ÖZEL ÖĞRETİM YÖNTEMLERİ Dr. İlhan KARATAŞ

• Matematik Nedir? Matematiğin Doğası? Matematik keşif midir? İcat mıdır? • Matematiğin Ögeleri nelerdir? • Matematik Nasıl Doğmuştur?

Örgün eğitimde matematik? İlköğretimin ilk sınıflarından başlayarak, öğretim programlarında matematiğe geniş bir yer ayrılır. Sınıflar ilerledikçe öğrencilerin ilgi alanları ve meslek seçimlerine göre matematiğe ayrılan zaman bir kısım programlarda daha da çoğalır, diğer programlarda kısmen azalsa da, dersler arasında, matematik dersine hemen her zaman yer verilir. Bu durum, matematiğin ne olduğuna, niçin bu kadar önemli bulunduğuna dikkat çekmektedir.

Matematik Nedir? Matematik Yaşamın Soyutlanmış Biçimidir." şeklinde yapılan tanım herhalde en gerçekçi ve geniş haliyle matematiği ifade eder. O halde matematik yaşam kadar eski, yaşamla birlikte gelişen, insanlık tarihi ile paralel bir gelişim gösteren bilim dalıdır. Bu boyutu ile belki de en eski bilim olup diğer bilimlerin de anasıdır.

…Matematik Nedir? Bazı kaynaklar "aritmetik, cebir, geometri gibi sayı ve ölçü temeline dayanarak niceliklerin özelliklerini inceleyen bilimlerin ortak adı“ şeklinde bir tanım vermektedir. Bu tanım matematiğe sadece ilköğretim düzeyinde bakınca yeterli görünse de, daha geniş bir açıdan bakıldığında yetersiz kalmaktadır. Çünkü sayı ve ölçüyü temel almayan matematik de vardır. Ayrıca matematik yalnızca niceliklerin özelliklerini değil sistemlerin özelliklerini de inceler. Ayrıca matematiğin diğer bilimlerden destek almamak, kendi kendini üretmek gibi özellikleri vardır.

Matematiksel Bilgi nasıl oluşturulur? Matematik bilginin üretilmesinde izlenen yol matematiğe hastır ve ispatlama olarak adlandırılır. Bir matematikçi örneklerden yola çıkmaz, geneli ilgilendiren düşünceyi kanıtlamaya çalışır ve bu düşünce tüm örnekler için geçerli olur. Bunu basit bir örnekle açıklayacak olursak, "iki tek sayının toplamı bir çift sayıdır", düşüncesinin ispatlanması Elde edilen sonucun herhangi iki tek sayıya uygulanması sadece bir doğrulamadır. Matematik düşüncenin geliştirilmesine hakim olan bu yaklaşımın adı tümdengelim’dir.

…Matematik Nedir? Tümevarım ile yapılan matematik ispatlar da vardır. Bunlar ya elemanlarının tamamı incelenebilecek kadar az olan sonlu kümelerle ilgilidir veya tümdengelimle ispatın mümkün olmadığı durumlardır. "n tane ardışık tek sayının toplamı n2'dir". Bu ispat yönteminde de elde edilen sonuç genel için doğrudur. İspatlama yaklaşımlarındaki bu durum "Matematiksel bilgi, deneye dayanmayan ama deneyle doğrulanabilen bir bilgidir" şeklinde ifade edilebilir.

Matematiğin doğası Öğretim programının yetersizliği, altyapı, öğretmenin niteliği önemli sorunlar gibi görünse de bunları şekillendiren, olgunlaştıran en önemli faktör bizim eğitimci, matematikçi, öğretmen ve toplum olarak matematiğe bakışımızdır. İlköğretim, ortaöğretim ve yükseköğretim kademelerindeki geleneksel matematik öğretimi, matematiği günlük ihtiyaçlardan uzak, soyut ilke ve prensipleri olan, ayrı ayrı öğrenilmesi zorunlu denklem ve formüllerden oluşan bir uğraş alanı olarak görülmektedir.

…..matematiğin doğası Öğrenciye bu şekilde sunulan matematik öğrenci için soğuk, sevimsiz, ezberlenerek öğrenilmesi gereken bir derse dönüşmektedir. Sonuç olarak öğrenciler matematiği her yerde kullanabilecekleri bir araç olarak değil de matematik sınavları için öğrenilmesi gereken bir ders olarak görmektedirler. Oysa, matematik öğretiminin amacı öğrenciye matematiksel düşünme ve matematiği bir iletişim aracı olarak kullanma becerilerini kazandırmak olmalıdır.

