İZOTROPİK ve ANİZOTROPİK Malzemeler MALZEME BİLİMİ Konu İZOTROPİK ve ANİZOTROPİK Malzemeler 15

İzotropik malzemelerin mekanik özellikleri bütün doğrultularda aynıdır. Anizotropik malzemeler mekanik özellikleri yönlere farklılık gösterene malzemelerdir. İsotropik malzeme (METALler) δ1= δ2 δ1 Ξ δ2 Anisotropik Malzemeler (AHŞAP) δ1≠ δ2 δ1 ≠ δ2

Hooke Kanunu s = E e Elastisite Modülü, E: F s E e F • Hooke Kanunu : Elastik malzemeler için, gerilme ile birim şekil değiştirme doğru orantılıdır ve zamandan bağımızdır. Elastisite Modülü, E: F s s = E e E e F Lineer- elastik Basit çekme deneyi

“Genelleştirilmiş Hooke kanunuları olarak adlandırılır” Anizotropik malzemeler için, gerilme birim şekil değiştirme arasında altı denklemle verilen doğrusal ilişki, “Genelleştirilmiş Hooke kanunuları olarak adlandırılır” σxx = C11εxx+C12εyy+C13εzz+C14γxy+C15γxz+C16γyz σyy = C21εxx +C22εyy+C33εzz+........... σzz = C31εxx + C32εyy+.......... τxy = C41εxx +........... τxz = C51εxx +........... τyz = C61εxx +...........

Geneleştirilmiş altı Hooke denklemleri matris formunda yazılabilir Birim şekil değiştirme Elastik sabitler Gerilme

Gerilme-şekil değiştirme ilişkilerine bünye denklemleri denir. Simetriden C12=C21, C31=C13...olduğu gösterilebilir. Buradan , anizotropik malzemelerin bağımısız elastik sabitleri 21 düşer. İzotropik elastik sabitlerinin sayısı 2 ye düşer. Aslında , bunlar 4 dür (E, ν, K, G) Fakat sadece 2 bağımsızdır.

Izotropik malzemeler için Geneleştirilmiş Hook denklemleri E, n ve G elastik sabitlerdir

YANLIZCA ÇEKMEYE MARUZ İZOTROPIK MALZEMELER

YANLIZCA KESMEYE MARUZ İZOTROPIK MALZEMELER

THERMOELASTİK ETKİLER MALZEME BİLİMİ Konu THERMOELASTİK ETKİLER ve PLASTİSİTE 16

Elastik malzemelerde gerilme birim şekil değiştirme ilişkileri doğrusaldır ve zamandan bağımsızdır. Ancak bu ideal davranıştan herzaman bir sapma söz konusudur. ε σ

σ ε Mekanik def. C B A o Thermal def. Malzeme hızlı çekildiğinde (OA Doğrusu), Hacmi artar ve sıcaklığı düşer (Çevreden ısı transferine zaman kalmadan) Eğer malzeme etki eden yük altında yeteri kadar uzun süre tutulur ise oda sıcaklığına erişecek kadar ısınır ve uzar (AB doğrusu)

σ Adiabatik doğru A B C o ε Mekanik def. Thermal def. Yük kaldırılırsa malzeme geri döner(BC dogrus) ve sıcaklığı artar. Soğumasına izin verilirse oda sıcaklığına kadar soğur (CO doğrusu). Bu davranışa “adiabatik proses”. adı verilir. Burada çevreden herhangi bir ısı alış verişi yoktur.

Eadiabatic > Eisothermal Eğer malzeme sıcaklık değişimini sabit tutacak şekilde yüklenirse “isothermal davranış” gösterir. OB doğrusu. σ ε Mekanik def. C B A o Thermal def. Eadiabatic > Eisothermal Adiabatik doğru Isothermal l doğru

Bu nedenle σ-ε eğrisi aşağıdaki şekildeki gibidir Gerçekte, adiabatik davranış söz konusu değildir, herzaman belli oranda bir ısı transferi olmaktadır. Bu nedenle σ-ε eğrisi aşağıdaki şekildeki gibidir ε σ Bu döngüye “HYSTERESIS DÖNGÜ” yükleme ve boşaltma sırasındaki disipe olan ısıyı temsil eder.(kayıp olan enerji)

Metallerin elastik analizinde gerilmenin sadece birim şekil değiştirmeye bağlı olduğu kabul edilir. Bu tamamı ile doğru değildir ve elastisitenin zamana bağlılıkta söz konusudur. Metallerde zaman bağlılık etkisi az olduğundan ihma edilebilir düzeydedir. Ancak polimer malzemelrde bu etki önemli boyutlardadır. Zaman bağlı elastisite genel olarak “anelasticity”.elastisiteden sapma ve malzeme ic yapı sürtünmesi ile alakalıdır.

