SEMANTİK VE DİZİMSEL ÇIKARIM ÖNERMELER MANTIĞINDA SEMANTİK VE DİZİMSEL ÇIKARIM Yılmaz KILIÇASLAN

Semantik Geçerlilik Eğer φ1 … φn önermelerinin her birinin doğru olduğu bütün modellerde ψ önermesi de doğruysa, φ1 … φn / ψ argümanına (semantik olarak) geçerli bir argüman denir. Bu durumda ψ, φ1 … φn önermelerinin semantik sonucudur deriz: φ1 … φn ╞ ψ

Alıştırma - 1 Sunu 1’deki ilk 5 argümanı L0 dili ile kodlayınız ve her bir argümanının geçerliliğini semantik olarak gösteriniz.

Alıştırma - 2 Aşağıdaki argümanının geçerliliğini semantik olarak gösteriniz. p  (q  r), q  ¬r / ¬p

Alıştırma – 2’nin çözümü p q r q  r p  (q  r) ¬r q  ¬r ¬p 1

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı: 1. . . m1. φ m2. ψ n. φ  ψ E , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (i): 1. . . m. φ  ψ n. φ Ç , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (ii): 1. . . m. φ  ψ n. ψ Ç , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . m1. φ  ψ m2. φ n. ψ Ç , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 5  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı: 1. . . m. φ Varsayım n-1. ψ n. φ  ψ E 

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 6  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i): 1. . . m. φ n. φ  ψ E  , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 7  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii): 1. . . m. ψ n. φ  ψ E  , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 8  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . m1. φ  ψ m2. φ  X m3. ψ  X n. X Ç , m1, m2 , m3

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 9  Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . m. φ  ψ n. (Φ  ψ)  (ψ  Φ) Ç  , m

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 10  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i): 1. . . m1. φ  ψ m2. ψ  φ n. (Φ  ψ) E  , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 11  Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii): 1. . . m1. φ  ψ m2. ψ  φ n. (ψ  φ) E  , m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 12 ¬ Operatörü İçin Çıkarma Kuralı: 1. . . m1. ¬φ m2. φ n. ┴ Ç ¬, m1, m2

Dizimsel Çıkarım Kuralları - 13 ¬ Operatörü İçin Ekleme Kuralı: 1. . . m1. φ Varsayım n-1. ┴ n. ¬φ E ¬

Örnek p  (q  r) öncül (¬p1  ¬r)  p öncül (p  q)  (r  p1) öncül ¬p1 varsayım ¬r varsayım ¬p1  ¬r E, 4, 5 p Ç, 2, 6 q  r Ç, 1, 7 p  q Ç, 3 q Ç, 7, 9 r Ç, 8, 10 ┴ Ǭ, 5, 11 r E¬ r  p1 Ç, 3 p1 Ç, 3, 14 ┴ Ǭ, 4, 15 P1 E¬ Hizmetçi kız tarafından işlendiyse, ancak salonda olması halinde cinayet, tabancayla gerçekleştirilmiştir. Fakat, salonda gerçekleşmemiş olması halinde, baş uşak suçsuz ise, cinayet hizmetçi kız tarafından işlenmiştir. Ancak tabancayla işlenmiş olması halinde cinayeti hizmetçi kız işlemiş iken, salonda gerçekleşmiş olması halinde baş uşak suçludur. Öyleyse, baş uşak suçludur. Anahtar: p: Cinayeti hizmetçi kız işledi. q: Cinayet tabancayla işlendi. r: Cinayet salonda işlendi. p1: Cinayeti baş uşak işledi.

Alıştırmalar - 3 Aşağıdaki teoremleri dizimsel çıkarım ile ispatlayınız: (p  q) |-- (q  p) (p  q)  r |-- (q  p)  r |-- ((p  q)  r)  (p  (q  r))