…..matematiğin doğası Bu amacı gerçekleştirebilmemiz için önce öğretmenin kendisinin matematiğe doğru bakmasını ve doğru görmesini sağlamalıyız. Şimdi matematiğin doğasını tanımamıza yardım edecek tartışma konularını sırasıyla ele alalım.

MATEMATİK BİR KEŞİF MİDİR? Kimine göre matematik salt uygulamadan çıkmıştır. Kimine göre sezgilerin ürünüdür. Kimine göre her ikisini içinde barındıran gizemli bir yapıya sahiptir. Kimine göre matematiğin ortaya koyduğu bilgiler, kuşku duyulmayacak düzeyde güvenilirdir. Kimilerine göre doğruluğuna karar veremediğimiz bilgiler içermektedir. Biz burada şu sorulara cevap vermeye çalışalım; Matematikçi ortaya koyduklarını bulmuş mudur yoksa icat mı etmiştir? Matematikçi ortaya koyduklarını sezgi yoluyla mı keşfetmiştir? Matematikçi kaşif midir? Matematikçi mucit midir?

…keşif ya da icat… Çalışan matematikçiler kendilerini hafta boyunca platonist (eflatuncu) olarak görürler hafta sonu ise formalist olarak görürler. Matematikçiler matematik yaparken kendilerinden emindirler. Öyle ki, onlar nesnel gerçekler ortaya çıkardıklarını düşünürler. Ancak, ortaya koyduklarıyla ilgili felsefi açıklamalar yapmak durumunda kaldıklarında eflatuncu bir tavır alırlar.

…..keşif ya da icat… Matematikçiler nasıl çalışıyor, nasıl araştırmalar yapıyor? Bütün matematikçilerin Andrew Willes gibi kendini izole ederek uzun ve gizemli bir çalışma içine girdiği söylenemez. Elbette, matematikte Willes’ın çalışması gibi bireysel çalışmalar çoğunluktadır. Ancak bu çalışmalar seminerlerde, lisansüstü derslerde, dergilerin değerlendirme süreçlerinde hakemlerden alınan dönütlerin tartışılmasıyla şekillenir ve tamamlanır. Masa başında kitapların arasında bireysel olarak başlayan matematiksel çalışma sosyal etkileşim süreci içerisinde tamamlanmaktadır.

…..keşif ya da icat… Matematiği bir keşif olarak görenler, fizikçiler gibi olguları doğrudan gözleme ve test etme gibi şanslarının olmadığını düşünürler. Onlara göre, matematiksel doğruları matematikçiler önce sezgileri yoluyla keşfederler sonrada onların formal ispatlarını yaparlar. Keşif fikrini savunanlar için matematiksel nesneler ve bilgiler gerekli, mükemmel, ezeli ve ebedidir. Bizden önce vardılar bizden sonra da var olmaya devam edecekler. Böylece, matematik doğadaki ilişkilerin doğal bir örüntüsü olarak ortaya çıkmaktadır. Bir başka deyişle, bu örüntüler var ve biz onları keşfediyoruz. Matematik orada hazırdır, vardır, olduğu yerde yeniden keşfedilmektedir.

….keşif ya da icat….. Matematiği bir icat olarak gören görüşe göre ise matematiksel bilgi tamamlanmamış ve sürekli gelişme halindedir. Böylece, onun mükemmelliğinden ve kesinliğinden söz etmek oldukça zordur. Bu iddiayı yaparlarken matematiksel bilgilerin öznel olarak matematikçilerin kafasında rasgele ortaya çıktığını ima etmemektedirler. Onlara göre, matematik insan zihninin bir ürünü olduğuna göre matematikçiler her zaman dünyamız için yeni temsiller icat edebilirler.

….keşif ya da icat….. Doğada gözlediğimiz birçok ilişki doğrusal ilişkidir. Bunları denklemlerle ifade ederiz. Bu denklemlerin çözümü için oluşturulan lineer denklem sistemleri matrislerle temsil edilebilmektedir. Matrisler bir yerde vardı da matematikçiler denklem sistemlerini çözmek için matrislerimi keşfetti? Yoksa matrisler bir kavram olarak ortaya çıktı ve matematikçilerin katkılarıyla bugünkü halini aldı? Descardes’le birlikte matematiğin gelişmesinde dönüm noktası olan koordinat düzlemi keşif midir yoksa icat mıdır? Gauss’un koordinat düzleminde y eksenini sanal eksen kabul ederek kompleks sayıları tanımlaması keşif midir icat mıdır?