Örnek 1: Prismatik çelik numune aşağıdaki yük kombinasyonuna maruz kalıyor . P1=900kN P2=-900kN P3=900kN ν=0.26, E=200GPa P2 P3 P1 10cm 5cm 50cm Hacimdeki değişimi bulunuz. Hacimsel değişme olmaması için uygulanması gereken basınç kuvveti ne olmalıdır

ε is small, ε2 & ε3 are smaller and can be neglected. Başlangıç hacmi V0 = 1 Son hacim Vf olsun: (1+ε) (1-νε) (1-νε) = (1+ε) (1-2νε+ν2ε2) = 1 - 2νε + μ2ε2 + ε-2νε2 + ν2ε3 = 1 + ε - 2νε - 2νε2 + ν2ε2 + ν2ε3 ε is small, ε2 & ε3 are smaller and can be neglected. Vf = 1+ ε - 2νε → ΔV = Vf - V0 = ε (1-2ν) Eğer bütün yüzeyleri eşdeğer basınca maruz kalırsa: ΔV = 3ε (1-2ν)

Ξ + SΔV = 3ε (1-2ν) = ε (1-2ν) + ε (1-2ν) + ε (1-2ν) savg (σ+σ+σ)/3 σ E 3 (1-2ν) K = = = = DV/V0 3ε (1-2ν) 3ε (1-2ν) K = E 3 (1-2ν)

K ile E arsında bağıntı : 3 (1-2ν) K ile E arsında bağıntı : G ile E arasındaki bağıntı G = E 2 (1+ν) G, E ve K arasındaki bağıntı E 1 = + 9K 3G

σ1 = 50x100 = 900*103 A1 P1 = 180 MPa = 0.18 GN/m2 (N) (mm2) P1 A1

500x50 = -900*103 A2 -P2 = - 0.036 GN/m2 σ2 = A2 P2

500x100 = 900*103 A3 P3 = 0.018 GN/m2 σ3 = A3 P3

= 0.054 GN/m2 3 = 0.18-0.036+0.018 σ1+σ2+σ3 σavg = V0 = 0.05 x 0.10 x 0.5 = 2.5x10-3 m2 3(1-2*0.26) = 200 3(1-2ν) E = 138.96 GN/m2 K = 0.054 ΔV/2.5x10-3 ΔV = 9.7x10-7 m3 138.96 =

ν = 0.26 ise σavg = 0 olmalıdır P2 = -0.198 * 500 * 50 = -4950 kN ν = 0.5 For ΔV = 0 or σavg = 0 ν = 0.26 ise σavg = 0 olmalıdır σavg = σ1 + σ2 + σ3 = 0.18 + σ2 + 0.018 = 0 σ2 = -0.198 GN/m2 P2 = -0.198 * 500 * 50 = -4950 kN

Eksenel birim şekil değiştirme, εl Boydaki değişim, Δl Örnek 2: 3 cm çapında ve 75 cm boyundaki Bir aluminyum alaşım çubuk 2000 kgf luk bir çekme yüküne maruz kalıyor Eksenel birim şekil değiştirme, εl Boydaki değişim, Δl Çaptaki değişim, Δd Malzeme sabitleri E = 7x105 kgf/cm2 ν = 0.33 3 cm 75 cm 2000 kgf

Kısalma E = σ εl εl = E = 2000/(π*32/4) 7x105 εl = 4.042x10-4 cm/cm (Çekme) εl = ΔL L ΔL = 4.042x10-4 * 75 =0.0303 cm ν = εeksenel εyanal εlat = ν . εl Δd = ν . εl . d = 0.33 * 4.042x10-4 * 3 = 0.0004 cm Kısalma

Hacimsel genişleme σavg E K = = ΔV/V0 3(1-2ν) ΔV σavg*3*(1-2ν) = V0 E = 0.073 cm3 Hacimsel genişleme

MALZEME BİLİMİ Konu 17 VİSKOZİTE

Kristal yapılarda plastik deformasyon dislokasyon hareketleri ile oluşur. Kristalik olmayan yapılarda ise plastik deformasyon viskoz akış yüzünden olur Vikoz akışın karakterisitiği, viskozite, kristal olmayan yapıların deformasyona karşı gösterdiği direncin ölçülmesidir. L A plakası F V Teğetsel bir (F) kuvveti sıvı üzerindeki bir plakaya uygulandığında ,plaka tabana göreceli olarak hareket eder

