~~MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ~~ Öğretmen:Murat Güner Hazırlayan:H.Eyyüb Uçan NO:689 / 10-BS / Asım Ülker Ç.P. Lisesi Konu:Permütasyon Kaynak:ANALİTİK & ZİRVE ÖSS ye hazırlık dergisi (eski sayı) . Ana sayfa

ANA SAYFA Dersler Çıkış

TANIM PERMÜTASYON Tanım: n elemanlı sonlu bir küme A olmak üzere, A dan A ya tanımlanan birebir ve örten her fonsiyona, A nın bir permütasyonu denir. A={a,b,c} olmak üzere, A dan A ya tanımlanan bire bir ve örten fonksiyonlardan biri, yandaki şekilde görülüyor. Bu fonksiyonu, sonraki sayfa A A f .a .a .b .b .c .c

TANIM PERMÜTASYON ) ) f=( f=( f={(a,b), (b,a), (c,c)} veya f=(b a c) permütasyonuna, A nın elemanlarının farklı sıraya dizilişlerinden biride diyebiliriz. Bu durumda, permütasyonun tanımını aşağıdaki biçimde de yapabiliriz. Tanım:n elemanlı, sonlu bir A kümesinin elemanlarının birbirinden farklı her sıralanışına, A kümesinin bir permütasyonu denir. f=( ) a b c biçiminde yaza biliriz. O hâlde, f fonksiyonu, A kümesinin bir permütasyonudur. b a c f fonksiyonunun görüntü kümesi olan (b,a,c) sıralı üçlüsünde, elemanlar yer değiştirmez. f=( ) a b c permütasyonunu kısaca f=(b a c) şeklinde yazabiliriz. b a c DERSE BAŞLA…

DERSLER PERMÜTASYON TEKRARLI PERMÜTASYON DAİRESEL PERMÜTASYON

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 1: P(n,1) + P(n,2) + P(6,3) =156 olduğuna göre n kaçtır? A) 4 B)5 C)6 D)7 E)8 Çözüm: P(n,1) + P(n,2) + P(6,3) =156 n+n . (n-1) + 6 . 5 . 4 =156 n+n² -n + 120 =156 n²-36 =0  n² =36  n = ± 6 dır. n Є Z olduğu için n=6 dır. Cevap C şıkkıdır. +  sayfa 1

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 2: P(n, 2)= 2.P(2n, 1) olduğuna göre n kaçtır ? A) 2 B)3 C)4 D)5 E)6 Çözüm: P(n, 2)= 2.P(2n, 1) n.(n-1)= 2.2n n -n= 4n n -5n= 0 n.(n-5)= 0 n=0 veya n=5 tir. n Є Z olduğu için n=5 tir. Cevap D şıkkıdır. 2 2 +  sayfa 2

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 3: 10 atletin katıldığı bir yarışta, ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 120 B)360 C)420 D)640 E)720 Çözüm: Ι.Yol: Çarpma kuralına göre; birinci 10 yolla; ikinci, kalan 9 kişi arasından 9 yolla; üçüncü, kalan 8 kişi arasından 8 yolla belirlenir. Buna göre ilk üç derece, 10.9.8=720 yolla belirlenir. ΙΙ.Yol: 10 atletin 3 ü sıralamaya gireceği için, sıralama P(10,3)=10.9.8=720 değişik şekilde yapılabilir. Cevap E şıkkıdır.  sayfa 3

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 4: 7 kişilik bir komisyon, kendi aralarında 1 başkan ve 1 başkan yardımcısını kaç farklı şekilde seçebilir ? A)42 B)35 C)21 D)14 E)8 Çözüm: Soru kökünde geçen seçme kelimesi bizi kombinasyona yönlendirebilir. Halbuki problem bir permütasyon (sıralama) sorusudur. Eğer herhangi iki kişi seçilseydi problem kombinasyon sorusu olurdu. Buna göre, seçim P(7.2)=7.6=42 farklı şekilde yapılabilir. Cevap A şıkkıdır.  sayfa 4

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 5: 2 kız ve 3 erkek, kızlar yan yana gelmek şartıyla 5 kişilik bir kanepeye kaç farklı şekilde oturabilir ? A)240 B)120 C)50 D)48 E)24 Çözüm: Kızların yan yana gelmesini sağlamak için iki kızı bir kişi gibi düşünelim. Bu durumda, kanepeye oturacakların sayısı 4 olur. Bu 4 kişi kanepeye 4! farklı şekilde oturabilir. Yan yana olmakla birlikte kızlar kendi arasın- da 2! farklı şekilde oturabilir. Çarpma kuralına göre kızlar yan yana gelmek şartıyla bu 5 kişi kanepe- ye 4! .2!=24.2=48 farklı şekilde oturabilir. Cevap D şıkkıdır. sayfa 5

