KÜMELERDE İŞLEMLER KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMİ KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMİ KÜMELERDE FARK İŞLEMİ KÜMELERDE TÜMLEME İŞLEMİ

Tuvalet Banyo Fırat’ın Odası Hol Cengiz’in Odası Mutfak Salon Üniversite öğrencisi olan Fırat ve Cengiz aynı evde kalıyorlar. Evin planı yandaki gibidir. İki arkadaştan her biri şekildeki gibi birer odayı kendilerine alarak yerleşmişlerdir. Buna göre evde ortak kullanılan bölümler hangileridir? Sadece Fırat’a ait olan bölümleri ve sadece Cengiz’e ait olan bölümleri söyleyiniz. Evde Fırat’ın yada Cengiz’in kullandığı tüm bölümleri söyleyiniz.

Aysel hanım misafirleri için yemek hazırlayacaktır Aysel hanım misafirleri için yemek hazırlayacaktır. Mutfağa gittiğinde elindeki malzemelerle sadece patlıcan ve fasulye yemeği pişirebileceğini görür. Çünkü evdeki domates, soğan ve biber bir yemek için yeterlidir. evde bulunan malzemeler patlıcan yemeği için fasulye için gerekli gerekli malzemeler malzemeler patlıcan, domates, soğan, patlıcan, domates fasulye, domates, biber, Biber, fasulye, dolmalık biber biber, soğan, sarımsak soğan, yağ ,sarımsak, salatalık, yağ yağ Listeye göre ortak kullanılabilecek malzemeler hangileridir? Her iki yemek için gerekli olan tüm malzemeler hangileridir? Patlıcan yemeğinde kullanılıp fasulye yemeğinde kullanılmayan malzemeler nelerdir? Aysel hanımın evindeki malzemelerden patlıcan veya fasulye yemeğinde kullanılmayan malzemeler hangileridir?

E Yukarıdaki örnekte mutfakta bulunan malzemelerin kümesi E ile patlıcan yemeği için gerekli malzemeler A ile, fasulye yemeği için gerekli malzemeler B ile gösterilmiştir. Bu kümenin elemanlarını yandaki tabloda uygun yerlere yerleştiriniz. A B . .domates .biber . . . . İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu küme, bu kumelerin kesişim kümesidir. Kesişim işlemi “∩” ile gösterilir. A ve B gibi iki kümenin kesişimi sembolle “A ∩ B” biçiminde gösterilir, “A kesişim B” diye okunur. İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir, “A birleşim B” diye okunur.

KÜMELERDE BİRLEŞİM İŞLEMLERİ Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım. Çözüm: C ve D’ nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O halde; C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur. D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur. Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür. Buradan şu sonuç çıkmaktadır; Kümelerde birleşim işleminin değişme özelliği vardır. GERİ

Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır. Örnek: kümelerinin birleşim işlemini inceleyelim: Çözüm: B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6}) = {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6} = {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur. (B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan, B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür. B={2,3,4} , C={1,2,5} , D={5,6} Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.

Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir. Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım. Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur. Bir kümenin boş kümeyle birleşimi, o kümeye eşittir. Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım. Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z} = {x, y, z} olur. Bir kümenin kendisi ile birleşimi, o kümenin kendisine eşittir.

KÜMELERDE KESİŞİM İŞLEMLERİ Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor. L∩K ve K∩L kümelerini bulalım. Bu kümeleri karşılaştıralım. Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur. K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur. Buradan, L∩K = K∩L olduğu görülür. Buradan; L K .t .s .t .p .s .k .u Kümelerde kesişim işleminin değişme özelliği vardır. GERİ

Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır. Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4,5, 6} kümeleri verilsin. A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım. Çözüm: A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6}) = {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6} = {4} olur. (A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6} = {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6} = {4} olur. Buradan, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür. Buradan; Kümelerde kesişim işleminin birleşme özelliği vardır.

Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım: Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f} = ø olur. Buradan; Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir. Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir. Örnek: C = {c, d} ve D = { } verilsin. C∩D kümesini yazalım. Çözüm: C∩D = { c, d} ∩ { } = ø olur. C ve D ’nin ortak elemanı yoktur. Buradan; Bir kümenin boş küme ile kesişimi, boş kümedir.

Bir kümenin kendisiyle kesişimi, bu kümeye eşittir. Örnek: A = {a, b} kümesinin kendisiyle kesişimini bulalım. Çözüm: A∩A = {a, b} ∩ {a, b} = {a, b} olur. Bir kümenin kendisiyle kesişimi, bu kümeye eşittir.

Yandaki resmi inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız. Masanın üzerinde neler var? Odada masanın üzerinde olmayan neler var? Odanın içinde neler var?