Herbir seviyedeki sıvı parçacıklarının hızı L mesafesinin bir fonkisyonudur.Bu nedenle parçacıkların pozisyonlarının değiştiği andaki oran, akış oranın ölçümünü verir. dγ dL dV = Hız gradyantı dt Akış oranı A dL dV Newton eşitliği: F = η τ = F / A η : viskozite katsayısı dt dγ τ = η τ = η dL dV & 1 2

Viskozitenin birimi Pa.s (Pascal-saniye) (N.s/m2) (1) ve (2) denklemlerine uyan akışkanlara Newton akışkanı denir. Defermasyon hızının kayma gerilmesiyle doğru orantılı olduğu akışkanlara Newton tipi akışkanlar denilmektedir Newtonian liquids η

Viskozite sıcaklığa bağlı olarak değişir.. A: Sabit E: Enerji aktivasyonu R: Gaz sabiti T: Sıcaklık η 1 = A . e-E/RT Newton akışkanına katı parçacıklar eklendiğinde, viskozite artar. η0: mevcut akışkanın viskozite katsayısı. Ø: katı parçacıkların hacimsel yoğunluğu η = η0 (1+2.5 Ø) η = η0 (1+2.5 Ø + 14.1 Ø2)

NEWTON TİPİ OLAMYAN MALZEMELER Bazı özel malzemeler, τ-dγ/dt ifadesi Newton tarafından tanımlana lineerliğe uymaz. Yani Viskozite kayama birim şekil değişterme hızı ile değişiyordur. Dilatant(Kalınlaşan): η, kayma hızının artışıyla artıyor ise, dγ/dt or τ (kil) Newton tipi: (bütün akışkanlar) Psödoplastik: η, kayma hızının artışıyla azalıyorsa, dγ/dt or τ (plastikler, kan, elma püresi) Newtonian η

arasındaki ilişki genel olarak aşağıdaki denklemle ifade edilir dγ/dt ve τ arasındaki ilişki genel olarak aşağıdaki denklemle ifade edilir η 1 = τn . dt dγ If n=1 → Newtonsal n > 1 → Psödoplastik n < 1 → Dilatant

Taze çimento hamuru ve karışımı, sıvı ortamında çok ciddi oranda yoğun katı paçacıkalrına sahiptir. Bu malzemenin davranışı Bingham denklemi ile tanımanır. dt dγ τ = τy + η dt dγ τ τy ( τy kadar akış yoktur)

VISKOELASTISİTE ve REOLOJİK MODELER Viskoelastik davranış, isminde anlaşılacağı gibi, elastisite ve viskozitenin birleşimidir. Böyle bir davranış Reolojik Modellerle tanımlanır.Bu modeller elastisiteyi tanımlayan yaylardan ve viskoziteyi tanımlayan dashpots(amortisör)den oluşur.

(Yük) (Elastik) ε = σ/E (Viskoz) dε/dt = σ/γ (Viskoelastik) t1 Zaman Strain Yük Birim Şekil Değiştirme t0 (Yük) (Elastik) ε = σ/E (Viskoz) dε/dt = σ/γ (Viskoelastik)

Viscoelastik davranışı tanımlayan Reolojik Modeller: Maxwell Model Kelvin Model 4-Elemen Model (Burger’s Model)

1. Maxwell Model: Bir yay ve amortisör olarak bağlanır σ k = E β = 1/η Bir yay ve amortisör olarak bağlanır Herbir elemenadaki gerilme aynıdır: σyay = σdashpot Ancak, deformasyon aynı değildir: εyay ≠ εdashpot

Yük (gerilme) yaya uygulandığı zaman yay hemen karşılık verir ve εyay = σ/E şeklinde deforme olur Aynı zamanda dashpot pistonuda hareket etmeye başlar ve βσ = σ/η oranında hareket eder ve t anındaki pistonun deformasyonu Sistemin toplam deformasyonu:

ε P t εdashpot→ kalıcı viskos def. εspring εdashpot

Dinlenme: Viskoz malzemelerin önemli bir davranış şeklidir Dinlenme: Viskoz malzemelerin önemli bir davranış şeklidir. Malzemenin sabit birim şekil değiştirme altında iken gerilmenin ani düşmesi olayıdır. ε0 ε t σ0 σ

