EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir. Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte yer alan bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

İÇSEL DEĞİŞKEN: Sistemin bağımlı yani tayin edilen değişkenleridir. Bu değişkenlerin değerleri, modelin dışsal değişkenleri ve parametreleri tarafından tayin edilirler. Sistemin içinde belirlenmektedir. Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. Eşanlı modelde denklemlerin hem solunda hem de sağında aynı anda yer alan değişkenlerdir. DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde etkileyici, belirleyici değişkenlerdir. Eşanlı modelde denklemlerin sadece sağında yer alan değişkenlerdir. Tam bağımsız ve gecikmeli içsel değişken olarak iki gruba ayrılırlar.

Örnek 1 1.Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Yağış miktarı(X) Arz Miktarı Y 1 Buğday Fiyatı Y 2 Y 1 : Miktar Y 2 : Fiyat X: Yağış Miktarı X

Örnek 2 Y=f(X)=a 0 +a 1 X+u 1 X=f(Y)=b 0 +b 1 Y+b 2 I+u 2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi I = Yatırım seviyesi Y X I

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y 1 =f(X 1,X 2,X 3, X k,u 1 ) Y 2 =f(X 1,X 2,X 3, X k,Y 1,u 2 ) Y 3 =f(X 1,X 2,X 3, X k,Y 1,Y 2,u 3 ) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkeni yer alır. İkinci denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y 1 yer alır. Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri tek tek basit EKKY ile çözülebilir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y 1 =a 0 +a 1 Y 2 +a 3 Y 3 +b 1 X 1 +b 2 X 2 +u 1 Y 2 =a 3 +a 4 Y 1 +a 5 Y 3 +b 3 X 3 +u 2 Y 3 =a 6 +a 7 Y 1 +a 8 Y 2 +b 4 X 2 +b 5 X 3 +u 3 EŞANLI MODELGERİ DÖNÜŞLÜ MODEL X2X2 X3X3 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 X1X1 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 X3X3 X1X1 X2X2 Y 1 =a 0 +b 1 X 1 +b 2 X 2 +u 1 Y 2 =a 1 +a 2 Y 1 +b 3 X 3 +u 2 Y 3 =a 3 +a 4 Y 1 +a 5 Y 2 +b 4 X 1 +b 5 X 2 +u 3

Geri Dönüşlü Model Y 1 =a 10 +b 11 X 1 +b 12 X 2 +u 1 Y 2 =a 20 +a 21 Y 1 +b 21 X 1 +b 22 X 2 +u 2 Y 3 =a 30 +a 31 Y 1 +a 32 Y 2 +b 31 X 1 +b 32 X 2 +u 3 Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. Farklı hata terimleri arasında ilişki yoktur. kov(u 1,u 2 )=kov(u 1,u 3 )=kov(u 2,u 3 )=0 Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı ayrı Basit EKKY uygulanabilir. Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir, bu nedenle nedensel modeller olarak da adlandırılır.

YAPISAL MODEL Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. Yapısal denklemler içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenlerin Dışsal değişkenlerin ve Hata teriminin bir fonksiyonu olarak ifade ederler.

Y 1 =a 12 Y 2 +a 13 Y 3 +…….a 1M Y M +b 11 X 1 +b 12 X 2 +……..+b 1k X k +u 1 Y 2 =a 21 Y 1 +a 23 Y 3 +…….a 2M Y M +b 21 X 1 +b 22 X 2 +……..+b 2k X k +u 2 Y 3 =a 31 Y 1 +a 32 Y 2 +…….a 3M Y M +b 31 X 1 +b 32 X 2 +……..+b 3k X k +u 3                    Y M =a M1 Y 1 +a M2 Y 2 +….a MM Y M-1 +b M1 X 1 +b M2 X 2 +……..+b Mk X k +u M Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı = a= Y içsel değişkenlerinin yapısal katsayıları b= X dışsal değişkenlerinin yapısal katsayıları

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y 1, Y 2, ….Y M = İçsel (Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X 1, X 2,…..,X K = Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler Dışsal Değişkenler 1.Değerleri model içinde tayin edilir. 2.Stokastiktir 1.Değerleri model dışında tayin edilir. Önceden belli değişkenlerdir. 2.Stokastik değildir. 3.İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri (Y t-1 ) dışsal değişken olarak kabul edilir (u t hata terimi otokorelasyonsuz olduğunda geçerlidir.) 4.X t, X t-1, Y t-1 dışsal değişkenler grubundadır.