Bu örnekte kümeler konusunu düşünerek oda neyi temsil eder? Masanın üzerindeki eşyalar neyi temsil eder? Odanın içinde bulunup masanın üzerinde olmayanlar neyi temsil eder? Odayı temsil eden kümeye E diyelim. Masanın üzerindeki elemanlara A diyelim. E A Odada olup masada olmayan elemanlar A kümesinin tümleyenidir. Yada A kümesinin farkıdır. (E/A) diye gösterilir.

KÜMELERDE FARK İŞLEMİ GERİ

İki kümenin fark kümesi, bir kümede olup diğerinde olmayan elemanlardan oluşur. Kümelerde fark işlemi “ \” sembolüyle gösterilir.

Fark işleminin değişme özelliği yoktur. Örnek: Yandaki şemaya göre K \ D kümesini bulalım. Çözüm: Once D ve K’nin elemanlarını liste yöntemiyle yazalım: D = {a, b, t, s, z} ve K = {t, s} olur. D K .a .b .z .t .s K’nin elemanları aynı zamanda D’nin de elemanlarıdır. Yani K’de olup da D’de olmayan eleman yoktur. Böylece K \ D = ø bulunur. D\K = {a, b, z} Böylece K/D ≠ D/K olur. Fark işleminin değişme özelliği yoktur.

TÜMLEME İŞLEMİ GERİ

Evrensel kümeyle bir kümenin farkına, o kümenin tümleyeni denir Evrensel kümeyle bir kümenin farkına, o kümenin tümleyeni denir. Bir kümeyle, tümleyeninin birleşimi evrensel kümeyi verir.

Çözüm: A kümesinin elemanlarının hepsi E kümesinin içindedir. Örnek: E = {a, b, c, 1, 2, e} ve A = {2, a, e} kümeleri verilsin. Bu iki kümeyi Venn şemasında gösterelim. Çözüm: A kümesinin elemanlarının hepsi E kümesinin içindedir. Buna göre şema şöyle olmalıdır: E Venn şemasında boyalı olarak verilen küme A kümesinin tümleyenidir. A kümesinin tümleyeni sembolle “A′” şeklinde gösterilir. A .2 .a .e .b .c .l

ALIŞTIRMALAR 1. A = {1, 3, 5} , B = {8, 4, 1} ve C = {1, 3, 4, 7} kümeleri veriliyor. Buna göre; Aşağıdaki işlemleri liste yöntemi ile yazınız. a) A ∩ B, A\C, B ∪ C, A ∩ B ∩ C b) s(A ∩ B) = ? c) s(A ∩ B ∩ C) = ? d) s(B\C) = ? 2. 51 kişinin çalıştığı bir şirkette çalışanlar Fransızca ve ingilizce dillerinden en az birini bilmektedir. 7 kişi hem Fransızca hem ingilizce ,18 kişi ise sadece ingilizce bildi.ine göre Fransızca bilenlerin kaç kişi olduğunu bulunuz.

3. 31 kişilik bir sınıfta yapılan matematik ve ingilizce sınavlarının sonuçları aşağıdaki gibidir: - Matematik sınavından 14 kişi geçer not almıştır. - İngilizce sınavından 21 kişi geçer not almıştır. - Matematikten geçer not alanların 2’si ingilizceden geçer not alamamıştır. Verilenlere göre: a) Yalnız matematikten geçer not alanların sayısı kaçtır? b) Her iki dersten geçer not alanlarla geçer not alamayanlar toplamı kaç kişidir?

4. Bir pastane sahibi iki saat boyunca kahve ve cay içen müşterilerin sayısını 36 olarak bulmuştur. Çay içen müşterilerin sayısı kahve içen müşterilerin sayısının 2 katıdır. 3 müşteri hem çay hem de kahve içtiğine göre; a) Bu durumu gösteren Venn şemasını çiziniz. b) Kaç kişi kahve içmiştir? c) Kac kişi sadece kahve icmiştir? d) Kaç kişi sadece cay içmiştir? 5. Bir pideci gün sonunda 20 tane Kaşarlı, 16 tane kıymalı pide satmıştır. Toplamda 32 kişiye pide sattığına göre, a) Kac kişi hem kaşarlı hem de kıymalı pide almıştır? b) Kaç kişi yalnızca kaşarlı pide almıştır? c) Kaç kişi yalnızca kıymalı pide almıştır? d) Kaşarlı pide almayan kaç kişi vardır?

DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER

KAZANIMLAR: KÜMELERDE BİRLEŞİM, KESİŞİM, FARK VE TÜMLEMENİN ANLAMLARINI KAVRAR. KÜMELERLE BİRLEŞİM, KESİŞİM, FARK VE TÜMLEME İŞLEMLERİNİ YAPAR VE BU İŞLEMLERİ PROBLEM ÇÖZMEDE KULLANIR. KAYNAK: 6. SINIF ÖĞRETMEN KLAVUZ KİTABI 2012 6. SINIF MATEMATİK DERS KİTABI

ADI: ÖZGE SOYADI: ARI SINIF: 2-B NUMARA: 110403096 BÖLÜM: İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ (I.ÖĞRETİM)