& If ε sabit ise → Bu dif denk çöümü Burada : σ0 = Eε0

ε Dinlenme zamanı viskozite parametresidir ε0 t Eğer cisim sabit strain altında ise , gerilme zamanla azalarak kayıp olur(relaks). Bu olay bazı seramiklerde, camlarda ve betonda görülür. σ σ0 Slope @ t=0 0.37σ0 trel t

2. Kelvin Model: Yay & a dashpot paralel bağlanmıştır. Bu durumda deformasyonlar aynı fakat gerilmemeler farklıdır. εspring = εdashpot σspring ≠ σdashpot σ = σspring + σdashpot E 1/η σ

σ σ0 t ε t (Delayed elasticity)

Her bir strain artımında yay σ/E kadar deforme olur Her bir strain artımında yay σ/E kadar deforme olur. Yükün bır kısmı yay tarafından karşılandığından pistondaki yük azalır. Bu nedenle zaman en son deformasyon asimptotik olarak yaklaşılır ve yük kaldırıldığı zaman, σ=0. oluncaya kadar asimptotik geri dönüş olur Viscoelastik Kelvin modeli sabit grilmeye maruz kaldığında σ0, davranış diff denklemin çözülmesi ile aşağıdaki gibi elde edilir.

σ t t=∞ Geciktirme zamanı Gerildiğinde yaydaki elastik deformasyon dashpotun viskoz deformasyonu tarafından geciktirilir ε tret ε0 Geciktirilmiş elastik strain (delayed elastic strain) 0.63ε0

3. Burger’s Model: Gerçek viskoelastik davranış oldukca karmaşıktır. Basit modeller, Maxwell & Kelvin Models,temel vskoelastik davranışı açıklar. The Maxwell Model, örneğin, viskoz karaktersitiği vardır ve viskoelastik malzmelerin dinlenme davranışını açıklar Diğer taraftan Kelvin Model katı karaktersitiği vardır ve geciktirilmiş elastisiteyi açıklar.

Ancak bu modellerden hiç biri kompleks viskoelastik davranışı tanımlamaz. E ve η sabitlerinden farklı diğere sabitlere sahip karmaşık modeller vardır. Bunlardan biri BURGER, tarafından geliştirilmiştir. Bu modelde Maxwell Model ve Kelvin Modeli seri halinde birleşitirmişitir

σ E1 E2 η1 η2 σ σ0 t εvis εvis+εret ε1 t ε

Kelvin (geciktirilmiş elastisite) Spring (elastik) Dashpot (viscous) Kelvin (geciktirilmiş elastisite) Çoğu mühendislik mazlemelerinin 4-Element Modeli tanımlanmış davranışdan belli sapmalar içermektedir.. Bu nedenle deformasyon denklemi genellikle aşağıdaki gibi yaklaşık olarak ifade edilir Elastik Geciktirilmiş Elastisite Viskozite

Burada “k, β & γ” malzeme sabitleri & “α, n” ise lineer olamayan davranışla ilgili sabitlerdir.

Örnek 1: Bir tür yağın, aşağıdaki grafikle deneysel olarak belirlenmiş kayma gerilmesi ile deformasyon(akış) hızı arasındaki ilişki verilmiştir. Buna göre bu yağın viskozite katsayısını bulunuz. dγ/dt (1/sec) 0.9 0.6 0.3 30 20 10 τ (Pa)

Example 2: Uzunluğu 75 cm olan beton numune 150 kgf/cm2 lık sabit basınç gerilmesi altında iken aşağıdaki değerler elde ediliyor. t (month) ε 1 0.0006 0.0007 Farz edin ki B sabit. 150 kgf/cm2 gerilme altındaki betonun 6 ay sonraki deformasyonu ne olur?

Example 3: A glass rod of 2. 5 cm in diameter & 2 Example 3: A glass rod of 2.5 cm in diameter & 2.5 m in length, is subjected to a tensile load of 10 kgf @ 450°C. Calculate the deformation of the rod after 100 hrs. η=2x1012 poise @ 450°C & E=1.55x105 kgf/cm2 Assume that the behavior of glass at this temperature can be approximated by a Maxwell Model.

For Normal Stresses & Strains the viscous behavior is described by dε/dt=σ/λ where λ is called “the Coefficient of Viscous Traction” & equals to “3η”. η=2x1012 poise (1 poise = 1 dyne.sec/cm2) & (1 kgf = 106 dyne) After 100 hrs the total strain is 3.4x10-7x100x60x60 = 0.1244 Δ = 0.1244x250 = 30.6 cm