlanmış doğrusal sistem nedir? Anahtarlanmış sistemler genel bir ifadeyle bir grup altsistem ve bu altsistemlerin etkileşiminde kullanılan anahtarlama işaretleri kümesinden oluşan sistemlerdir.

Dinamik Sistem Lineer zamanla değişmeyen bir devrede elemanlardan en az bir tanesi endüktans, kapasite gibi enerji depolayan eleman ise o devreye lineer zamanla değişmeyen dinamik devre denir.

Denge Noktası Lineer zamanla değişmeyen ve bağıntısıyla ifade edilen bir sistemin denge noktaları eşitliğinin reel kökleridir.

Özdeğer ve Özvektör p(λ) = det(A - λI) = 0 Denklemini sağlayan λ değerlerine A matrisinin özdeğerleri denir. Bu λ değerini Ax = λx veya (A - λI)x = 0 da yerine koyarak elde edilen sıfırdan farklı çözümler, A matrisinin bu özdeğerine karşı gelen özvektörüdür.

Kararlılık nedir? Sistemdeki tüm bağımsız kaynakları devre dışı bırakalım, o halde çözüm:

Asimptotik Kararlılık Yukardaki denklemle tanımlı bir sistemimiz olsun. x=0, denge noktasında sistemimiz kararlıdır, ancak ve ancak ε>0 için öyle bir δ=δ(ε)>0 fonksiyonu olsun ki; ||x(0)||<δ ise ||x(t)||<ε, Kararlı değilse kararsızdır. Sistem kararlı ve ||x(0)||<δ koşuluna uyan bir δ varsa sistem aynı zamanda asimptotik kararlıdır.

Örnek Çözüm; R > 0 ise sistem asimptotik kararlıdır. R = ∞ ise sistem kararlıdır (açık devre). R < 0 ise sistem kararsızdır.

Anahtarlanmış sistem P bir indeks kümesi olmak üzere bir ’den ’e fonksiyonlar ailesi verilmiş olsun. Parça parça sabit ve sonlu zaman aralıklarında sonlu sayıda süreksizlik içeren anahtarlama işaretlerinden oluşan bir S kümesi verilmiş olsun. şeklinde tanımlanan sisteme anahtarlanmış sistem denir.

Altsistemler ve anahtarlama işaretleri Burada altsistemler ailesi, bu ailenin her bir üyesi altsistem ve S kümesi anahtarlama işaretleri kümesi olarak adlandırılmıştır.

Örnek anahtarlama işareti Grafikte 4 farklı indiste değer alan bir anahtar işareti bulunuyor.

Anahtarlanmış sistemlerin kararlılığı Genel olarak anahtarlanmış sistemlerin kararlılığıyla ilgili üç problem üzerinde durulmaktadır. Keyfi anahtarlama problemi Kararlılaştırma problemi Uygun anahtarlama işaretleri kümesini bulma problemi

Jordan kanonik form

Örnek iki altsistem

Sistemler asimptotik kararlı

İki sistemin anahtarlanmış hali

Kararlı iki altsistem

Çözüm kararsız!

İki kararsız sistem

Çözüm kararlı!

KAYNAKLAR [1] Karabacak, Ö., 2007. Anahtarlanmış Doğrusal Sistemlerin Kararlılığının İncelenmesi Yüksek Lisans Tezi, İstanbul [2] Sun, Z. ve Ge S.S., 2005. Switched Linear Systems: Control and Design, Springer-Verlag London, USA. [3] Khalil, H.K., 2000. Nonlinear Systems 3. ed., Prentice-Hall, New Jersey. [4] Metric (mathematics). (n.d.). 3 Mayıs 2007, http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_%28mathematics%29

Hazırlayanlar: Ali Hilmi UYSAL Çağdaş ÖZTÜRK Fatma TUNÇER Kadir COŞKUN Kerem Yücel ERDEN