Olasılık Dağılımları ♦ Gazın her molekülü kendi hızına ve konumuna sahiptir. ♦ Bir molekülün belli bir hıza sahip olma olasılığı hız dağılım fonksiyonu ile tanımlanır. ♦ Bir molekülün belli bir konuma sahip olma olasılığı konum dağılım fonksiyonu ile tanımlanır. g Ng 0 2 4 1 5 2 ● ● Olasılık ve ortalama değer N = 100 toplam öğrenci sayısı 0≤g≤ 50 öğrencilerin bir sınavdan aldıkları not Ng  g notunu alan öğrenci sayısı Sınıfın not ortalaması

Pg  Rasgele seçilen bir öğrencinin herhangi bir notu alma olasılığı Örneğin g =38 için Ng=6 olsun g Bir öğrencinin notunun herhangi bir aralıkta olma olasılığı

Sürekli dağılımlar Sayı dağılım fonksiyonu g Sürekli dağılımlar Sayı dağılım fonksiyonu Sayıyı veren dağılım fonksiyonu Olasılık dağılım fonksiyonu olasılığı veren dağılım fonksiyonu

? Gazların Hız Dağılımı Sayıyı veren hız dağılım fonksiyonu: hızı ile arasındaki moleküllerin sayısını verir. ile olasılığı veren hız dağılım fonksiyonu: bir molekülün hızının arasında olma olasılığını verir. Sadece öteleme hareketi yapan molekülün (tek atomlu molekül) enerjisi ?

      Hız Dağılım Fonksiyonu f(v) Gaz izotropiktir (bütün yönler denktir). Bu nedenle hız olasılık dağılım fonksiyonu bütün yönlerde aynı olmalı. Yani f(vx), f(vy), f(vz) aynı fonksiyonla ifade edilmeli. Ayrıca herhangi bir doğrultudaki hareket diğer iki doğrultudan bağımsız olmalı F(vx,vy,vz) = f(vx)f(vy)f(vz)       Aynı işlem y ve z için de yapılırsa Bu eşitliğin sağlanabilmesi için hepsinin aynı sabite eşit olması gerekir.   Eğer sabiti –b yerine +b alsaydık. vx = ± ∞  ∞ Oysa şimdi vx = ± ∞  0

      a ve b sabitlerini hesaplamak için normalizasyon şartı ve kullanılabilir.  Gaussian integrali  Şimdi de b yi bulalım.    Gaussian integrali 

  Maxwell hız olasılık dağılım fonksiyonu Uygulama Molekülün hızın x bileşenin büyüklüğünün ortalama değerini bulalım  dönüşümleri yapılırsa  

Üç-boyutlu hız dağılımı Hız Uzayı Bir molekülün hızının x-bileşeninin vx ile vx+dvx arasında VE y-bileşeninin vy ile vy+dvy arasında VE x-bileşeninin vz ile vz+dvz arasında bulunma olasılığı. Bir molekülün hızının x-bileşeninin v ile v+dv arasında VE hız vektörünün polar açısının  ile +d VE azimutal açısının  ile +d arasında bulunma olasılığı.

VEYA Bir molekülün hızının v ile v+dv arasında bulunma olasılığı. Zaten

Hızın ortalama değeri İntegral tablosundan Hızın rms değeri 

En olası hız Hız en olası ise hız olasılık dağılım fonksiyonu maksimumdur.   En olası hız rms hız Ortalama hız

A B C

k Çift atomlu molekül z z y y x x z y x İdeal gazda moleküller etkileşmediğinden iç enerji sadece kinetik enerji ifadesini içerir: N tane sadece öteleme hareketi yapan molekülün enerjisi

Dönme kinetik enerjisi Titreşim kinetik enerjisi İdeal gaz Kinetik teori, tek atomlu ideal gaz tek atomlu ideal gaz N tane iki atomlu ideal gaz Enerjinin Eş Bölüşümü Enerji ifadesindeki bağımsız değişkenlerin karesi bir serbestlik derecesini gösterir. Bir molekülün ortalama enerjisine her serbestlik derecesinin katkısı kBT/2 olur. f-sebestlik derecesi

100K 500K 1000K 2000K of H2 gas H2 molekülünün sabit sıcaklıktaki ısı kapasitesi H2 O molekülünün sabit sıcaklıktaki ısı kapasitesi TİTREŞİM TİTREŞİM DÖNME DÖNME ÖTELEME ÖTELEME

Kristalin mekanik modeli Su molekülü Kristalin mekanik modeli f =3+3+6=12 f =6+6=12