Matematik Nasıl Doğmuştur? Matematiğin doğuşuyla ilgili iki temel yaklaşım vardır; Bunlardan birincisi, matematiği insanın kendisinin icat ettiği, ikincisi ise, matematiğin evrende var olduğu insanın onu zaman içinde farkettiğidir. İkinci görüşü destekleyen doğal kanıtlar oldukça fazladır. Doğada herşey kararlı davranmaktadır. Bir filize dizili yaprakların filize yapışma noktaları arasında eşit açılar vardır. Fasulye filizi; çubuğa tırmanırken tam bir helis çizmektedir. Bir helis bir noktadan belli yüksekliğe dolanarak çıkmak için en kısa yoldur.

Arı peteği düzgün altıgendir Arı peteği düzgün altıgendir. Düzgün altıgen düzlemi homojen örtebilen çokgensel bölgeler arasında bir köşeden en az sayıda ayrıt çıkarmak suretiyle yapılanıdır. Böylece en az malzeme ile düzlemi parsellemek mümkün olmaktadır. Gök cisimleri konik yollar üzerinde koşarlar. Ayçiçeğinin tohumları, biri sağa diğeri sola dönen ve birbirini kesen iki grup logaritmik sarmal şekline dizilmişlerdir. Işık düzleme deyince, dik doğrultuyla eşit açı yaparak yansır. Doğada ve evrendeki kararlılığın matematikle iç içeliği apaçıktır. Bundan ötürüdür ki, matematik yapmakla evreni ve evren içindeki olayları açıklayacak bilgi üretilir.

Ayçiçeği Tohumları İki Logaritmik Sarmal Şeklinde Dizilir

Sonuç olarak matematik; insan zihninin çevreden aldığı esin ve ilk hareketle, soyutlama yapmak suretiyle ürettiği bir bilgidir. Bu bilgi evrendeki diğer olayları (sistemleri) açıklamak için bir model oluşturmaktadır. İleri düzeyde matematik yapmak için çevrenin etkisine ihtiyaç kalmamakta mevcut matematik materyal ve düşüncenin kendisi yeterli bir çevre oluşturmaktadır. Yani bir yerden sonra matematik kendi sorularını, buna bağlı olarak da araştırmalarını ortaya koymaktadır. Bu duruma matematiğin her alanından örnekler bulmak kolaydır.

Örneğin "üçgen; doğrusal olmayan üç noktayı ikişer ikişer birleştiren doğru parçaların kümesidir" tanımını biz yapmaktayız ve muhtemelen bu tanımlamanın çevreyi tanıma ve açıklamayla kısmen bir ilgisi vardır. Ne var ki üçgende yüksekliklerin, açıortayların, kenarortayların bir noktada kesişmesi, dokuz nokta çemberinin varlığı vs. çevreden ilgisiz, mevcut matematik bilgi üzerindeki araştırma ile ortaya çıkan gerçeklerdir.

Matematiğin nasıl doğduğu, matematikçilerin matematikle uğraşma biçimlerine bakılarak da açıklanabilir. Matematikçilerin, matematiği kullanma ya da matematik çalışma biçimleri iki başlık altında düşünülebilir. Birincisi araç veya ihtiyaç olarak matematik, ikincisi amaç olarak matematik

1. Araç Olarak Matematik İnsanların gereksinimleri doğrultusunda oluşmuştur. Ölçüler, dört işlem tekniği buna örnek olarak gösterilebilir. 2. Amaç Olarak Matematik Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır.

Amaç Olarak Matematik Matematik bu anlamda bir araç değil amaçtır ve yalnızca "Bilme ihtiyacının ürünüdür, bir düşünme ve doğruyu arama uğraşıdır." Matematik bu uğraşın sonucunda ortaya çıkmıştır. Teorik matematikçilerin benimsedikleri bu anlayışı haklı gösterecek pek çok örnek vardır. Örneğin; "x2 - 1 = 0 denkleminin çözümü vardır ve çözüm x = ±1 dir. Öyleyse x2 + 1 = 0 denkleminin de bir çözümü olmalıdır"; sezgisi sanal sayıların tanımlanmasını ve buna bağlı olarak karmaşık sayılar kümesinin kurulmasını beraberinde getirmiştir. Karmaşık sayılarda, analitik fonksiyonlar teorisini doğurmuştur.

