JEODEZİ I Doç.Dr. Ersoy ARSLAN

BÖLÜM 3 3. DÖNEL ELİPSOİDE İLİŞKİN BAZI BÜYÜKLÜKLERİN DİFERANSİYEL GEOMETRİDE İFADESİ 3.1. DİFERANSİYEL GEOMETRİDEN ÖN BİLGİLER 3.1.1. Gauss Parametreleri

eşitliği ile verilmiştir. Diferansiyel geometride, dik koordinatlar sisteminde bir uzay noktasının koordinatlar başlangıcından uzaklığına, vektör olarak «yarıçap vektörü» denirse, yarıçap vektörü (ya da yer vektörü) r, r = Xi + Yj + Zk eşitliği ile verilmiştir. Yer vektörünün skalar değeri Burada X,Y,Z, noktanın dik koordinatları, i,j,k ise X,Y,Z doğrultu­sundaki birim vektörleridir. Yani, IiI = IjI = IkI =1 dir.

r = X(u,v) i+Y(u,v) j+Z(u,v) k = r(u,v) (3.3) dir. Eğer, (3.2) olmak üzere uzay koordinatları (u,v) parametrelerine bağlı iseler, u ve v nin düzlemde bir noktanın dik koordinatları olarak gösterilmesi halinde her (u,v) çifti için düzlemdeki bir Pi noktasına karşılık uzayda bir nokta bulunabilir. Böyle bir noktanın yarıçap vektörü; r = X(u,v) i+Y(u,v) j+Z(u,v) k = r(u,v) (3.3) dir.

u parametre eğrisi (u eğrisi) (v = sabit) Eğer fonksiyonel matris, yani, (3.4) ise, ki reel yüzeylerde bu şart gerçekleşir, bu takdirde her (u,v) çifti uzayda bir yüzey noktasını belirler. Bu noktaların tümü uzayda bir yüzey tanımlar. Bu yüzeye «Jordan yüzeyi» ve u ve v parametrelerine «Gauss Parametreleri» denir. Bu parametrelerden birisi sabit tutulur, diğeri değiştirilirse, yüzey üzerinde «Parametre eğrileri» meydana gelir. Örneğin, u parametre eğrisi (u eğrisi) (v = sabit) v parametre eğrisi (v eğrisi) (u = sabit) olacaktır.

v eğrisinin teğet vektörü olur. u eğrisinin bir u = u0 noktasında teğeti (3.5) dir. Aynı tarzda v eğrisinin teğet vektörü olur. Bu iki vektörün vektörel çarpımı, yüzeyin P0(u0, v0) noktasındaki normalini verir ve (3.6) ile gösterilir.

Bu iki vektörün arasındaki θ açısı (3.7) skalar çarpımı ile eşitliğinden bulunur. Eğer bu eşitlik sıfır ise, yani cos θ = 0 ise θ = 90° ile parametre eğrileri birbirine diktir.

3.1.2. Yüzey Eğrileri ve 1. Dereceden Temel Büyüklükleri E,F,G : Diğer taraftan u ve v parametreleri de u = u(t) v = v(t) (3.8) olmak üzere bir (t) parametresine bağlı iseler, (t) nin değişmesi ile yüzey üzerinde bir eğri meydana gelir. Bu eğrinin yer vektörü, yani, dir.

(3.9) olur. Eğrinin bir P0 noktasında teğeti (3.9) dan

ve bu teğetin skalar değeri, olacaktır.

olup eğrinin diferansiyel yay uzunluğu Diğer taraftan uzay dik koordinatlar sisteminde s parametresine göre bir eğrinin denklemi, (3.9) dan t = s ile, (3.14) olup eğrinin diferansiyel yay uzunluğu dir. (3.14) denklemlerinden,

olacak şekilde seçilebilir. t parametresi, teğetin skalar değeri dr(t) (3.12) olacak şekilde seçilebilir. Böyle bir parametreye (s) denirse, yani t = s alınırsa, bu şarta göre yukarıdaki eşitlikten, ya da eşitliğin (ds)2 ile çarpımı sonucu, eşitliği elde edilir.

diferansiyel denklemleri ile (3.15) eşitliği biçimine girer ve (3.13) eşitliği ile karşılaştırılırsa; ds2 = dl2 olduğu görülür. Yani s = l dir. O halde eğrinin bir noktasındaki teğetin birim vektör olması yani mutlak değerinin 1 olması için, eğriyi veren parametre olarak eğrinin bir noktasmdan itibaren yay uzunluğu olan s alinmalıdır. Bunun karşıtı, bir eğriyi belirleyen parametre onun yay uzunluğu olarak alınırsa, teğet vektörü dr/ds bir birim vektördür. Yani, (3.16) olur.

(3.17) bulunur. Burada, (3.18) denilerek E,F ve G skalar büyüklükleri «1. dereceden temel büyüklükler» adını alır. Ayrıca görüldüğü gibi, (3.19) olmak üzere VE, u parametre eğrisinin (v = Sabit) ve VG, v parametre eğrisinin (u = Sabit) teğet vektörlerinin skalar (mutlak) değerleridir. ((3.5) ile karşılaştırınız).