DARALTILMIŞ MODEL ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y 1 = f(X 1,X 2,…….,X k,v 1 ) Y 2 = f(X 1,X 2,……,X k,v 2 )   Y M = f(X 1,X 2,……,X k,v M ) Genel Daraltılmış Model Y i = π i1 X 1 +π i2 X 2 +…….+π ik X k i=1,.. …M Daraltılmış modeldeki dışsal değişken katsayıları(  i ) kısa dönem çarpanlarıdır.

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: Tanım denklemleri (Özdeşlikler = Eşitlikler) Davranış Denklemleri Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model C t =a 0 +a 1 Y t +u 1t I t =b 0 +b 1 Y t +b 2 Y t-1 +u 2t Gelir Eşitliği Denklemi Daraltılmış Kalıp Denklemleri C t =f (Y t-1,G t )=π 1 +π 2 Y t-1 +π 3 G t +v 1 Tüketim Fonksiyonu Yatırım fonksiyonu Y t =C t +I t +G t I t =f (Y t-1,G t )=π 4 +π 5 Y t-1 +π 6 G t +v 2 Y t =f (Y t-1,G t )=π 7 +π 8 Y t-1 +π 9 G t +v 3 Y t-1 ve G t dışsal değişkenlerdir. C t, Y t ve I t üç içsel değişkendir. C:Toplam tüketim harcaması Y:Milli Gelir I:Yatırım G:Devlet(kamu)harcamaları

Gelir eşitliği denkleminde 1 ve 2 numaralı denklemler yerine konursa 88 77 99 v3v3

I t =f (Y t-1,G t )=π 4 +π 5 Y t-1 +π 6 G t +v 2 Y t =f (Y t-1,G t )=π 7 +π 8 Y t-1 +π 9 G t +v 3 Daraltılmış Kalıp Denklemleri C t =f (Y t-1,G t )=π 1 +π 2 Y t-1 +π 3 G t +v 1 π1π1 π3π3 π2π2 v1v1 π4π4 π6π6 π5π5 v2v2 π7π7 π9π9 π8π8 v3v3

Daraltılmış model katsayılarının yapısal parametrelerle elde edilişi :

Yapısal model parametreleri (a,b) ve daraltılmış model parametreleri  farklı anlamlıdır. Yapısal parametre, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemdeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkileri gösterir. Yapısal modelin herhangi bir denkleminde açıkca görülmeyen bir değişken o denklemin bağımlı değişkenini dolaylı olarak etkileyebilir.

 5 daraltılmış parametresine ilişkin doğrudan ve dolaylı etkilerini bulalım: I t =f (Y t-1,G t )=π 4 +π 5 Y t-1 +π 6 G t +v 2  5 Y t-1 deki bir birimlik artışın yatırım üzerinde yaptığı etkiyi ölçer Birinci Kısım Etkiİkinci Kısım Etki I t =b 0 +b 1 Y t +b 2 Y t-1 +u 2t I t üzerindeki doğrudan etki Y t-1 →I t, I t Y t, Y t C t Doğrudan Etki +Toplam Etki =Dolaylı Etki C t =a 0 +a 1 Y t +u 1t I t =b 0 +b 1 Y t +b 2 Y t-1 +u 2t Y t =C t +I t +G t

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a 0 +a 1 P t +u 1 =b 0 +b 1 P t +u 2  v1v1  v2v2 Yapısal Model P yalnız bırakıldığında P’nin eşitini talep veya arz denkleminde yerine koyarsak

Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI EKK / Varsayım-5 : Kov(u i, X i )=0

1.kov(Y t,u t )  0 İspatı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI -

EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI Eşanlı bir modelde alınacak denklem sayısı, genelde modelin amacının ileriye yönelik tahmin mi yoksa belli parametrelerin en iyi tahminleri mi olduğuna bağlıdır. Eşanlı bir modelin içsel değişkenlerinin sayısı modelin denklem sayısına eşit olmalıdır. Dışsal değişken sayısı istenildiği kadar alınabilir. Ancak değişken sayısının çok fazla artması modeli karmaşık hale getirir.

C: Tüketim Y: Gelir I :Yatırım G: Kamu harcamaları K: Sermaye stoku

Örnek Bu modeldeki içsel ve dışsal değişkenleri belirleyerek modelde Basit EKKY ile tahmin edilebilecek denklemler olup olmadığını tespit ediniz.