Simetrik olmayan (Eğik) Eğilme Unsymmetric Bending
Chapter Outline Pure Bending Unsymmetric Bending for symmetric cross-section Unsymmetric Bending for unsymmetric cross-section Inertia moments – principal inertia moments Unsymmetric Bending
Pure Bending Basit Eğilme Analysis of pure bending has been limited to members subjected to bending couples acting in a plane of symmetry. Members remain symmetric and bend in the plane of symmetry. The neutral axis of the cross section coincides with the axis of the couple. Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending for Symmetric Cross-section Simetrik Kesitli Kirişlerde Ansimetrik Eğilme We will now consider situations in which the bending couples do not act in a plane of symmetry. Cannot assume that the member will bend in the plane of the couples. Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending for symmetric cross-section We wish to determine the conditions under which the neutral axis of a cross section of arbitrary shape does not coincides with the axis of the couple as shown. The resultant force and moments from the distribution of elementary forces in the section must satisfy Neutral axis passes through centroid.
Determination of stress distribution due to Mz
Determination of stress distribution due to My
Resultant stress: Superposition method
Unsymmetric Bending for symmetric «T» cross-section Superposition is applied to determine stresses in the most general case of unsymmetrical bending. Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes. Unsymmetric Bending
Superpose the component stress distributions Combined stress,
Along the neutral axis, normal stress must be zero. Thus Unsymmetric Bending
Example 4.08 A 180 Nm couple is applied to a rectangular wooden beam in a plane forming an angle of 30 deg. with the vertical. Determine the maximum stress in the beam, the angle that the neutral axis forms with the horizontal plane. Unsymmetric Bending
Solution Resolve the couple vector into components along the principle centroidal axes and calculate the corresponding maximum stresses. Combine the stresses from the component stress distributions. Unsymmetric Bending
Determine the angle of the neutral axis. Unsymmetric Bending
Resolve the couple vector into components and calculate the corresponding maximum stresses. Unsymmetric Bending
Determine the angle of the neutral axis. Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Distribution of the streeses in the cross-section. Unsymmetric Bending
Örnek: Şekildeki kirişin A, B, C ve D noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız. x y b=60 mm h=80 mm L=1 m F=10 kN A B C D
Çözüm: B A F=10 kN Kesit özellikleri (atalet momentleri): M y h=80 mm b=60 mm x y h=80 mm F=10 kN M B
B A Eğilme momenti bileşenleri: F=10 kN M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending
B A F=10 kN Tarafsız Eksen (TE) TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending
B A F=10 kN A noktasındaki gerilme: TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending
B A F=10 kN B noktasındaki gerilme: TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending
C B A F=10 kN C noktasındaki gerilme: TE M y h=80 mm x b=60 mm Unsymmetric Bending
x y F=10 kN M A B TE D noktasındaki gerilme: C D Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Bending for unsymmetric cross-section In general, the neutral axis of the section will not coincide with the axis of the couple. Unsymmetric Bending
Simetrik Olmayan Kirişlerde Eğilme
Unsymmetric Bending
veya Unsymmetric Bending
ve veya Unsymmetric Bending
Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı: σz gerilme fonksiyonu sıfıra eşitlenirse Tarafsız Eksen (TE) denklemi ve Tarafsız Eksenin açısı bulunur. Tarafsız Eksenin x ekseni ile yaptığı açı: TE Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Örnek: Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için: A Şekilde kesiti ve yükleme durumu verilen kiriş için: Ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz. Kesitteki eğilme momentinin değeri M=20 kNm olduğuna göre bileşenlerini bulunuz. Tarafsız Ekseni belirleyiniz. A, B ve C noktalarındaki gerilmeleri hesaplayınız. Kiriş kesitindeki ekstremum gerilmeleri belirleyerek emniyetli olup olmadığını irdeleyiniz. G B C Unsymmetric Bending
Kesitin ağırlık merkezinin yeri: Unsymmetric Bending
Atalet Momentleri: Paralel Eksen Teoremi Y y xi Ci C x yi O X Unsymmetric Bending
Paralel Eksen Teoremi ile Y X Ağırlık merkezinden geçen x ve y eksenlerine kesitin atalet momentleri: Paralel Eksen Teoremi ile Unsymmetric Bending
Eğilme momentinin bileşenleri: A Eğilme momentinin bileşenleri: G B C Unsymmetric Bending
Gerilme Denklemi: Unsymmetric Bending
Tarafsız Eksen Denklemi: Tarafsız Eksen Denklemi, Gerilme denklemi sıfıra eşitlenerek bulunur: T.E. Tarafsız Eksenin eğim açısı : Unsymmetric Bending
Kesitteki gerilmeler: A(-35;115) noktası T.E. A B(-35;-65) noktası C(85;-65) noktası B C Kesit kontrolü Olduğundan kiriş emniyetlidir.
Örnek: şekildeki ‘L’ kesitli kirişin C noktasına P=4 kN luk eğik bir kuvvet uygulanmaktadır. Ҩ=60 olduğuna göre: Kesitin ağırlık merkezinin yerini belirleyiniz. Atalet momentlerini hesaplayınız. T.E. Tarafsız ekseni bulunuz. Maximum çeki ve bası gerilmelerini hesaplayınız. Unsymmetric Bending
Çözüm: Ağırlık merkezinin yeri Atalet momentleri Ix =2.783x106 mm4 Iy =1.003x106 mm4 Ixy =-0.973x106 mm4 Unsymmetric Bending
Momentin bileşenleri Unsymmetric Bending
Gerilme fonksiyonu Unsymmetric Bending
Tarafsız Eksen Denklemi ve Tarafsız Eksenin eğim Açısı Unsymmetric Bending
T.E. den en uzak noktalar: Gerilmeler T.E. den en uzak noktalar: Unsymmetric Bending
Örnek: Yükleme durumu ve kesiti görülen kirişin A, B ve C noktalarında meydana gelen gerilmeleri hesaplayınız ve σem=200 MPa için kirişin kontrolünü yapınız. 10 40 60 mm y x C F A B Fy a b z y Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
B C Unsymmetric Bending
Solution: for neutral axis N.A. B C Unsymmetric Bending
Stresses at points A, B and C: N.A. Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending
Unsymmetric Bending