…Amaç Olarak Matematik Daha basit bir örnek olarak "Bir üçgende üç yüksekliğin bir noktada kesişmesi"ni göz önüne alalım. Bu sonucun her üçgen için doğru olup olmadığının araştırılması, bu düşünceyi ilginç bulan, "Acaba tüm üçgenlerde böyle mi?" diye kafa yoran insanın işidir ve matematik bu tür yaklaşımlarla üretilmiştir. Üretilen matematiğin herhangi bir ihtiyacı karşılamasının ya da kullanılıp kullanılmamasının önemi yoktur. Yani, matematik uygun zihinsel ortamlarda, zihnin kendine bir soru sorması ile başlamaktadır. Bu soru "bilme ve anlama" diyebileceğimiz entellektüel bir duygudan kaynaklanır. Bu duygu da bir ihtiyacın sonucudur.

Sonuç olarak matematik; matematiğe karşı duyarlı kişilerin düşünme gücü sayesinde oluşmakta ve kendi iç devinimi ile gelişmektedir. Pratik ihtiyaçların ürettiği matematik de vardır. Matematiğin ilk gelişmeye başladığı yer olarak kabul edilen Mezopotamya, Mısır ve Çin'de nehir taşmaları sonucu kaybolan arazi sınırlarını belirleme ihtiyacı ölçmeyi ve düzlemsel şekillerin tanınmasını, nehirin ne zaman taşacağı ise takvimle ilgili ilk bilgilerin ortaya çıkmasını sağlamıştır. Harplerde üstün gelebilmek, doğal afetlere karşı koyabilmek gibi ihtiyaçlar matematiksel temellere dayanan birçok yeni buluşun yapılmasına yol açmıştır.

Özetle; matematik alanında yapılan araştırmaların az bir kısmı pratik ihtiyaçlardan, çoğu "bilme ve anlama“ tutkusundan ileri gelmiştir ve soyuttur. 17. yy.'da Galileo, top mermilerinin parabolik bir yol izlediğini, Kepler, gezegenlerin güneş çevresinde elips yörüngeler çizdiklerini ortaya koymuştur. Bunlar ve daha önce verdiğimiz örnekler göz önüne alınınca, evrenin en ince ayrıntısından tümüne kadar bir yapılar kompleksi olduğu, matematiğin de bu yapıların (sistemlerin) açıklanmasında başvurulan bir bilim olduğu görülüyor.

MODERN-KLASİK MATEMATİK AYRIMI Klasik matematik daha çok aritmetik ağırlıklı, cebirsel işlemlerin yürütülerek problemlerin çözüldüğü ve Euclid’in tanımladığı geometrik nesnelerin üzerine kurulan geometrinin ele alındığı matematiktir. Modern matematik küme ve grup kavramlarını kullanarak matematiksel yapıları yeniden tanımlamaktadır. Artık modern matematikte doğru noktalar kümesi, çember ise bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların kümesidir, yansıma dönüşümü ise bir grup yapısına sahiptir. Bir vektör uzayı tanımlarken belirli özellikleri sağlayan işlemler tanımlamalıyız.

……..modern-klasik matematik ayrımı Böylece, modern matematikte tanımlanan bir matematiksel yapı bir başka matematiksel yapıda kullanılabilmektedir. Modern matematik ile birlikte, belli semboller ve formüller kullanılarak yapılan soyutlamalar birbirinden bağımsız gibi görünen işlem ve algoritmalar kendi içinde tutarlı ve bağlantılı hale gelmiştir.

……..modern-klasik matematik ayrımı Modern matematik reformunun savunucuları yeni nesillerin karşısına birbirinden bağımsız olmayan örüntü ve kavramlara dayanan bir düşünme yönteminin oluşturduğu daha çok keşfetme, problem çözme ve kanıtlama etkinliği olan bir matematik çıkarma iddiasındaydılar. Bu amaçla, önce birbirinden ayrı iki ders olarak okutulan aritmetik ve geometri dersleri tek bir öğretim programı olarak yeniden düzenlendi. Modern matematik programında aritmetiksel işlemler, uzay geometrisi, logaritma gibi konuların yerine kümeler, cebirsel işlemler, olasılık ve istatistik konuları ağırlık kazandı.

PÜR VE UYGULAMALI MATEMATİK Değerli olan matematik, uygulanabilirliği olan matematik midir?” Uygulamalı matematikçiler, pür (salt kuramsal) matematikle uğraşanları gerçek dünyadan soyutlanmış fil dişi kulesine çekilenlere benzetmekte ve onların yaptıklarının yararsız çalışmalar olduğunu söylemektedir. Uygulamalı matematik; çevremizi, fiziksel dünyamızı algılamada, yorumlamada bize yardım eder. Fiziksel dünyamızda gözlediğimiz durumların veya olguların karşılıklı ilişkileri ve içerdikleri kavramlarla birlikte matematikselleştirilmeleri matematiğin yararcı yanını gösterir.

