4. KARTEZYEN KOORDİNATLAR M.Feridun Dengizek

KARTEZYEN KOORDİNATLAR Uzayda herhangi bir noktanın yerinin (konumunun) belirtilmesi için iki ayrı koordinat sistemi kullanılır. Bunlar; Polar koordinat sistemi Kartezyen koordinat sistemi Yaşadığımız iç mekanlar genellikle kübik olduğu için kübik hacımlar için konum koordinatları verilmesi daha kullanışlıdır. Bu nedenle vektörlerin kartezyen koordinatlarda tanımlanması işleri dahada kolaylaştırır. İki boyutlu problemler için düzlemsel kartezyen koordinatların (Coplanar coordinates) kullanılması yeterli olmaktadır.

KARTEZYEN KOORDİNATLARDA KUVVET TANIMI İki boyutlu kartezyen koordinatlarda gösterilmiş F kuvvetinin x eksenindeki iz düşümü Fx y eksenindeki iz düşümü Fy olarak tanımlanır. FX=F*Cosϴ Fy=F*Sinϴ Şekil 2 de F kuvvetinin y ekseninde yönü negatif olduğundan Fy= -F*Sinϴ Şekil 1 Şekil 2

KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU Kartezyen vektör notasyonunda x yönündeki vektörler için i y yönündeki vektörler için j Notasyonları kullanılır. Kartezyen notasyonu ile şekil 3 deki F vektörü şeklinde yazılır. F üzerindeki ok bu değerin vektörel bir değer olduğunu belirtir Şekil 3

KARTEZYEN VEKTÖR TOPLAMASI Toplanacak vektörler önce kartezyen koordinat sistemine göre bileşenlerine ayrılırlar Sonra her bileşen kartezyen notasyonuna uygun olarak yazılırlar. F1=F1x+F1y F2=-F2x+F2y F3=F3x-F3y FR=F1 +F2 + F3 FR=(F1x i+F1y j )+(-F2x i +F2y j)+(F3xi -F3yj) FR=(F1x-F2x+F3x)i+(F1y +F2y -F3y)j FRx=ΣFX FRy=ΣFy FR=(FRx)i+(FRy )j 

PROBLEM 4.1 PROBLEM 3.2 NİN KARTEZYEN VEKTÖR NOTASYONU İLE ÇÖZÜMÜ FR=FA+FB FA=-FAx-FAy FB=FBx-FBy FAx=-6,000*Cos60 =-3,000N FAy=-6,000*Sin60 =-5,196N  FA=(-3,000i - 5,196j)N FBx=2,000*Cos45 =1,414N FBy=-2,000*Sin45 =-1,414N  FB=(1,414i – 1,414j)N FRx=ΣFX  FRx=-3,000+1,414N =-1,586N FRy=ΣFy  FRy=-5,196-1,414N =-6,610N

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU İki boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan vektörel işlemler kolaylıkla yapılır. Ancak üç boyutlu vektör işlemlerinde kartezyen notasyonu kullanılmadan sonuca ulaşmak daha zordur. Kartezyen koordinat sisteminde x,y,z eksenlerinin yönleri sağ el kuralı ile tespit edilir.

KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ MODEL GÖRÜNÜŞLER

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU 3 Boyutlu vektörün büyüklüğü F=Fx i +Fy j +Fz k 3 Boyutlu vektörün açısı. Bu açı koordinat düzleminde x,y,z eksenleri ile Toplam kuvvet F vektörünün arasındaki A, B, C açılarıdır. A açısı x ekseni ile F vektörü arasında B açısı y ekseni ile F vektörü arasında C açısı z ekseni ile F vektörü arasındadır

3 BOYUTLU VEKTÖRLERDE KARTEZYEN NOTASYONU F vektörü kartezyen notasyonu ile yazılması Fx=F*CosA Fy=F*CosB Fz=F*CosC F vektörü Büyüklüğü

İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ Bileşenlerine ayrılacak vektörün kuyruğu koordinat eksenlerinin kesiştiği O noktasında olmalıdır. Eğer verilen vektörün büyüklüğü ile birlikte iki açısı biliniyorsa bilinmeyen diğer açı aşağıdaki bağıntıdan bulunabilir. Daha sonra aşağıdaki bağıntılar kullanılarak vektörün x,y,z eksenlerindeki bileşenleri bulunur.

İKİ AÇISI BİLİNEN ÜÇ BOYUTLU VEKTÖR ANALİZİ FI =F* sinB Fx =FI * sinϴ Fx=F*sinB*sinϴ Fy=F*cosB Fz =FI * cosϴ Fz =F* sinB *cosϴ Eğer verilen iki açıdan birisi koordinat düzlemlerinden birindeki iz düşümün açısı ise bu durumda trigonometri kullanılarak bu açının iki eksendeki bileşenleri bulunarak çözüme gidilmelidir.

