Kesme kuvveti-Kayma gerilmesi-Kayma akımı-Kayma merkezi Shear Forces-Shear stress Shear flow-Shear center

Introduction Transverse loading applied to a beam results in normal and shearing stresses in transverse sections. Distribution of normal and shearing stresses satisfies When shearing stresses are exerted on the vertical faces of an element, equal stresses must be exerted on the horizontal faces Longitudinal shearing stresses must exist in any member subjected to transverse loading.

Shear flow on the Horizontal Face of a Beam Element Consider prismatic beam For equilibrium of beam element Note, Substituting,

Shear flow on the Horizontal Face of a Beam Element where

Shear on the Horizontal Face of a Beam Element Same result is found for lower area

Shear Stress on the Horizontal Face of a Beam Element Shear flow, Shear stress is found by dividing the shear flow q with bz. Shear stress

Örnek: Şekildeki yükleme durumu ve kesiti görülen kiriş için; C noktasındaki asal gerilmeleri ve doğrultularını bulunuz. Kesitteki kayma gerilmesi dağılımını gösteriniz. 2 m 6 kN A D E B 20 60 40 C G

Çözüm: KKD - EMD 6 kN 6 kN A B D E (+) (+) (+) (+) 6 kN 6 kN 6 kN (-) 12 kNm (+) (+) (+)

Ağırlık merkezi ve Atalet momenti 20 60 40 C G

Kesme Kuvveti-Kayma Akımı Kayma Merkezi-Kayma Gerilmesi

İNCE CİDARLI AÇIK KESİTLERDE KAYMA GERİLMELERİ VE KAYMA MERKEZİ Kesitteki iç kuvvetler:

Denge denklemi: Kesme kuvveti:

b – b kesitindeki ortalama gerilme:

Kayma Gerilmesi: Kayma Akımı:

«U» şeklindeki kesitin kayma merkezi Kesitteki Kayma Gerilmesi Değişimi:

Kanattaki kesme kuvveti: Kayma merkezi:

Kanattaki kayma akımı ve kesme kuvveti:

ÖRNEK: Şekilde görülen profil P=12 kN’luk bir kesme kuvvetine maruz kaldığına göre: Kayma merkezinin yerini bulunuz. Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi değişimini gösteriniz.

10 18 MPa

ÖRNEK: Şekilde görülen profilin boyutları b=100 mm, h=150 mm ve t=3 mm olup profil P=800 N’luk bir kesme kuvvetine maruz bırakılmaktadır. Buna göre: Kayma merkezinin yerini bulunuz. Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımını gösteriniz. e b h t O O’ A B D E

Çözüm: e b h t O O’ A B D E b=100 mm h=150 mm t=3 mm

AB kolundaki kayma akımını bulmak için s uzunluğundaki bir eleman dikkate alınır. ve s A B D E Statik momenti: Kayma akımı:

AB kolundaki kesme kuvvetini hesaplamak için A’dan B’ye kadar integral almak gerekir.

V O’ noktasına göre moment alınırsa kayma merkezi b A B h t O O’ A B D E şeklinde bulunur. V

Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımı A-B ve E-D kesitindeki kayma gerilmesi değişimi ve Statik momenti: s A Kayma gerilmesi denklemi:

Kesit çevresi boyunca kayma gerilmesi dağılımı B-D kesitindeki kayma gerilmesi (maksimum kayma gerilmesi) Maksimum kayma gerilmesi T.E. üzerinde meydana gelir. T.Ü. deki alanın statik momenti Statik momenti: Kayma gerilmesi denklemi:

Shearing Stresses in Thin-Walled Members Consider a segment of a wide-flange beam subjected to the vertical shear V. The longitudinal shear force on the element is The corresponding shear stress is Previously found a similar expression for the shearing stress in the web NOTE: in the flanges in the web

Shearing Stresses in Thin-Walled Members The variation of shear flow across the section depends only on the variation of the first moment. For a box beam, q grows smoothly from zero at A to a maximum at C and C’ and then decreases back to zero at E. The sense of q in the horizontal portions of the section may be deduced from the sense in the vertical portions or the sense of the shear V.

Sample Problem 6.3 Knowing that the vertical shear is 50 kips in a W10x68 rolled-steel beam, determine the horizontal shearing stresses in the top flange at the points a and C.

SOLUTION: First moment for the shaded area, The shear stress at a,

First moment for the area over point C, The shear stress at C,

- Craig

Unsymmetric Loading of Thin-Walled Members Beam loaded in a vertical plane of symmetry deforms in the symmetry plane without twisting. Beam without a vertical plane of symmetry bends and twists under loading.

Unsymmetric Loading of Thin-Walled Members If the shear load is applied such that the beam does not twist, then the shear stress distribution satisfies F and F’ indicate a couple Fh and the need for the application of a torque as well as the shear load. When the force P is applied at a distance e to the left of the web centerline, the member bends in a vertical plane without twisting.

Example 6.05 Determine the location for the shear center of the channel section with b = 4 in., h = 6 in., and t = 0.15 in.

Example 6.05 Inertia moment: b = 4 in., h = 6 in., and t = 0.15 in.

Solution where Combining,

Shear stress in flanges Determine the shear stress distribution for V = 2.5 kips. Shearing stresses in the flanges,

Shear stress in web Shearing stress in the web, Determine the shear stress distribution for V = 2.5 kips. Shearing stress in the web,

t =6 mm t1 =4 mm t2 =5 mm h1 =60 mm h2 =40 mm b=50 mm P=800 N Örnek: Şekilde kesiti görülen kirişin Kayma merkezinin yerini bulunuz. Kanatlarda oluşan iç kuvvetleri hesaplayınız. t =6 mm t1 =4 mm t2 =5 mm h1 =60 mm h2 =40 mm b=50 mm P=800 N t1 t2 b P h1 h2 t

Çözüm: Denge denklemleri t1 t2 e f b P h1 h2 V1 V2 A O x veya

Atalet momentleri P Tüm kesitin Atalet momenti Başlıkların atalet momentleri t1 t2 e f b P h1 h2 V1 V2 A O x

Sağ başlıktaki maksimum kayma gerilmesi

Sağ başlıktaki kesme kuvveti Sol başlıktaki kesme kuvveti Kayma merkezinin yeri:

Example: For the channel section, and neglecting stress concentrations, determine the maximum shearing stress caused by a V=800-N vertical shear applied at centroid C of the section, which is located to the right of the center line of the web BD. B A b=100 mm h=150 mm t=3 mm V h C x t D E b

Solution: V A C B E D = T +

V A C B E D

A C B E D O T

The maximum shearing stress