Matematiğin daha az yararcı olan yanı pür matematiktir. ………pür ve uygulamalı matematik Matematiğin daha az yararcı olan yanı pür matematiktir. Matematiğin güzellik ve zihni uyandırması boyutu ile pür matematikçiler ilgilenmektedir. Onlar için önemli olan yapılanın estetik olması ve entelektüel(bilgelik) doyuma ulaştırmasıdır. Bu nedenle Hardy’nin dediği gibi pür matematikçinin üzerinde uğraştığı sorunların, problemlerin uygulama alanı bulması, işe yaraması, faydalı olması gibi bir endişesi yoktur (Hardy, 1973).

…pür ve uygulamalı matematik Hardy Hint matematikçisi Ramanujan ile ilgili bir anısında onu hasta yatağında ziyarete gittiğini, Ramanujan’a hastaneye plaka numarası 1729 olan bir taksi ile geldiğini söyleyince Ramanujan’ın kendisine bu sayının sıradan bir sayı olmadığını iki küpün toplamı olarak iki ayrı şekilde yazılabilen en küçük sayı olduğunu söylediğini hayretle anlatmaktadır. 1729= (12)3 +(1)3 ve 1729=(10)3 +(9)3 .

…pür ve uygulamalı matematik Matematiğe bu açıdan baktığımızda onu güzel sanatların bir dalı olarak görebiliriz. Tıpkı bir ressam gibi pür matematikçi de üzerinde çalıştığı konuyu kendisini zengin edeceği veya günün birinde uygulama alanı bulacağı için tamamlamaz. Onu sırf güzellik, zevk, bilgelik yönünden doyuma ulaşmak için çözmeye ve tamamlamaya çalışır. Pür matematikçilerin ortaya koydukları ürünlerin pratikte uygulanıp uygulanmadığı onların umurunda değildir. Ele aldıkları problemleri bir zihinsel etkinlik, bir eğlence olarak görürler ve onları çözdükçe zevk alırlar, haz duyarlar.

…pür ve uygulamalı matematik x2 + a = 0 tipinden denklemlerin çözümü gibi bir sayının tanımlanmasına yol açmıştır. Başlangıçta bir saçmalık olarak nitelendirilen bu tanım a + bi şeklinde sanal sayıların kurulmasına zemin oluşturdu. Durgun bir suya düşen taşın oluşturduğu halkaların denklemini yazmak uygulamada ne gibi bir öneme sahip olacaktır? 1800’lerde bir çok matematikçi mesailerini(zamanlarını) dalga denklemlerinin kurulmasına harcamıştır. Oysa biliyoruz ki, 1864 yılında Maxwell elektriği açıklayabilmek için bu dalga denklemini kullanmıştır.

………pür ve uygulamalı matematik Yine benzer şekilde, 1888’de Hertz radyo dalgalarını deneysel olarak belirleyip dalga denklemlerinin uygulanabilirliğini göstermiştir. Hilbert’in üzerinde çalıştığı integral denklemleri yaklaşık 100 yıl sonra kuantum fiziğinde kullanım alanı bulmuştur. Riemman’ın Euclid dışı geometrisinin uzay hesaplamalarında kullanılması arasında da yaklaşık 100 yıl fark vardır.

………pür ve uygulamalı matematik Başlangıçta tamamen bir fantezi olarak görünen fuzzy-logic(bulanık mantık) günümüzde kontrol sistemlerinde, bilgisayar yazılımlarında geniş uygulama alanı bulmuştur. Belki bugünün matematikçilerinin üzerinde çalıştığı yararsız ve fantezi gibi görünen bir çok konu 2100 yılında fizikçilerin, sosyal bilimcilerin vazgeçilmez uygulaması olacaktır. Kim bilir?

…pür ve uygulamalı matematik Sonuç olarak, bir matematiksel ürün ister başlangıçta gözlenen bir durumun veya olgunun matematikselleştirilmesi olarak ortaya çıksın isterse de tamamıyla kuramsal olarak ortaya çıksın bugün görüyoruz ki o mühendislikte, fen bilimlerinde, teknolojide ve gündelik hayatta geniş bir uygulama alanı bulmaktadır. Her alanda olduğu gibi matematikte de tek yanlı olmak kamplara ayrılmak yanlış olur. Bugünün matematikçilerinin de böyle bir kamplaşmaya ihtiyacı yoktur.