Problem 4.2 Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 200 N luk bir kuvvetle çekilmektedir. İp dikey köşe çizgisinden 450 , yatay köşe çizgisinden ise 600 açıda çekilmektedir. Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini kartezyen koordinat notasyonu ile yazınız. ÇÖZÜM  C=600 veya C=1200 C=1200 odanın sınırları dışında kalacağından, C=600 olarak tespit edilir. F=F*CosA i + F*CosB j + F*CosC k F=200*cos60i + 200*Cos45j + 200*Cos60k F=100i + 141.42j + 100k  Fx=100N, Fy=141.42N, Fz=100N

3 BOYUTLU VEKTÖRLERİN TOPLAMASI İki veya daha fazla üç boyutlu vektörün toplanması için önce her vektörün kartezyen notasyonu ile x, y, z bileşenlerine ayrılmış olarak yazılması gerekir. Bileşenlere ayrılan vektörler i, j, ve k olarak üç eksende toplamları alınır. Tüm vektörlerden elde edilmiş bu üç eksendeki bileşenlerinden toplam sonuç vektörünün büyüklüğü ve açıları toplanarak bulunmuş olur.

Problem 4.3 Bir odanın tam köşesinde çakılı bir halka halat ile 100 N luk bir kuvvetle çekilmektedir. Halat zemin düzleminden 600 , halatın zemin üzerindeki iz düşümü ise duvar düzlemlerinden 450 açıda çekilmektedir. Uygulanan kuvvetin x,y,z eksenlerindeki bileşenlerini kartezyen koordinat notasyonu ile yazın. Üç eksendeki büyüklüklerini bulunuz Halatın köşe çizgilerinden açılarını bulunuz.

Problem 4.3 Çözümü Önce F vektörünün zemin üzerindeki iz düşümü F’ kuvvetini bulalım FI =F*cos60 F’=100*cos60=50 N Fx=F’*sin45 Fx=50*sin45=35.36N Fz=F’*cos45 Fz=50*cos45=35.36N B=900-600  B=300 Fy =F*cosB Fy=100*cos30=86.6N F=35.36 i+86.6j+35.36k B=300

Problem 4.4 Bir halkadan iki ayrı halat ile farklı yönlerde kuvvet uygulanmaktadır. Halatlardan birisinden belirtilen açılarda 300 N kuvvet etki etmektedir. Halka üzerinde y ekseni yönünde toplam FT=800N toplam kuvvet ortaya çıkabilmesi için F2 kuvvetinin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz.

Problem 4.4 Çözümü Problemin çözümü için kuvvetlerin ayrı ayrı bileşenlerinin bulunması gerekir. F1 kuvvetinin hem büyüklüğü hem açıları bilindiği için bileşenleri kolaylıkla bulunur. F1 =(212.13 i + 150j – 150k)N

Problem 4.4 Çözümü F2 Kuvvetini analiz edebilmek için elde hiçbir veri bulunmamaktadır. Ancak Toplam kuvvet açıları ile birlikte bilindiği için toplam kuvvetin analizinden F2 kuvvetiinin bileşenleri bulunabilir FT toplam kuvvetinin hem büyüklüğü hem yönü bilindiği için kartezyen koordinat sisteminde kolaylıkla yazılır. FT=FTx i + FTy j + FTz k FT=(0 i + 800 j +0 k)N

Problem 4.4 Çözümü F2=(-212 i + 650 j -150 k)N

Problem 4.4 çözümü (Özet) Birden fazla üç boyutlu vektörlerin toplanmasında önce bilinen vektörler bileşenlerine ayrılır. Sonra her üç eksendeki bileşenler toplanarak eşitlik kurulur. Bileşenler bulunduktan sonra bilinmeyen açı değerleri tespit edilir

Problem 4.5 Yanda görülen halka 500N kuvvet ile belirtilen açılarda çekiliyor. Bu halkaya gelen kuvveti kartezyen notasyon ile yazınız. Çözüm İki açı biliniyor. Üçüncüyü bulalım Cos B=+/- 0.707 olması iki çözüm olduğunu göstermektedir. Bunlar 45 o 135o Şekilden açının y ekseni üstünde eksi yönde olduğu için -0.707 doğru çözümdür.  B= 135o

Problem 4.6 Yandaki resimde görünen kancanın üzerinde etkin olan toplam kuvvetin büyüklüğünü ve açılarını bulunuz. Önce F1 kuvvetinin eksenlerdeki bileşenlerini bulalım. F’1=600*(4/5) = 480N F1x=F’1*sin30 =480*sin30=240N F1y=F’1*cos30 =480*cos30=416N F1z=F1*(-3/5) =600*(-3/5) =-360N  F1=(240i+416j-360k)N Sonra F2 yi kartezyen koordinatlarda bulalım  B=45o veya B=135o B<90 B=45o

FT= (240i+416j-360k)N + (-200i+282j+200k)N Son olarak Toplam kuvveti bulalım. FT=F1+F2 FT= (240i+416j-360k)N + (-200i+282j+200k)N FT= ((240-200)i +(416+282)j+ (-360+200)k )N FT =(40i+698j-160k)N