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 6: 4 farklı kalem 6 öğrenciye dağıtılacaktır. Bir öğrenci en çok bir kalem alacağına göre, dağıtım kaç farklı şekilde yapılabilir ? A)15 B)30 C)60 D)180 E)360 Çözüm: Kalemler aynı özellikte olsaydı problem kombinasyon sorusu olacaktı. 4 farklı kalem 6 öğrenciye P(6,4)=6.5.4.3=360 farklı şekilde dağıtılabilir Cevap E şıkkıdır.  sayfa 6

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 7: P(n, 1) + P(n, 2) =49 olduğuna göre n kaçtır? A)9 B)8 C)7 D)6 E)5 Çözüm: P(n, 1) + P(n, 2) =49 n + n(n- 1) =49 n + n – n =49 n =49 ise n =-7 veya n =7 dir. Permütasyon sadece pozitif tam sayılar için tanımlı olduğundan dolayı n=7 dir. Cevap C şıkkıdır. 2 2  sayfa 7

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 8: Farklı 5 matematik kitabı bir rafa yan yana kaç değişik şekilde sıralanabilir? A)5 B)12 C)24 D)120 E)720 Çözüm: 5 kitabın beşi de sıralanacaktır. Bunun için, sıralama P(5,5) =5. 4. 3. 2. 1 =120 değişik biçimde yazılabilir. Cevap D şıkkıdır.  sayfa 8

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 9: 10 kişinin katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı biçimde oluşabilir? A)48 B)120 C)350 D)600 E)720 Çözüm: 1.Yol Permütasyon sayısını veren formülden yaralanarak sonuca gidelim: 10 kişinin 3 ü sıralamaya gireceği için sıralama P(10,3) =10. 9. 8. =720 değişik şekilde oluşabilir. 2.yol  sayfa 9

DERSLER PERMÜTASYON 2. yol: Çarpma kuralına göre hesap yapalım: Birinci, 10 kişi arasında 10 farklı şekilde belirlenir. İkinci olacak kişi, kalan 9 kişi arasından 9 farklı şekilde belirlenir. Üçüncü olacak kişi, kalan 8 kişi arasından 8 farlı şekilde belirlenir. Buna göre, ilk 3 derece 10. 9. 8 =720 Değişik şekilde oluşabilir. Cevap E şıkkıdır.  sayfa 10

DERSLER PERMÜTASYON Örnek 10: Farklı; 5 matematik, 6 fizik, 2 kimya kitabı aynı dersin kitapları yan yana gelmek koşuluyla bir rafa yan yana kaç değişik şekilde sıralanabilir? A)5! . 6! . 2! . 3! B)5! . 6! . 2! C)13! D)5 . 6 . 2 . 3 E)5! . 6! . 2! . 3 Çözüm: 5 matematik kitabı kendi arasında P(5,5) değişik biçimde sıralanabilir. 6 fizik kitabı kendi arasında P(6,6) değişik biçimde sıralanabilir. 2 kimya kitabı kendi arasında P(2.2) değişik biçimde Ayrıca matematik kitapları bir kitap, fizik kitapları bir kitap, kimya kitapları bir kitap gibi düşünülürse bu üç kitapta kendi arasında P(3,3) değişik biçimde sıralanabilir. Çarpma kuralı gereği istenen sıralama: P(5,5). P(6,6). P(2,2). P(3,3) =5!. 6!. 2!. 3! değişik biçimde sıralanabilir.  Cevap A şıkkıdır. sayfa 11

TANIM TEKRARLI PERMÜTASYON n tane nesnenin n1 tanesi 1.çeşitten, n2 tanesi 2.çeşitten, n3 tanesi 3.çeşitten, …nr tanesi r. çeşitten olsun n=n1+n2+n3+ … +nr olmak üzere, bu n tanesinin n li permütasyonlarının sayısı: n n ! n1 , n2 , n3 , … , nr n1 ! . n2 ! . n3 ! … , nr ! ( ) = dir. DERSE BAŞLA…

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 1: 3 tane 2 ve 2 tane 5 rakamı kullanarak 5 basamaklı kaç farklı sayı yazabiliriz? A)5 B)10 C)15 D)20 E)40 Çözüm: İstenen sayılardan bazıları ; 22255, 22552, 25522, 25225, … dır. Bunlar gibi, 5 5! 5 . 4 . 3! 3 , 2 3! . 2! 3! . 2 . 1 Cevap B şıkkıdır. ( ) = = = 5 . 2 10 tane sayı yazılabilir. =  Sayfa 1