Herhangi bir yüzey eğrisinin diferansiyel yay uzunluğunu veren eşitliğe (I) «1. form» denir. (3.17) ve (3.18) den bu durumda, (3.20) elde edilir. u eğrisinin boyu, v = Sabit, dv = 0 ile (3.20) den, (3.21) ve benzer olarak v öğrisinin boyu (3.22) bulunur. (Şekil 3.2)

3.1.3. Yüzey Eğrileri Arasındaki Açı u ve v parametre eğrileri arasındaki θ açısı, bu eğrilerin kesim noktasında herbirine çizilen ve aynı zamanda yüzeye de teğet olan teğetler arasındaki açı olarak (θ), (3.7) ve (3.18) den, (3.23) eşitliği ile verilmektedir. Görüldüğü gibi θ = 90° yani parametre eğrilerinin birbirine dik (ortogonal) olabilmeleri için F = 0 olmalıdır. Bunun karşıtı u ve v Gauss parametreleri, F = 0 çıkacak şekilde verilmişse, parametre eğrileri ortogonaldır.

Bir parametre eğrisi (Örneğin u eğrisi) ile herhangi bir yüzey eğrisi arasındaki açı T olmak üzere (Şekil 3.2), adı geçen teğetlerin skalar çarpımından bulunur. Bir yüzey noktasında u parametre eğrisinin teğet vektörü ru ve (s) parametreli yüzey eğrisinin teğet vektörü rs = (dr/ds) olacağından, ile) (3.24) elde edilir. (3.16) ve (3.19 dan ve ile, bulunur.

Diğer taraftan ds eğrisinin bir noktasındaki yer vektörü r = r (u(s) v(s)) ile (3.26) olur. Böylece (3.25) de, elde edilir ve (3.18) ile ve nihayet (3.25) de konursa, (3.27) bulunur.

Buna karşılık, ve (3.28) denirse, (3.27) Eşitlikleri çıkarılır.

Parametre eğrileri ortogonalsa, (3. 28) de F = 0 konulup (3. 21) ve (3 Parametre eğrileri ortogonalsa, (3.28) de F = 0 konulup (3.21) ve (3.22) eşitlikleri de dikkate alınırsa; Şekil (3.3) den (3.30) eşitlikleri elde edilir.

3.1.4. Yüzey Normali Yüzeyin bir noktasındaki normal vektörü, bu noktadaki yüzey teğet düzlemine diktir. Diğer taraftan bir yüzey noktasmda teğet düzlem içindeki iki vektöre dik olan vektör teğet düzlemine de diktir. O halde böyle bir vektör o noktada vüzey normalidir. Bir yüzey noktasındaki parametre eğrilerinin teğet vektörleri yüzeye de o noktada teğettir; yani o noktadaki teğet düzlem içindedir, Bu durumda bir noktasında parametre eğrilerinin teğet vektörlerine dik olan vektör o noktadaki yüzey normalidir, iki vektörün vektörel çarpımı bu vektörlere dik bir vektör oluşturur. O halde bir yüzey noktasındaki yüzey normali, bu noktada parametre eğrilerinin teğet vektörlerinin vektörel çarpımı ile oluşan bir vektördür.

Böylece yüzey normali olur ve normal vektörü doğrultusundaki birim vektör, bu vektörü akalar değerine bölmekle elde edilir ve birim vektöre n denirse, (3.31) olur. Diğer taraftan, İle Elde edilir.

(3.32) (3.33) (3.34) cosθ yerine (3.23) den eşiti konursa, ve (3.18) ve (3.28) eşitlikleri ile, (3.33) elde edilir. Böylece (3.31) eşitliği, (3.34) şeklini alır.

Bu paralel kenarın alanı df, yeterli yaklaşıkla, 3.1.5. Yüzey Alan Elemanı Diferansiyel anlamda alan elemanı olarak, parametre eğrilerinin ds(u) ve ds(v) diferansiyel yay elemanlarının oluşturduğu paralel kenar alınır (Şekil 3.4). Bu paralel kenarın alanı df, yeterli yaklaşıkla, df = ds(u) ds(v) sinθ (3.35) eşitliği ile verilir.

(3.23) den İle ya da, (3.36) ve (3.21) ve (3.22) den, (3.37) alan elemanı bulunur.

olduğu dikkate alınırsa, alan elemanı (3.38) (3.33) den, olduğu dikkate alınırsa, alan elemanı (3.38) eşitliği ile de verilebilir.

3.1,7 İkinci Dereceden Temel Büyüklükler L. M, N Bir yüzey eğrisinin teğeti» o noktada yüzeye de teğet olduğu için, yü­zey normaline diktir. O halde,

JEODEZİ I UYGULAMA

Soru : Uluslararası elipsoid yüzünde bir P noktası için maksimum normal eğrilik yarıçapı 6 386 711.141 m ve minimum normal eğrilik yarıçapı 6 361 004.123 m olduğuna göre bu noktadaki ortalama eğrilik ve Gauss eğrilik ölçülerini hesaplayınız.

Soru :Uluslararası elipsoid yüzünde P1 noktasından geçen paralel dairenin yarıçapı 4 842 615.445 m dir. P1 noktasının enlemini hesaplayınız.

Soru : Uluslararası elipsoid yüzünde bir P noktasının elipsoidal enlemi 403552.97851, elipsoidal boylamı 314325.69785 ve bu noktadan geçen A azimutlu normal kesit eğrisinin eğrilik yarıçapı 6 372 854.309 m veriliyor. A azimutunu hesaplayınız.

Veya Formülünden tan A çekilerek azimut hesaplanabilir