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 2: 4344004 sayısındaki rakamlarla 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A)56! B)7! C)48 D)60 E)75 Çözüm: Yazılacak sayının soldan iki rakamı 0 olamaz. Bunun için soldan ilk rakam diğer rakamlar arasından seçilir. Önce tekrar durumunu göz ardı edelim. Daha sonra bulunan sonucu (4, 4 kez 0, 2 kez tekrarlandığı için) 4! . 2! e bölelim. 5 6 5 4 3 2 1 5 . 6! 5 . 6! 5 . 6 . 5 . 4! 4! . 2! 4! . 2 . 1 Cevap E şıkkıdır. = = 5 . 3 . 5 = 75  Sayfa 2

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 3: Aynı özellikte 4 matematik kitabı ve fizik kitabı bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizilebilir ? A)21 B)35 C)42 D)48 E)60 Çözüm: 7 7! 7 . 6 . 5 . 4! 4 , 3 4! . 3! 4! . 3 . 2 . 1 Cevap B şıkkıdır. ( ) = = = 7 . 5 35 =  Sayfa 3

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 4: MENEMEN kelimesinin harflerle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir ? A)35 B)70 C)105 D)210 E)240 Çözüm: N, 2 kez ; E, 3 kez; M, 2 kez tekrarlandığına göre, 7 7! 7. 6. 5. 4. 3! 2, 3, 2 2! . 3! . 2! 2. 1. 3!. 2. 1 Cevap D şıkkıdır. ( ) = = = 7. 6. 5 210 = tane değişik kelime yazılabilir.  Sayfa 4

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 5: GARGARA kelimesindeki harflerle G harflerini A harfleri takip etmek şartıyla (GA şeklinde) 7 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir ? A)30 B)36 C)40 D)42 E)48 Çözüm: GA R GA RA kelimesinde GA bir harf gibi düşünülürse ifade 5 harfli bir kelimeye indirgenir. GA harfi 2 kez ve R harfi 2 kez tekrarlandığına göre, 5 5! 5. 4. 3. 2. 1 2, 2 2!. 2! 2. 1. 2. 1 farklı kelime yazılabilir. Cevap A şıkkıdır. ( ) = = = 5. 3. 2 30 =  Sayfa 5

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 6: Özdeş; 5 matematik, 6 fizik, 2 kimya bir rafa kaç değişik şekilde sıralanabilir? A) 13! B) 13! . 3! C) 13! . 2! D) 13! E) 13! 5! . 6! . 2! 5! . 6! . 2! 5! . 6! . 2! 5! . 6! . 2! . 3! 5 . 6 . 2 Çözüm: Özdeş nesnelerin kendi aralarında yerlerinin değiştirilmesi sıralamayı değiştirmez. Sözgelimi özdeş 5 matematik kitabının kendi aralarında yerlerinin değiştirilmesi sıralamayı değiştirmez. Yani bu 5 kitabın sıralanışı tek türlüdür. 5 + 6 + 2 = 13 kitap yan yana 13 13! değişik biçimde sıralanabilir. 5, 6, 2 5! . 6! . 2! Cevap A şıkkıdır. ( ) =  Sayfa 6

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 7: PAPATYA Kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek anlamlı yada anlamsız 7 harfli kaç değişik kelime yazılabilir? A)60 B)120 C)420 D)640 E)840 Çözüm: 2 tane P harfi, 3 tane A harfi, 1 tane T harfi, 1 tane Y harfi ile 7 harfli anlamlı yada anlamsız 7 7 2, 3, 1, 1 2! . 3! . 1! . 1! 7 . 6 . 5 . 4 . 3! 2 . 3! 420 kelime yazılabilir. Cevap C şıkkıdır. ( ) = = =  Sayfa 7

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Örnek 8: 32322200 Sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 8 basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir? Çözüm: 2 tane 3 rakamlı, 4 tane 2 rakamlı, 2 tane 0 rakamı ile 7 8 2, 4, 2 2! . 4! . 2! 8 . 7 . 6 . 5 . 4! 2 . 4! . 2 2 . 7 . 6 . 5 420 sonraki sayfa ( ) = = = =  Sayfa 8

DERSLER TEKRARLI PERMÜTASYON Değişik sayı yazılabilir. Ancak, bu sayıların bazısının en solundaki rakam 0 olacağı için bunlar 8 basamaklı sayı değildir. 8 rakamdan 6 sıfırdan farklı olduğu için, 420 sayının 6 8 tanesi 8 basamaklıdır. Cevap C şıkkıdır. . 420 = 315  Sayfa 9

TANIM DAİRESEL PERMÜTASYON n tane elemanın, bir çember etrafındaki sıralanışlarının her birine n elemanının dairesel permütasyonu denir. n elemandan birinin yeri sabit gibi düşünülüp diğerlerinin bu elemana göre sıralanışı göz önüne alınırsa, n elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı (n-1)! olur. DERSE BAŞLA

DERSLER DAİRESEL PERMÜTASYON Örnek 1: 7 kişilik bir aile yuvarlak bir masada yemek yiyecektir. 1-) Kaç farklı şekilde oturabilirler ? 2-) Anne ile baba yan yana oturmak şartıyla, kaç farklı şekilde oturur ? Çözüm: 1-) 7 kişi yuvarlak bir masa etrafına 6! =720 farklı şekilde oturabilir ? 2-) Anne ile baba bir kişi gibi düşünülürse aile 6 kişi olur. 6 kişi yuvarlak bir masa etrafında 5! =120 değişik şekilde oturur. Anne ile baba kendi aralarında 2! =2 değişik şekilde oturur. Buna göre, 7 kişilik bir aile anne ile baba yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında 5! . 2!=120. 2=240 değişik şekilde oturabilir. Sayfa 1 

DERSLER DAİRESEL PERMÜTASYON Örnek 2: 11 değişik anahtar bir halkaya kaç değişik şekilde takılabilir ? A)2. 11! B)10! C)2. 9! D)2. 10! E)5. 9! Çözüm: Masa etrafına oturma olayında sıralama yukarıdan bakılarak yapılır. Halbuki halkaya yukarıdan bakılacağı gibi, ters çevril erekte bakılabilir. Bu da sıralanış sayısını yarıya düşürür. Buna göre, 11 değişik anahtar bir halkaya, (11- 1)! 10! 10. 9! 2 2 2 değişik şekilde takılabilir. Cevap E şıkkıdır. = = = 5. 9!  Sayfa 2

DERSLER DAİRESEL PERMÜTASYON Örnek 3: 4 tane profesörün her birinin 2 şer tane asistanı vardır. 4 profesör ve 8 asistan bir yuvarlak masa etrafında oturacaklar. Her profesörün kendi asistanlarının arasına oturacağına göre, kaç farklı biçimde oturulabilir. A)12 B)24 C)48 D)54 E)96 Çözüm: Her prof. un kendi asistanlarının arasına oturmalarını sağlamak için üçüncü bir adam gibi düşünelim. Bu durumda 12 kişiyi 4 kişi gibi düşünebiliriz. 4 yuvarlak masa etrafında ; (4-1)!=3!=6 değişik şekilde oturabilir. Her profesörün kendi asistanları aralarında 2 değişik şekilde oturabilirler. 4 tane profesörün 2 şer asistanının kendi aralarında, yer değiştirme durumunda göz önüne alınırsa, yuvarlak masa etrafında, istenen şartlara uygun oturma; 6. 2. 2. 2. 2= 96 değişik biçimde yapabilir. Cevap E şıkkıdır.  Sayfa 3

DERSLER DAİRESEL PERMÜTASYON Örnek 4: 5 matematik ve 5 fizik öğretmeni yuvarlak bir masa etrafına bir matematikçi bir fizikçi, bir matematikçi bir fizikçi, … şeklinde kaç değişik şekilde sıralanabilir? A) 4! . 5! B) 10! C) 2! . 5! D) 9! E) 4! .4! Çözüm: Önce 5 matematik öğretmeni yuvarlak masa etrafına, aralarında birer kişilik boşluk bırakarak sıralansınlar. Masa yuvarlak ve oturulacak yerler özdeş olduğundan dolayı sıralama belirsizliğini ortadan kaldırmak için, bir matematikçi sabit tutularak diğerleri (5-1)!= 4! değişik şekilde sıralanabilir. Matematikçiler oturduktan sonra sıralama belirsizliği ortadan kalkar. Sözgelimi matematikçi Ali ve Veli beyin arasındaki boş koltuk ve benzer şekilde diğer boş koltuklar numaralı koltuk gibi düşünülebilir. Bunun için, 5 fizikçi boş (numaralı) koltuklara 5! 5 değişik şekilde sıralana bilirler. Çarpma kuralı gereği tüm oturma biçimlerinin sayısı: 4! . 5! olur. Cevap A şıkkıdır.  Sayfa 4